華理線性代數(shù)答案

1、2121華東理工大學線性代數(shù)作業(yè)簿（第一冊）學院專業(yè)班級學號姓名任課教師1.1矩陣的概念1-矩陣4十訂=0-幾0-1A=3212.設1000_00_30052A=04,B=0100，c=230,D=0300010041003其中對角陣為，三角陣有解：對角陣為三角陣有力，C,D.12矩陣的運算1已知2_2-1013X+-23-11求矩陣X.21212121解：依題意，由6-23X=-4021r-2+4_3-11114-31-1丄34即得x=_32.如果矩陣九x用與Exs滿足AB=BA,試求加心之間的關系3填空:43rT1-2325701MB11,2,323(1)12-1,2=313140_0-1

2、234_1-3140-235解:(1)6；(2)14；(3)49-12_6-78_-24；(4)20-5-6-364.已知矩陣4=，試求與4可交換的所有矩陣.解：由可交換矩陣的定義，知道所求矩陣必為3階方陣，不妨設abc010_abcdef001defghi000ghi000AB=abc010_0abdef001=Odeghi_0000gh_BA=def0ab由AB=BA,即得ghi=Ode000_0gh由相應元素相等，則得d=g=h=0,a=e=i,b=仁abc故B=0ab（a,b,c均為任意常數(shù)）為與A可交換的所有矩陣.00a5計算下列各題:（1）兀，兀2,解：原式等于:+a33X+（勺2

3、+禺1）人兀2+（務3+。31）兀1兀3+（。23+。32）兀2兀33131J.2逅2_V2丄2,求力20083131解：記4=_221_V231313131-100-1,2008=3x669+131313131_1200S_120071222222餡1V31羽1_22_22_22_=A=(_/嚴2_人=-21丄丄，打33求護.解:313131312281rir-2i99-2i?L23JL2333丿=2*4=25623236.利用等式計算1735-6T-12解:-6_523205-733197-1266-1257035-27385-292217357.某公司為了技術革新，計劃對職工實行分批脫產

4、輪訓，已知該公司現(xiàn)有2000人正在脫產輪訓，而不脫產職工有8000人，若每年從不脫產職工中抽調30%的人脫產輪訓，同吋又有60%脫產輪訓職工結業(yè)回到生產崗位，設職工總數(shù)不變，令-62320-12570332310-257011735-753-28000X=20000.70.6A-0.30.4試用q與x通過矩陣運算表示一年后和兩年后的職工狀況，并據(jù)此計算屆吋不脫產職工與脫產職工各有多少人.解：一年后職工狀況為：AX=68003200不脫產職工6800人，輪訓職工3200人.8.不脫產職工6680人,設矩陣_6800_=A2X=_6680_A32003320兩年后職工狀況為:輪訓職工3320人.3

5、-12求:(1)ArBr-BrAr;(2)A2-B2.atbt-btat=2-41r3-613-612-41-2-12-121-2解：（1）9.設A是對稱矩陣,B是反對稱矩陣,）是反對稱矩陣(A)AB-BA;(B)AB+BA;(C)(AB)2;(D)BAB.10試將矩陣4=13-2-113A=A+At)+A-At)=表示成對稱矩陣與反對稱矩陣Z和.52323232J.2丄2J.25-10_005-1021_21_3-113-11(2)A2-B2=-4-2-4-2-62-(5200_15-5_-15500-301030-1010-200010-20n.設q是反對稱矩陣，b是對稱矩陣，試證：AB是

6、反對稱矩陣的充分必要條件為AB=BA.證：必要性：由(AB)t=-AB及(AB)t=BtAt=B(-A)=-BA即得AB=BA.充分性：若AB=BA,則(AB)t=BtAt=B(-A)=-BA=-AB,知AB是反對稱陣.12.設/(x)=amxm+-+a0,記/(A)為方陣A的多項式，即/(A)=酬+%/心+必+a.I(1)設力=，證明f(A)=fWo0/w(2)A=PAPl,證明f(A)=Pf(A)Pi.解：(1)vAk=J=am+am-lamU+入+Go00QV+6/lA+a0/(A)oofWA=PAPlAk=PAkPl.-./(A)=/(PAP1)=amPAmp-+aPAP1+a.PAP

