外彈道學第三章

1、第三章彈丸質心運動方程組空氣彈道特性3.1 基本假設 對于飛行穩(wěn)定性良好的彈丸，在飛行中彈軸和速度矢量線間總是存在一個不大的章動角(攻角)，因而氣流對彈丸的速度矢量線就不再對稱，此時阻力作用線既不通過質心，也不與速度矢量線平行，形成一個使彈丸圍繞質心運動的靜力矩。C=00C3.1 基本假設 這樣，彈丸在空中的運動就成為一個復雜的剛體運動，需要六個二階微分方程來求解。三個描述彈丸的質心運動，三個描繪彈丸圍繞其質心的運動。實際上，對于飛行穩(wěn)定的一般彈丸，章動角總是很小，彈丸圍繞質心運動對其質心運動的影響不大。因而在研究彈丸質心運動時，可以暫時忽略圍繞質心對它的影響，這樣就可將復雜的剛體在空中的運動

2、簡化成兩個獨立的方程組來研究：一組表示彈丸質心的運動(=0)，而且是一個平面運動。由于的實際存在，使迎面阻力Rx增大，由增大的彈道系數c來修正；另一組是表示彈丸圍繞其質心的運動(彈丸的飛行穩(wěn)定性理論)。3.1 基本假設 研究彈丸質心的運動，首先做基本假設：1、在彈丸的整個運動期間，假設章動角(攻角)=0；2、彈丸是軸對稱體；3、地表面為平面；4、重力加速度的大小不變和飛行始終鉛直向下；5、科氏加速度為零；6、氣象條件是標準值，無風雨。 在上述假設下來研究彈丸質心運動的問題叫外彈道學基本問題。3.2 描繪彈丸質心運動的主要變量 要描繪彈丸在空中的質心方程，首先要明確彈丸在空中的質心運動主要用哪些

3、參量來描述。t 解決彈丸質心在空中運動，要知道變量t、x、y、v和五個變量之間的函數關系，如圖所示。 以上的五個變量均可作為自變量來組成彈丸的質心運動方程組，但實際上根據需要，常作為自變量的有t、x、y等，有一些特殊問題中，也采取彈道弧長s作為自變量，因為ds=vdt，s可以消除系數中的變量v，使方程簡化。3.3 以時間t為自變量的彈丸質心運動方程組 在基本假設下作用于彈丸的力僅有重力和空氣阻力。據此可以寫出彈丸質心運動的矢量方程: 以時間t為自變量的彈丸質心運動方程組，常用的有與地球相固聯(lián)的所謂直角坐標系和隨質心運動的自然坐標系。下面將分別組成這兩個方程組。一、直角坐標系的彈丸質心運動方程組

4、(3-1) 所謂直角坐標系的彈丸質心運動方程組，是指將矢量方程(3-1)在直角坐標系二坐標軸上的投影而得的方程組。3.3 以時間t為自變量的彈丸質心運動方程組 首先將矢量方程(3-1)在x軸上投影(如圖)得：由于和 故代入得：其次將方程(3-1)在y軸上投影得將 及 代入，得到3.3 以時間t為自變量的彈丸質心運動方程組由于坐標x、y對于時間的導數分別為 故最后得到以t為自變量的、直角坐標系的彈丸質心運動方程組如下:(1)(2)(3)(4)(5)此方程組是解一般彈丸質心運動的常用方程組。(3-2)3.3 以時間t為自變量的彈丸質心運動方程組積分的起始條件為t=0時 式中第(5)式為聯(lián)系變量v與

5、u、w、y的代數方程，即所謂的聯(lián)系方程。其它4式稱為聯(lián)解方程，因為積分方程(1)時，必須知道其右端的y和是t的什么函數后，才能積分出來。而要知道y和是t的什么函數，又必須積分方程(2)、(3)和(4)。同理，積分方程(2)、(3)和(4)時，也必須同時積分出方程(1)、(3)或(1)、(2)。3.3 以時間t為自變量的彈丸質心運動方程組二、自然坐標系的彈丸質心運動方程組 所謂自然坐標系的彈丸質心運動方程組是指矢量方程(3-1）在所謂自然坐標軸(即切向和法向n)上的投影而得到的方程組。yxo 由于阻力加速度矢量a，和重力加速度矢量g在切向上的投影分別為3.3 以時間t為自變量的彈丸質心運動方程組

