空間與軸對(duì)稱問題有限元分析

1、空間及軸對(duì)稱問題有限元概述空間問題(四面體、六面體類)軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載1概 述 三個(gè)方向尺寸屬于同一數(shù)量級(jí)，所受荷載或形體復(fù)雜，不可能像上一章那樣簡(jiǎn)化成平面問題處理，這時(shí)必須按空間問題求解。 與平面分析不同，空間有限元分析有如下兩個(gè)困難：1）對(duì)空間物體進(jìn)行離散化時(shí)不像平面問題那樣直觀，人工進(jìn)行離散時(shí)很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤；2）未知量的數(shù)量劇增。 建立網(wǎng)格自動(dòng)生成前處理程序 采用高階單元來提高單元精度 平面圖形繞面內(nèi)一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的空間物體，稱為軸對(duì)稱物體，是一類特殊的空間問題。2空間問題 1 常應(yīng)變四面體單元形函數(shù) 與平面三角形單元相對(duì)應(yīng)，四面體單元內(nèi)任一點(diǎn)可用“體積坐標(biāo)”來表示。各子

2、四面體體積 與三角形單元一樣，體積坐標(biāo)為Ti =Vi /V ,三個(gè)是獨(dú)立的，它有“本1，它0，總和1”的性質(zhì)。P123四面體總體積 (右旋體積正)1234P234P124P134P 剩下來的工作基本和三角形常應(yīng)變單元類似。作業(yè)：自學(xué)單元列式內(nèi)容。3空間問題 2 十結(jié)點(diǎn)（二次）四面體單元形函數(shù) 類似于平面六結(jié)點(diǎn)二次三角形單元，采用試湊法建立結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。T1T2T3O12345678N1=a785234=a(T1-1/2)T1 為使N1滿足本點(diǎn)為1，可得a=2，代回后得N1 =T1 (2T1-1) 余者類似，也可按如下通式得到：式中p為形函數(shù)階次，分子為不通過i點(diǎn)的平面方程左端項(xiàng)，分母中括號(hào)內(nèi)為

3、i點(diǎn)體積坐標(biāo)。請(qǐng)大家自行驗(yàn)證！4空間問題 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法 先劃分成六面體再分為四面體1243568714671246143748761）六面體劃分為5個(gè)四面體A5型1467間連6根對(duì)角線 15675空間問題 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法 1）六面體劃分為5個(gè)四面體1243568712352568243835872358B5型2358間連6根對(duì)角線 相鄰六面體必須一個(gè)為A5另一個(gè)為B5共同點(diǎn)相對(duì)面對(duì)角線相互空間交叉6空間問題 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法 2）先劃為五面體再劃分為6個(gè)四面體12435687124356435687連47、76、636874、5673、4763連

4、23、25、632351、3562、3642A6型以折面3564分7空間問題 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法 2）先劃為五面體再劃分為6個(gè)四面體12435687連35、52、633562、5673、2351連47、46、633764、6874、3642A6型以折面2376分243687123567兩種A6劃分結(jié)果完全相同8空間問題 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法 2）先劃為五面體再劃分為6個(gè)四面體12435687連23、35、452453、4753、2351連45、46、674562、5674、6874B6型以折面2475分2456871243579空間問題 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法 2

5、）先劃為五面體再劃分為6個(gè)四面體12435687連47、76、544753、5674、6874連32、25、542351、4352、4562B6型以折面3465分124356435687兩種B6劃分結(jié)果也完全相同作業(yè)：P.95給出了由六面體8個(gè)角點(diǎn)點(diǎn)號(hào)，按式(4.1.25)求A6和A5型四面體結(jié)點(diǎn)號(hào)的方法。請(qǐng)考慮B6和B5型的計(jì)算公式。10空間問題 4 六面體類單元的形函數(shù) 1）八結(jié)點(diǎn)單元12345678類似平面問題矩形線性單元，由試湊法可建立形函數(shù)如下：2）二十結(jié)點(diǎn)單元和平面問題一樣，基于試湊法，可以根據(jù)上述八結(jié)點(diǎn)低階單元形函數(shù)構(gòu)造各頂點(diǎn)形函數(shù)。123456789101112141720作業(yè)

6、：32結(jié)點(diǎn)三次單元11空間問題 5 五面體類單元的形函數(shù) 1）試湊法建立六結(jié)點(diǎn)形函數(shù)用于與六面體單元聯(lián)合，解決邊界形狀不規(guī)則物體的分析。課堂練習(xí)：建立15結(jié)點(diǎn)五面體單元形函數(shù)。2）三維等參元列式 基本思想和平面問題一樣，具體列式參看P.101P.104。L1L231264512軸對(duì)稱問題 工程中有一類結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件及作用的荷載都對(duì)稱于某一固定軸(可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果)，其力學(xué)分析稱為軸對(duì)稱問題。典型例子為煙囪、儲(chǔ)液罐等受恒載作用。1 離散化 由于可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果，2 應(yīng)力與應(yīng)變 對(duì)軸對(duì)稱問題進(jìn)行分析一般取柱坐標(biāo)系，對(duì)稱軸為Z軸，徑向?yàn)?/p>