7、1+aQPPl=Pf(A)Pl13.設矩陣A=/-2孚匚，其中/為樸階單位陣，a為樸維列向量,aa試證4為對稱矩陣，且A2=I.證：#=（/-2略丁=IT-2（軍）丁=/一亠（耳丁=/一2軍=Aaaaaaaaa故A是對稱矩陣，且宀（/2字）（/2略）=/4字+廠（嚇W.aaaaaa（aa13逆矩陣1.設4為階矩陣，且滿足人2=人，則下列命題中正確的是（）.（A）A=0；（B）A=h（C）若人不可逆，則A=0；（D）若A可逆，則A=I.解：D.2.設川階矩陣A、B、C滿足=則必有().(A)CA2B=I；(B)ATBTArCT=I；(C)BA2C=I；(D)A2B2A2C2=/.解：B.-11-

8、1-1-1-11-1-1-1-113.已知矩陣人=求A”及A（樸是正整數(shù)）.證：由A2=4I,即可得nn(A2y=(4iy=2nI,7?為偶數(shù)n-1=(4/)亍A=2n_1A,為奇數(shù)及A中一，亦即宀撲已知/?階矩陣4滿足A2+2A-3I=O,求：A-1,(A+2Z)-1,(A+4/尸.解：依題意，有A(A+2Z)=3/,即$+2/)=/,故3A1=-(A+2Z)；(4+2/)一=-A,3再由已知湊出(4+4/)(A-2/)=-5/,即得(A+4/)1=-4(A-2/)設A、從AB-I為同階可逆陣，試證：(1)A-A可逆；(2)(人一廠一“也可逆，且有(人滬廠一中=ABA-A.證：(1)A-Bl

9、=ABB1-Bl=(AB-/)B_1n可逆.(2)證法一：(A-Bl)_1_f=(A-A)-(A-B)_1(A-B)A_1=(A-)_1(/-/+A-1)=AB(A-B-)_1=(ABA-A)-nf可逆，且(A歹丁A1=ABA-A.證法二：由(1)=因此(A-B1)_1-A-1(ABA-A)=B(AB_/尸一A1(ABA-A)=B(AB-iy(AB-I)A-A-ABA-1)=BA-BA+1=I可逆，且(A歹丁f1=ABA-A.華東理工大學線性代數(shù)作業(yè)簿（第二冊）任課教師解:矩陣的分塊3400_3200_4-3004500,B=00207004100220062，求（1）1.設4=(2)A4.A

10、4_A_E佔-A_B2AB=A4A40=(25/)2=625人2500026-7000082000261010_=16102121_41625000_06250000160006416A?4=16/.A4=2設心0-301000000100丄0W：4丄00020-003ww3已知分塊矩陣叫巴：；，則譏()(A)l叫20)(wj必r(C)1112wTI”21o/解：D(B)%o、(w.TW-T(D)1121叱0丿014.求滿足AX-X+I=A2的矩陣X,其中A=020101解：由原式，整理得(A-I)X=A2-I=(A-I)(A+I),而001201A-I=010可逆，故由上式可得X=AI=03

11、01001025.設刃卩介矢E卩車4,8$前足人+=48證明4-/可逆，且AB=BA；_1-30_若已知=210,求矩陣A002解:(1)由A+B=AB,移項得AB-A-B=O,即AB-A-B+I=1f亦即(4/)(B/)=/,從而得至IJ4/可逆;且由上式可得(B/)(/)=/,展開得B44B=O,即BA=A+B,結合條件知=U310丄200由(1)知人一/=(8/)“，即A=(B/)+/,而0-3(B-/)-1=2000設4=(呦)是一個加X/?矩陣，(1)計算“A,Ae.,eAfj,其中弓為加階單位矩陣的第，列，勺為階單位矩陣的第丿列；試證：對任一m維列向量x,xTA=0oA=O；試證：

