14.2.2 完全平方公式-公開課-優(yōu)質(zhì)課(人教版教學(xué)設(shè)計精品)

1、14.2乘法公式(第2課時)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容完全平方公式2內(nèi)容解析完全平方公式是具有特殊形式的兩個多項式相乘得到的一種特殊形式，即兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍完全平方公式的符號表示和語言表述解釋了公式的結(jié)構(gòu)特征.公式(a土b)2=a22ab+b2中的字母a,b可以是具體的數(shù)、單項式、多項式、分式乃至任何代數(shù)式完全平方公式在代數(shù)中具有廣泛的應(yīng)用，它也是后續(xù)學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)，不僅對學(xué)生提高運算速度、準(zhǔn)確率有較大作用，更是以后學(xué)習(xí)因式分解、分式運算的重要基礎(chǔ)完全平方公式是以多項式乘法與合并同類項的知識為基礎(chǔ)，通過一組特例的計算、比較、分析、歸納，抽象

2、概括出一般結(jié)論，進而通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，其過程體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法，具有培養(yǎng)學(xué)生逐漸養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯推理能力的功能為了進一步了解平方差公式，可以利用錯誤！未找到引用源。的幾何意義面積，運用表示面積的方法解釋完全平方公式，以便直觀地把握公式，體會數(shù)形結(jié)合思想基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：完全平方公式二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1目標(biāo)理解完全平方公式，能用公式進行計算經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進而感受特殊到一般、數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的符號意識和幾何直觀觀念2目標(biāo)解析達成目標(biāo)(1)的標(biāo)志：學(xué)生能夠根據(jù)多項式乘法法則推導(dǎo)出完全平方公式，把握完全平方公式的基本結(jié)構(gòu)與特征，會用

3、符號表示，能用數(shù)學(xué)語言表述公式的內(nèi)容，當(dāng)字母表示具體的數(shù)、單項式、多項式時能正確使用公式進行計算達成目標(biāo)(2)的標(biāo)志：學(xué)生掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、幾何解釋，學(xué)生在公式的探索過程中，經(jīng)歷“特例一歸納一猜想一證明”的知識發(fā)生過程，從而提高自身的推理能力，數(shù)感和符號感，真正理解公式的來源、本質(zhì)，最終達到靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用公式的目的，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和推理能力三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生剛接觸整式乘法公式，在對多項式乘多項式法則的理解和運用不很透徹，對完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點的理解和掌握會有一定的難度學(xué)生在應(yīng)用公式過程中經(jīng)常會出現(xiàn)的困難有：(1)公式中三個單項式的符號經(jīng)常出錯，正、負號的位置易混淆；

4、(2)用于解釋完全平方公式的圖形的理解及用其推導(dǎo)完全平方公式正確性的時候，不會運用面積法建立等式，從而對完全平方公式的正確性進行驗證本節(jié)課的教學(xué)難點：完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點及公式的圖形驗證方法的掌握四、教學(xué)過程設(shè)計1探究完全平方公式問題1計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(p+l)2=;(m+2)2=;(p1)2=;(m2)2=.師生活動：教師提出問題，學(xué)生先獨立計算，然后互相交流，得到結(jié)果(1)(p1)2=(p1)(p1)=p22p1；(m2)2=(m2)(m2)=m24m4；(2)(p1)2=(p1)(p1)=p22p1；(m2)2=(m2)(m2)=m24m4設(shè)計意圖：承前啟后，復(fù)習(xí)舊知，

5、為本節(jié)內(nèi)容的引入作鋪墊；讓學(xué)生在每個算式的計算過程中進一步鞏固多項式乘法法則，體會本節(jié)內(nèi)容與多項式乘法的關(guān)系追問1：上述問題中原式有什么特點？追問2：結(jié)果的項數(shù)和系數(shù)(符號)有什么特點？師生活動：學(xué)生觀察并獨立思考，嘗試著進行概括發(fā)現(xiàn)原式是兩個數(shù)的完全平方，結(jié)果中有這兩個數(shù)的平方和，而2p=2p1,4m=2m2,恰好是這兩個數(shù)乘積的二倍，(1)(2)之間只差一個符號設(shè)計意圖：以“探索”的形式安排的這4個題目，按照多項式的乘法法則計算，從而得到4個題目結(jié)果的共同點問題2你能將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的式子表示出來嗎？師生活動：學(xué)生獨立思考后回答，相互補充得出：(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)

