數(shù)學相關(guān)微積分

1、上節(jié)內(nèi)容回顧1. 定義2. 性質(zhì)( 曲線弧 的長度)(4) 與積分路徑的方向無關(guān)，中值定理，對稱性質(zhì)3. 計算 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧一代，二換，三定限（上大于下） 對空間曲線L：4. 應用幾何：弧長，柱面?zhèn)让娣e物理：質(zhì)量，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動慣量，引力練習題弧長例11. 有一半圓弧其線密度 解:故所求引力為求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. 設均勻螺旋形彈簧L的方程為(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量(2) 求它的質(zhì)心 .解: 設其密度為 (常數(shù)).(2)(1)例12質(zhì)心坐標公式為：所以重心坐標為:第二節(jié) 第二類曲線積分一、概念與性質(zhì)二、第二類曲線積分的計算三、第二類曲線積分的應用四、

2、兩類曲線積分的關(guān)系一、概念與性質(zhì)1、引例: 變力沿曲線所作的功一質(zhì)點在連續(xù)變力作用下，沿光滑曲線L從起點A運動到終點B，求變力 所做的功W。特例：常力沿直線所作的功“大化小” “常代變”“近似和” “取極限”解決辦法:向量函數(shù)的曲線積分1）大化小2)常代變3）近似和任取4）取極限注意：2、定義類似地定義3.存在條件：4.組合形式變力所做的功：有向弧微元向量函數(shù)的曲線積分5.特例6.性質(zhì)即對坐標的曲線積分與路徑的方向有關(guān).（1）路徑的有向性關(guān)于積分路徑具有可加性！對封閉曲線取逆時針方向為正方向！說明: 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !對坐標的曲線積分不能利用積分路徑的對稱性與被積函數(shù)的

3、奇偶性簡化計算。 定積分是第二類曲線積分的特例.二、第二類（對坐標的）曲線積分的計算計算思路：曲線積分轉(zhuǎn)化定積分特別注意：積分路徑的方程 積分路徑的方向1、若L是參數(shù)方程一代，二換，三定限（下限對應起點） （上限對應終點） 注：下限對應于L的起點的參數(shù)值，上限對應于L 的終點的參數(shù)值，下限不一定小于上限。一代，二換，三定限（與第一類曲線積分的區(qū)別）。組合形式：2、若L為一般方程：L的端點A,B的橫坐標為a,b，則3、若積分路徑是平面曲線，類似可轉(zhuǎn)化為定積分。參數(shù)方程形式；直角坐標形式；極坐標形式需將它化為參數(shù)方程（選擇x,y,z中某一個為參數(shù)）。即： 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧 對光滑曲線弧例

4、1解不能利用對稱性質(zhì)！積分路徑方程為：例2解法2：注：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.例3解注：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.例4解在AB上：在BC上：例5解直線L的參數(shù)方程為例6. 求其中從 z 軸正向看為順時針方向.解: 取 的參數(shù)方程三、第二類曲線積分的應用物理應用：變力沿曲線對質(zhì)點所做的功變力所做的功：例7解在AB上：例8解由題意知：其中（此題的關(guān)鍵）將引力用向量表示出來路徑的參數(shù)方程：自算！有類似的牛頓-萊布尼茨公式作業(yè)P178: 1, 3, 5, 6, 7, 8設有向曲線弧L:四、 兩類曲線積分的關(guān)系有第二類曲線積分有切向量可用向量表示有向曲線元；同樣有例9.將積分化為對弧長的積分,解：其中L 沿上半圓周 例10：設曲線C為曲面與曲面從 ox 軸正向看去為逆時針方向,(1) 寫出曲線 C 的參數(shù)方程 ;(2) 計算曲線積分解: (1)(2) 原式