12、對任一m維列向量x和任一n維列向量y,xTAy=0oA=0解：(1)人=%絢2,，A勺斗仙，如,T，&Aej=ciij(2)“u”顯然;“”由向量x的任意性，取x=ei(z=1,2,./?,且e.為m階單位矩陣的第i列)，則由(1)得&A=an,ai2=0,即A的第i行為零向量，取遍心1,2,.知4的每一行均為零向量，即A=O“u”顯然；“二”由兀與y的任意性，取x=q,y=ej(i=1,2,.mJ=1,2,隔q與勺分別為W階單位陣的第門列)，則由(1)得eAcj=atj=0,即A的每一個元素都為零，亦即4=07.設樸階矩陣A=atj維向量a=l,l,lr(1)計算Ao；若4可逆，其每一行元素

13、Z和都等于常數(shù)c,試證：獷的每一行元素Z和也都相等，且等于丄.C解：(1)設9為樸階單位矩陣的第j列，則有Q=1丄,1=勺+勺+?ixk=lna2kk=l又設y為A的第i列，則有Aa=Ae+Ae2+Aen=a+a2+匕=.k=_由題設及(1)的結論可得：Aa=ca=Ala=-a,即A*的c每一行元素Z和都等于丄.1.5初等變換與初等矩陣-112212；(2)-401-346-1-11.用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣.(1)_12；10_r12；10_12C31-34；01010J3101：J1J1Lioioj解：（1）構造分塊陣4,并對其進行初等行變換2-1_14-24-1031J即得_32i

14、o1031W102.2-1已知A=122112-34，且有XA=X+B,求X5-1122-1102(2)-4012-136-1-1418_1-11；10o-_1-11100_A-I.I=110；01002-1-110211；00103-1-201解：-XA=X+B=X(A_I)=B=X=B(AIf2-3_12-r29-5X=B(A-1)=204-1-1i-2-860-15-1-32-4-149101_84r-10o-3.已知A=010,B=059,c=011，計算102007021U=B(C7)-1-/r(ABl)T+(加汀.解：1-11j.2210j_J_22j_32_212-1-1-11-

15、1-32U=A(B(CT尸一/)T+=a(Ct)_1-血丁+(血)T=C_1At-(B)TAt+at-100_101-10-rc_1at=0-110101-1202-1102-12-2123_oor10o-4.已知A=456,P=010,Q=001,則789100010poogoi=解:5.A=a”。加a31+11a22a!2a32+a!2a23務3a33+ai3故而可逆且其逆也是初等且滿足=B4/.010_100_呂=100010001101則有（010_100_1-43_6.解矩陣方程：100X001=20-10010101-20(A)APP2=B；(B)AP2P=B:(C)片4=B；(D

16、)P2PA=B.解：C解：X左右的兩個矩陣均為初等矩陣,矩陣，于是有010_-11-43_100_-1X=10020-10010011-20010010_1-43100_2-10_10020-1001=13-40011-2001010-27.已知為三階方陣,1-2（1）證明A-2I可逆；（2）若=1200解：=B-4I2B=AB-4A(A=8(B-4/尸+2/=-1-30+21=-1-1000-400-2&設矩陣4可逆，且A：B.試證：(1)矩陣B可逆；求(3)試證f交換第,、j列后可得矩陣解：(1)依題意，有B=RtjA,其中坷為對應于初等變換的行初等矩陣，則由鳥及A均可逆知B必可逆.(2)

