《1.3.1圓冪定理》教學(xué)案1

1、1.3.1圓冪定理教學(xué)案教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能：（1）理解相交弦定理及其推論，并初步會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證明和計(jì)算；（2）學(xué)會(huì)作兩條已知線段的比例中項(xiàng)；2過(guò)程與方法：師生互動(dòng)，生生互動(dòng)，共同探究新知；3情感、態(tài)度、價(jià)值觀：通過(guò)推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：正確理解相交弦定理及其推論難點(diǎn)：相交弦定理及其推論的熟練運(yùn)用教學(xué)過(guò)程前面討論了與圓有關(guān)的角之間的關(guān)系.下面我們討論與圓有關(guān)的線段的關(guān)系及其度量問(wèn)題.下面沿用從特殊到一般地思路，討論與圓的相交弦有關(guān)的問(wèn)題.探究1如圖2-20,AB是0O的直徑，CD丄AB.AB與CD相交于P,線段PA、PB、PC、PD之間有什么

2、關(guān)系？PAPB=PCPD.（老師引導(dǎo)學(xué)生完成推導(dǎo)過(guò)程）探究2將圖2-20中的AB向上（或向下）平移，使AB不再是直徑（圖2-21），探究1的結(jié)論還成立嗎？連接AD、BC,請(qǐng)同學(xué)們自己給出證明.探究3如果CD與AB不垂直，如圖2-22,CD、AB是圓內(nèi)的任意兩條相交弦，探究1的結(jié)論還成立嗎？事實(shí)上，AB、CD是圓內(nèi)的任意相交弦時(shí)，探究1仍然成立，而證方法不變.請(qǐng)同學(xué)們自己給出證明.由上訴探究和論證，我們有相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等探究4在圖2-24中，使割線PB繞P運(yùn)動(dòng)到切線的位置（圖2-25），線段PA（或PB）、PC、PD之間有什么關(guān)系？PA2=PCPD.（老

3、師引導(dǎo)學(xué)生完成推導(dǎo)過(guò)程）由上訴探究和論證，我們有切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線由切割線定理和相交弦定理不難看出，不論點(diǎn)P在圓內(nèi)或圓外，通過(guò)圓的任條割線交圓于A，B兩點(diǎn)，只要點(diǎn)P的位置確定了，則PAPB都是定值.設(shè)定植為k貝y：當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，如圖，由切割線定理，可得k=PAPB=PT=P02-丫2（r表示0O的半徑）當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB垂直于0P,貝y：k=PAPB=PA已知：00和不在00上的一點(diǎn)P,過(guò)P的直線交00于A、B兩點(diǎn)，若PAPB=24,0P=5,則00的半徑長(zhǎng)為.若PA為00的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交00于B、C,若B

4、C=20,PA=io希，貝怦C的長(zhǎng)為.AB、CD是00切線，ABCD,00的切線EF和AB、CD分別交于E、F,貝ZE0F=r2PO2（r表示00的半徑）當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，顯然k=0.由上，我們可以得到：圓冪定理：已知0（0，r）,通過(guò)一定點(diǎn)的任意一條割線交圓于A，B兩點(diǎn)，貝9：當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，k=P02-r2；當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，k=r2-P02；當(dāng)點(diǎn)P在00上時(shí)，k=0.我們稱定值k為點(diǎn)P對(duì)00的“幕”【自主檢測(cè)】1.圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1：4,則另一弦長(zhǎng)為【例題解析】例1.已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12cm和16cm兩段，第二條弦的長(zhǎng)度為32cm

5、，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩端的長(zhǎng).解：設(shè)第二條弦被交點(diǎn)分成的一端長(zhǎng)為xcm,則另一段長(zhǎng)為(32-x)cm,根據(jù)相交弦定理，有x(32-x)=12X16，即x2-32x+192=0.解得%廠8或x2=24.因此32-x1=24，32-x2=8.另一條弦被交點(diǎn)分成的兩端長(zhǎng)分別為8cm，24cm.例2已知：線段a,b(如圖)求作：線段c，使c2=ab.作法：1.作線段AP=a；2延長(zhǎng)AP到點(diǎn)B使PB=b；以AB為直徑作半圓；過(guò)點(diǎn)P作PC丄AB,交半圓于點(diǎn)C.PC就是a,b的比列中項(xiàng)c.例3已知如圖，在0O中，C是0O上異于A,B的一點(diǎn)，弦AB的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)C的切線相交于P,過(guò)B作0O的切線交CP于點(diǎn)D,且ZCDB=90,CD=3,PD=4.求0O的弦AB的長(zhǎng).因?yàn)閆CDB=90,PD=4，所以解：因?yàn)镈C切0O于點(diǎn)C,DB切0O于點(diǎn)B,所以CD=BD=3,PB=JBD2+P