6、2=a22abb2設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會從特殊到一般的研究問題的方法追問：你能推導(dǎo)出上述式子對任意的a,b都成立嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生運用多項式乘法法則及合并同類項，可以推導(dǎo)出：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；(ab)2=(ab)(ab)=a2abab+b2=a22ab+b2.對于(ab)2=a2abab+b2，學(xué)生可能會利用已推導(dǎo)出的公式驗證：(a-b)2=a+(-b)2=a2+2a(一b)+b2=a22ab+b2，教師應(yīng)當(dāng)給予鼓勵.設(shè)計意圖：通過不同角度驗證完全平方公式的正確性，讓學(xué)生學(xué)會辯證的看待問題，從而加深對公式的理解和對公式結(jié)構(gòu)的掌

7、握，今后遇到該形式的多項式乘法時，可以正確地寫出結(jié)果在推理論證猜想的過程中，體會“歸納演繹”的基本思想方法2.理解完全平方公式問題3我們將前面探究所得的式子(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2，稱之為乘法的完全平方公式，你能將完全平方公式用文字語言表述嗎？師生活動：教師提出問題，學(xué)生獨立思考，然后小組交流互相補充.若學(xué)生有困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)公式結(jié)構(gòu)特征：(1)等式左邊：兩數(shù)和(或差)的平方；(2)等式右邊：兩個數(shù)的平方和，加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍.學(xué)生用自己的語言敘述這兩個公式：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.設(shè)計意圖：讓

8、學(xué)生將符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力；學(xué)生在用文字語言表述公式內(nèi)容時，可以加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解和掌握練習(xí)下面各式的計算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2；(2)(xy)2=x2y2；(3)(xy)2=x2+2xy+y2；(4)(x+y)2=x2+xy+y2.師生活動：學(xué)生觀察、思考后回答問題，對錯誤的題目加以修改，如有答錯，其他同學(xué)給予及時的糾正，對于重點且易錯的環(huán)節(jié)教師在最后總結(jié)時進行強調(diào).教師對學(xué)生可能會出現(xiàn)的錯誤作及時的預(yù)防，(1)漏了乘積項；(2)等號右邊變成平方差；(3)乘積項符號和前面一致；(4)乘積項漏了系數(shù)2.設(shè)計意圖：通

9、過觀察、對比，找出它們的異同，提高對公式的理解，增強對公式特點的掌握，消除知識的負遷移作用，杜絕錯誤的發(fā)生問題4你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎？1aA圖1師生活動：教師提出問題，學(xué)生先獨立思考，然后小組交流，學(xué)生代表展示求解過程若學(xué)生感到有困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶用面積說明平方差公式時關(guān)鍵是用a,b表示出圖中相關(guān)正方形和長方形(矩形)的面積，再找到它們的等量關(guān)系通過圖1,可以看出大正方形的邊長是(a+b).還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和陰影部分的正方形邊長是a,所以它的面積是a2；另一個小正方形的邊長是b,所以它的面

10、積是b2；另外兩個矩形的長都是a,寬都是b,所以每個矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是(a+b)，其面積是(a+b)2.于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2.這正好符合完全平方公式.可以用相同的方法來研究圖2的幾何意義.如圖2,大正方形的邊長是a,它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a,寬都是b,所以它們的面積都是ab；正方形HCGM的邊長是b,其面積就是b2；正方形AFME的邊長是(a_b)，所以它的面積是(a_b)2.從圖中可以看出正方形AFME的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積.就是(ab)2