17、由(1),得B-1=(/?,/尸=川層=獷鳥,故而AB=A(A-1Ri)=Rh(3)由(1),得B=A-1/?.,而%=C.,故fq=B,即A-1-Bl華東理工大學線性代數(shù)作業(yè)簿(第三冊)學院專業(yè)班級學號姓名任課教師2.1行列式的定義2x1231.行列式XX12是關于兀的次多項式12x3X123x解:4TOC o 1-5 h zab02.已知a、b為整數(shù)，且滿足-ba0=0,求a和b.100018ab0解：ba0=8(6z2+Z?2)=06z2+/?2=0100018因為a、b為整數(shù)，故有0341002611179-50=51(-1)1+40403102611(1)=0；(1)=0；(1)=0

18、；(1)=0；=一52(一1嚴春=-10(0-10-4-3)=120(1)=0；(1)=0；(1)=0；(1)=0；5.設/=；13x2求它的常數(shù)項.0解：/的常數(shù)項C=/(0)=110102301203201=(-l)1+3xlx21(1)=0；(1)=0；(1)=0；(1)=0；3=lx12+3x03=一51(1)=0；(1)=0；(1)=0；(1)=0；2.3行列式的性質1.證明下列各等式200220032004200520062007200820092010a+bxqx+bqdibq(2)+b2x+么c2=(1)bja3+b3xa3x+b3c3a3b3c3證明:200220032005

19、200620082009200420072010“2002=200520032006“2002=2005200820091200811=01(2)證法一:dQX+bCbxqx+bq左式=a.ax+b6厶+b2xa2x+b2c2色a3x+b3c3b3xa3x+b3c3S5bYxaYxqaibiq偽工6+b2xa2xc2=(1-F)0b.5*0=右式.$QC3b3xa3xC3C/3b3C3證法二:5(一工)左式=a2(1x2)a3(l-x2)=(1)al-x2)a2x+b2c2=(1-x2)a2ci3x+b3c3a3b2c2=右式.ax+bqax+b2c2吋+c3選擇題：(1)設4為77階方陣，若

20、A經(jīng)過若干次初等變換變成矩陣則正確的選項是().若IA|=0,則必有網(wǎng)=0；(C)B(D)若|A|0,則必有網(wǎng)0.解：B.設盒、.、勺是三維列向量，則與三階行列式等值的行列式是()&,2芻+2&+3&釦;(B)&|A|=0已知/?階矩陣4、B滿足：A2=I.B2=lf且國+網(wǎng)=0,試證|a+b|=o.證：依題意，有|a|=i,且|a|=-|b|,進而再由移項即得A+B=O.(1)(1)JA=B=-C=D=解:(1)(1)(1)(1)10-10010-110100101=4,K|=Md-bC=1+1=2.(1)(1)(1)(1)24行列式的計算=xy110011-x000011001iy1111

21、11-x11-y=x2y2.1+x11111-x1111i+y11111-yXX00110011-x1111-x1100yy0011111i)111iy1計算行列式1(-1)解：原式心(1)(1)(1)(1)2計算下列n階行列式012n111n1111n122；Dn=-1n11nnn111解:(1)將第2列,，第川列的一(1+2+)1212(-1)倍加到第1列后，得原式=(2)換行后,將第1行乘以n(n+1),n2提取公因子后，再111nn11111n11n11-=(-1)2-1n1111n1n111111n將第2,3/?列全加到第一列,加到以下各行得(-1)2=12n-l2n-l=(1)22

22、n-l2n-l=(1)F(21)(n-l)n=(1)=(21)n-l0=(l)k(21)(1)”a”(a-1)”(a-n)n嚴(a-l)nl(a-n)nlU+i=:aa-1a-n111111a-n67-1a-=/7!(/?-l)!l!=(Q-7?)，_1(a-1)”anl(a-n)n(a1)3利用范德蒙行列式的結果計算行列式解:=n(丿-。l/jn+l4計算加階行列式2嚴abcdaD2n=解：將第2/7行與其上各行逐次交換至第2行，再將第加列與其前各列逐次交換至第2列，得bab=Cd2，l2=S%2“一2=（ad-be）2D2n_4=.=（ad一bc）nD2=（ad一be）2.5行列式的應用設