6、又由于a和g在法向上的投影分別為故得法向加速度的方程為:(b)故得切向加速度dvdt的方程為(a)3.3 以時間t為自變量的彈丸質心運動方程組積分的起始條件為t=0時：將上二方程(a)、(b)與確定坐標的兩個方程合并，即得到自然坐標系的彈丸質心運動方程組為:(3-3)3.4 以x為自變量的彈丸質心運動方程組 首先根據復合微分，得到其次根據得到形式最為簡單的、以x為自變量的方程組如下 為獲得較方程組(3-2)和(3-3)更為簡單的方程組，以取橫坐標x為自變量較好。3.4 以x為自變量的彈丸質心運動方程組積分的起始條件為x=0時 這個方程組在 時計算方便而準確。3.5 以y為自變量的彈丸質心運動方

7、程組 為了求自空中投擲炸彈的彈道，宜于取縱坐標y為自變量。由復合微分和及以及聯(lián)系方程組成以y為自變量的彈丸質心運動方程組。3.6 以弧長S為自變量的彈丸質心運動方程組 只要將自然坐標系的運動方程組(3-3)的自變量t換為弧長s，即可得到以弧長s為自變量的彈丸質心運動方程組(注意ds=vdt)：積分的起始條件為s=0時：3.7 斜坐標系的彈丸質心運動方程組 在解與空中射擊有關的彈道諸元問題時，應用以射出點o為原點的斜角坐標系o是比較方便的。oyHBDM(,)Muw013.7 斜坐標系的彈丸質心運動方程組 如圖所示，以空中o點為射出點，B為目標，oB為高低線。斜角坐標系以射出點o為原點，軸o鉛直向

8、下為正，而軸o為彈丸相對于地面的初速矢量線，順射向為正。而初速矢量式中 彈丸相對于飛機的初速矢量; 飛機相對于地面的航速。 與直角坐標系中沿水平軸分速u及鉛直軸分速的概念相似，取速度矢量v沿斜角坐標系的0軸分速U和沿0軸分速W。將矢量方程(3-1)分別投影到斜角坐標系的兩個坐標軸上，得到與直角坐標系相似的斜角坐標系的運動方程組如下：3.7 斜坐標系的彈丸質心運動方程組式中H-射出點的高度3.8 空氣彈道的一般特性一、速度沿全彈道的變化 在只有重力和空氣阻力兩個力作用下的彈丸質心運動速度沿全彈道的變化，由下式確定： 在升弧上，傾角為正值，因而 ，因此在彈道升弧上彈丸速度始終減小。至彈道頂點s=0

9、，gsin=0，故 ，速度將繼續(xù)減小。過頂點后，為負值，因而 。3.8 空氣彈道的一般特性在 以前， ，故速度仍然繼續(xù)減??；至某點， ， ，速度達極小值； 以后， ，此后速度又開始增大。 下面討論速度的水平分速和鉛直分速度沿彈道的變化情況。由 知，u沿全彈道始終減小。對于w，在同一高度時升弧上的比降弧上的大。因而初速大于落速。3.8 空氣彈道的一般特性二、空氣彈道的不對稱性 拋物線彈道是相對于x=xs=X/2的鉛直線對稱的。而空氣彈道由于受空氣阻力作用的影響不再對稱。并且隨著彈道系數的增大，其不對稱性愈來愈顯著。下面將討論空氣彈道不對稱性的幾個方面。1、空氣彈道降弧比升弧陡，即2、3、4、頂點速度3.8 空氣彈道的一般特性三、最大射程角 最大射程角是指某一彈丸在一定初速條件下發(fā)射，獲得最大射程時的射角。用符號 表示。對于拋物線彈道來說， 。對于空氣彈道來說，它可能大于或小于45度。 口徑較大或初速較小的彈丸，由于空氣阻力對其運動的影響較小，其彈道與拋物線相近似，故其最大射程角也近似為45度。如槍榴彈、追擊炮彈、小初速的榴彈的最大射程角均近似為45度；反之，如口徑較小或初速較大的彈丸，空氣阻力對彈丸運動的影響特別大，則與45度相差較大。 最大射程角