近世代數(shù)課件(全)211 圖形的對(duì)稱(chēng)變換群、群的應(yīng)用

1、近世代數(shù) 11 圖形的對(duì)稱(chēng)變換群、群的應(yīng)用 9/3/2021一、圖形的對(duì)稱(chēng)變換群 定義1: 使圖形不變形地變到與它重合的變換稱(chēng)為這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)變換. 定義2：圖形的一切對(duì)稱(chēng)變換關(guān)于變換的乘法構(gòu)成群，稱(chēng)為這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)變換群. 9/3/2021例 1 正三角形的對(duì)稱(chēng)變換群. 設(shè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為1、 2、 3. 顯然，正三角形的每一對(duì)稱(chēng)變換都導(dǎo)致正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的唯一一個(gè)置換. 反之， 由正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的任一置換都可得到正三角形的唯一一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，從而可用表示正三角形的對(duì)稱(chēng)變換群. 9/3/2021其中(1)為恒等變換, (1 2), (1 3), (2 3) 分別表示關(guān)于正三角形的

2、三個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的反射變換, (1 2 3), (1 3 2)分別表示關(guān)于正三角形的中心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120度、240度的旋轉(zhuǎn)變換. 9/3/2021例 2 正方形的對(duì)稱(chēng)變換群. 正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別可用1、 2、 3、 4來(lái)表示. 于是正方形的每一對(duì)稱(chēng)變換可用一個(gè)4次置換來(lái)表示. 顯然， 不同的對(duì)稱(chēng)變換所對(duì)應(yīng)的置換也不同，而對(duì)稱(chēng)變換的乘積對(duì)應(yīng)了置換的乘積. 這說(shuō)明，正方形的對(duì)稱(chēng)變換群可用一置換群來(lái)表示. 9/3/2021容易看出, 正方形的對(duì)稱(chēng)變換有兩類(lèi):第一類(lèi): 繞中心的分別旋轉(zhuǎn)90度，180度，270度，360度的旋轉(zhuǎn)，這對(duì)應(yīng)于置換 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1).

3、第二類(lèi): 關(guān)于正方形的4條對(duì)稱(chēng)軸的反射, (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3).這對(duì)應(yīng)于置換所以, 正方形的對(duì)稱(chēng)變換群有上述 8個(gè)元素. 這是四次對(duì)稱(chēng)群的一個(gè)子群. 9/3/2021S(K)=(1), (1234),(13)(24), (1432), (14)(23), (12)(34), (24), (13)平面上正方形ABCD的對(duì)稱(chēng)變換群 9/3/2021： 9/3/2021： 9/3/2021： 9/3/2021： 9/3/2021： 9/3/2021： 9/3/2021： 9/3/2021： 9/3/2021定理1 正n邊形的對(duì)稱(chēng)變換群

4、階為2n. 這種群稱(chēng)為2n 元二面體群. 記為Dn 9/3/2021D6123456 9/3/2021二、置換類(lèi)型個(gè)2-循環(huán)，個(gè)n-循環(huán)組成，則稱(chēng)型置換，其中例：中是一個(gè)型置換是一個(gè)型置換是一個(gè)型置換是一個(gè) 一個(gè)n次置換，如果其循環(huán)置換分解式是由個(gè)1-循環(huán)， 9/3/2021二面體群中的置換類(lèi)型二面體群是一個(gè)n次置換群的類(lèi)型是型，其中當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，都是型的當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，有兩種類(lèi)型：型和型 9/3/2021三、項(xiàng)鏈問(wèn)題問(wèn)題的提法：用n種顏色的珠子做成有m顆珠子的項(xiàng)鏈，問(wèn)可做成多少種不同類(lèi)型的項(xiàng)鏈？ 這里所說(shuō)的不同類(lèi)型的項(xiàng)鏈，指兩個(gè)項(xiàng)鏈無(wú)論怎樣旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)都不能重合。 9/3/2021數(shù)學(xué)上的確切描