7、r 軸，環(huán)向?yàn)檩S。 因此軸對(duì)稱問題分析可在子午面內(nèi)劃分單元，實(shí)際是取子午面內(nèi)圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得“圓環(huán)形單元”對(duì)物體進(jìn)行離散。 因此可用的單元與平面問題一樣。13軸對(duì)稱問題 在柱坐標(biāo)下軸對(duì)稱問題的幾何方程為根據(jù)具體單元,代入所建立的位移模式,即可得應(yīng)變矩陣B。軸向位移徑向位移 教材上有推導(dǎo)的示意圖，參考彈性力學(xué)。由于算子中有1/r，所以三角形環(huán)單元B不再是常數(shù)矩陣。14軸對(duì)稱問題 根據(jù)具體單元，即可得應(yīng)變、應(yīng)力矩陣等。 D = 0式中對(duì)稱對(duì)線彈性問題，在上述應(yīng)變分量條件下，物理方程為 以三角形環(huán)單元為例，其位移模式為15軸對(duì)稱問題 根據(jù)軸對(duì)稱問題的算子矩陣，單元應(yīng)變矩陣為應(yīng)力矩陣： 由于應(yīng)變矩

8、陣的特點(diǎn)，應(yīng)力分量中除剪應(yīng)力為常量外，其余三項(xiàng)正應(yīng)力均不再是常數(shù)。16軸對(duì)稱問題 由于B 中含有坐標(biāo)變量，因此積分運(yùn)算較平面問題復(fù)雜，精確積分參見Zienkiewicz (Finite Element Method, 5th Ed，2000)。 教材上對(duì)三角形環(huán)單元具體介紹了ke和FEe的有關(guān)計(jì)算過程。請(qǐng)自學(xué)相關(guān)內(nèi)容。 單元?jiǎng)偠染仃嚾钥砂凑掌矫鎲栴}的方法建立，但需注意體積積分應(yīng)在整個(gè)環(huán)上進(jìn)行。 實(shí)踐證明采用近似積分也能達(dá)到一定的精度，具體對(duì)于三角形環(huán)單元用形心處坐標(biāo)代替應(yīng)變矩陣中的坐標(biāo)變量。如何進(jìn)一步改進(jìn)積分精度？17軸對(duì)稱問題等參元分析 教材上P.111具體給出了單剛和等效荷載結(jié)果。單元位移

9、場(chǎng)：?jiǎn)卧枋觯簣A柱坐標(biāo)系下雅可比矩陣：應(yīng)變矩陣：18 如果軸對(duì)稱體上作用的非軸對(duì)稱荷載，如煙囪上作用的風(fēng)荷載及地震荷載等，此時(shí)結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力將不再是軸對(duì)稱的，需按照空間問題求解。軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載此時(shí)求解費(fèi)用將大大增加，如何進(jìn)行簡(jiǎn)化？ 采用半解析有限元方法，將此類問題化為若干軸對(duì)稱問題疊加進(jìn)行求解。此處將軸對(duì)稱體上作用的一般荷載P(r,z,)沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解，并沿方向展開成付氏級(jí)數(shù)：軸對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱扭轉(zhuǎn)19軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載非軸對(duì)稱荷載的分解： R0、Z0 與無關(guān)，是軸對(duì)稱荷載；T0 與無關(guān)、沿 方向，是扭轉(zhuǎn)荷載；Ri(r,z)cosi等是關(guān)于=0平面的對(duì)稱荷載；Ri(r,

10、z)sini等是關(guān)于=0平面的反對(duì)稱荷載；對(duì)稱反對(duì)稱20軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載將位移作類似的分解： u0、w0 軸對(duì)稱位移；v0 扭轉(zhuǎn)位移；ui(r,z)cosi、 wi(r,z)cosi 、vi(r,z)sini是關(guān)于=0平面對(duì)稱的位移；ui(r,z)cosi 、wi(r,z)cosi、 vi(r,z)cosi是關(guān)于=0平面反對(duì)稱的位移。軸對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱扭轉(zhuǎn)21軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載 對(duì)稱荷載作用下的計(jì)算： 對(duì)稱荷載引起的位移是對(duì)稱的：22軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載 由于荷載非軸對(duì)稱，因此一點(diǎn)的應(yīng)變分量將有6項(xiàng)。采用虛位移原理或勢(shì)能原理建立單元的剛度矩陣與等效荷載矩陣,公式顯式表達(dá)式見教材P.115116.(4.4.114.4.4.18)?；谌呛瘮?shù)的正交性，單元分析得到