11、=a22ab+b2,這也正好符合完全平方公式.設(shè)計意圖：教師提供多種模式，由學(xué)生選擇一種去解決培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，開闊學(xué)生的思路同時對滲透數(shù)形結(jié)合思想、換元思想，也是分散、分步突破本節(jié)的難點的第一個層次；正確引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時知識的正遷移，公式的幾何意義有利于學(xué)生對公式的直觀理解，在此過程中體會數(shù)形結(jié)合思想3.應(yīng)用完全平方公式例1運用完全平方公式計算：(1)(4m+n)2；(2)fy-fI2丿師生活動：師生共同分析，引導(dǎo)學(xué)生分清題目中哪部分相當(dāng)于公式中的a,哪部分相當(dāng)于公式中的b就是讓學(xué)生明確“公式中的a,b可表示數(shù)，也可表示單項式、多項式或其他的式子”的變化規(guī)律在這個過程中教師要關(guān)注學(xué)生能否正

12、確的利用完全平方公式計算，可提醒學(xué)生：第一步先選擇公式；第二步準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡設(shè)計意圖：具體體會公式在解題中的應(yīng)用，進一步熟悉公式例2運用完全平方公式計算：(1)1022；(2)992師生活動：師生共同分析解答，教師板書學(xué)生掌握了這種方法后，可讓同桌相互出題解答，再次體會公式的價值設(shè)計意圖：這是體會公式“優(yōu)勢”的實例讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般后，再體會從一般運用到特殊，也就是當(dāng)公式中的項換成具體數(shù)字時仍適用，開闊學(xué)生的思維，學(xué)生對公式的理解也獲得了升華問題5思考：(a+b)2與(一ab)2相等嗎？(ab)2與(ba)2相等嗎？(ab)2與a2_b2相等嗎？為什么？師生活動：教師出示題目后

13、，給學(xué)生一定的獨立思考的空間，然后小組之間進行討論和交流，確定做法和答案后，在班級進行展示，其他小組糾正、補充，全班達成一致后，教師做最后的歸納總結(jié)，讓學(xué)生在理論上得以提升前兩對都相等，(一ab)2轉(zhuǎn)化為(a+b)2的方法講評，力求人人過關(guān).做了一些題目鞏固方法后，再嘗試讓學(xué)生歸納出用“同號得正，異號得負”的方法來驗證結(jié)論中乘積項符號的正確性，第三對可以用做差法得到2b22ab,只有a=b或b=0才相等，學(xué)生答對即可，無須嚴(yán)格推導(dǎo).設(shè)計意圖：通過式子間的互相轉(zhuǎn)化，不僅可以加深學(xué)生對知識間聯(lián)系的認識，更可以提高學(xué)生靈活運用公式解決問題的能力練習(xí)1.計算：(1)(a+5)2；(2)(y7)2；(3

14、)(3+x)2；(4)(2y)2.設(shè)計意圖：給出一組簡單的習(xí)題，對照公式，如果學(xué)生掌握較好可以口答，讓學(xué)生結(jié)合具體問題牢記公式2.計算：(1)(2x+3y)2；(2)(2x+3y)2；+3y丿2.I2丿師生活動：選擇4名水平相當(dāng)?shù)膶W(xué)生進行板演，其他學(xué)生自己練習(xí)，教師巡視檢查，及時給予點撥和糾正，學(xué)生檢查、修改完畢后，對板演同學(xué)題目的過程和結(jié)果進行核對，糾錯，教師對產(chǎn)生的共性問題進行解釋和強調(diào)設(shè)計意圖：進一步強化學(xué)生對法則的理解，由淺入深，循序漸進的原則，分數(shù)作為字母的系數(shù)，可以提高學(xué)生的識別能力和計算能力3在下列多項式中，哪些是由完全平方公式得來的？(1)x24x4；(2)116a2；(3)x21；(4)x2xyy2；9x23xyy2.4設(shè)計意圖：靈活運用所學(xué)知識，逆用完全平方公式，為因式分解和配方法打基礎(chǔ)預(yù)案：例3若a+b=5,ab=6，求a2+b2,a2ab+b2.設(shè)計意圖：提高學(xué)生運用公式的靈活性、增強學(xué)生的思維張力4小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？(2)完全平方公式結(jié)構(gòu)有