5、述 設(shè)由m顆珠子做成一個(gè)項(xiàng)鏈，可用一個(gè)正m邊形來(lái)代表它，它的每個(gè)頂點(diǎn)代表一顆珠子。12354678 沿逆時(shí)針?lè)较蚪o珠子標(biāo)號(hào)，由于每一顆珠子的顏色有n種選擇，因而用乘法原理，這些有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈共有nm種。但其中有一些可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度或翻轉(zhuǎn)180度使它們完全重合，我們稱(chēng)為是本質(zhì)相同的，我們要考慮的是無(wú)論怎么旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項(xiàng)鏈類(lèi)型數(shù)。 9/3/2021 設(shè)X=1，2，m, 代表m顆珠子的集合，它們逆時(shí)針排列組成一個(gè)項(xiàng)鏈，由于每顆珠子標(biāo)有標(biāo)號(hào)，我們稱(chēng)這樣的項(xiàng)鏈為有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈. 為n種顏色的集合. 則每一個(gè)映射代表一個(gè)有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈.，它是全部有令標(biāo)號(hào)項(xiàng)鏈的集合，顯然有，是全部有標(biāo)號(hào)項(xiàng)鏈的

6、數(shù)目. 9/3/2021設(shè)，其中現(xiàn)在考慮二面體群對(duì)集合的作用： 9/3/2021定義則，所以.對(duì)的作用為 9/3/2021其直觀意義是， 對(duì)的作用就是使對(duì)項(xiàng)鏈的點(diǎn)號(hào)作一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換或翻轉(zhuǎn)變換，因而與是同一類(lèi)型的屬于同一軌道.與因此，每一類(lèi)型的項(xiàng)鏈對(duì)應(yīng)一個(gè)軌道，不同類(lèi)型項(xiàng)鏈數(shù)目就是對(duì)，可用Burnside引理求解.作用下的軌道數(shù)目 9/3/2021下一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是：如何求在上的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)的循環(huán)置換分解式可表為 對(duì)應(yīng)式（1）中同一循環(huán)置換（1）中的珠子有相同的顏色.，這與的置換類(lèi)型有關(guān).是一個(gè)型置換. 設(shè) 9/3/2021例如，設(shè)，則 故是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn). 9/3/2021反之，若對(duì)應(yīng)，則 故不是的不動(dòng)

7、點(diǎn).的循環(huán)置換分解式中某個(gè)循環(huán)置換中號(hào)碼的珠子有不同的顏色，例如 9/3/2021下面我們來(lái)進(jìn)一步計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)數(shù)而滿(mǎn)足的，對(duì)應(yīng)于的同一循環(huán)置換中的珠子的顏色必須相同，因而，每一個(gè)循環(huán)置換中的珠子顏色共有n種選擇. 而所含的循環(huán)置換個(gè)數(shù)為所以滿(mǎn)足條件的項(xiàng)鏈顏色有種選擇 9/3/2021故將它代入Burnside公式，就得項(xiàng)鏈的種類(lèi)數(shù)為其中和式是對(duì)進(jìn)一步表示為其中和式是對(duì)所有可能的不同置換類(lèi)型求和.中每一個(gè)置換求和.為同一類(lèi)型的群元素個(gè)數(shù)， 9/3/2021例用3種顏色做成有6顆珠子的項(xiàng)鏈，可做多少種？解123456 9/3/2021按類(lèi)型計(jì)算每一個(gè)群元素的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)：型置換有1個(gè)，每一個(gè)元素的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)為型置換有3個(gè)，每一個(gè)元素的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)為型置換有4個(gè)，每一個(gè)元素的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)為型置換有2個(gè)，每一個(gè)元素的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)為型置換有2個(gè)，每一個(gè)元素的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)為所以. 9/3/2021作業(yè)： 用黑白兩種顏色的珠子，串成有5個(gè)珠子的項(xiàng)鏈。問(wèn)有多少種不同類(lèi)型的項(xiàng)鏈？12345(1) 15 25(12345) 51 2