23、4為刃階方陣，則().若4,B都可逆，則4+B必可逆；若4,B都不可逆，則A+B必不可逆；若可逆，則都可逆；若4B不可逆，則都不可逆.解：C.已知3階方陣4的行列式為|A|=3,求行列式解：由附|=|A|_1=p|Ar|=|A|=3及仲=9,得J1:斗獷慣|=卜十|們才|=91(1V1已知A為3階方陣，且|A|=-,求一A-12才317丿解：由仲呼冷,及宀詁，得討-12A-=7A_1-12A*|=21/T12=93A*=114.已知矩陣人=1000011；，求|A|中所有元素的代數(shù)余子式Z01和.解：解法一：直接計算各代數(shù)余子式11=i，a2=(-i)1+21 HYPERLINK l book

24、mark2211111=0,010Ab=(-i)1+3o011=0,人14=(-1)1每=-1,血=1，人23=人24=41=0,含2=-1，A33=1,人34=0,1=0,A42=Q人43=-1“44=L于是人+免hAm=1解法二：先求4Al=111101110011000110000100001000011I=0,010000100001000011-10001-10001-10001-100_Ai21AiAi1-10A2%232人4201-1413人23人33人43001人4碼含4人44人1+人2+A|411111111111111110111111101110111+001100111

25、111001100010001000111112兀+y+込=0設齊次線性方程組L+2y+z=0，試問:x+y+Az=0仃)2取何值時，方程組只有零解?2取何值時，方程組有非零解?211111解：系數(shù)行列式121=(2+2)0A-10=(2+2)(2-廳,11200A-1所以當兄H1且2北-2吋只有零解；當兄=1或2=-2時有非零解.x+y+z=l6.已知vax+by+cz=d，問a,b,c滿足什么條件時，此線性a2x+b2y+c2z=d2方程組有唯解，并求這個解.解：由克拉默法則知方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列111式不等于零，即abc工0,再由范德蒙德行列式知/b2c2111abc=

26、(b-a)(c-a)(c-b),故只有當a,b,c互不相等時，方crb2c2程組有唯-解，且解為(b-d)(c-d)(da)(cd)“_(d-a)(cl-b)x,v乙.(b-a)(c-a)(b-a)(c-b)(c-a)(c-b)7.已知3階方陣A=岡,且對任意的1/,；3都有代數(shù)余子式州=州及an=-1,求:(1)|a|；(2)Ax=勺的解,其中5=1,0,0解：(1)依題意，有才=億即有|才|=|勒,再由W|=|A廠及|Ar|=|A|W|A|(|A|-l)=0；再由|A|=nilAl+勺2人12+。13列3=an+ai2+a!3-(-I)=】知必有A=1.由(1)可知及A*=中，所以在Ax=

27、e的兩端同時左乘中，得ATAx=ATelf即ALx=an,al2,a13f=-1,0,0,亦即x=-1,0,of 華東理工大學線性代數(shù)作業(yè)簿(第四冊)學院專業(yè)班級學號姓名任課教師3.1矩陣的秩設加矩陣A的秩為廣，則下列結論錯誤的是()(A)A有廣階子式非零；(B)A的所有廠+1階子式為零;(C)力沒有廠階子式為零；(D)r(A)min(/?7,n)解：C.1a-122.設r1-1a2=2,則a=10-12解：a=_-1或o_4023.設A為4x3矩陣,B=020,則r(AB)-r(A)=.103解：0.23441-12-34確定矩陣A=3261的秩，并給出一個最高階非零-10-21子式.11-

28、23011-230_0-1-2-2-1012210-16+Q-2-1008+a000-2-4-4b0000b+2解：由2知_1-12-3-12-30501001020501000000-10-20000解：利用初等行變換化成行階梯形矩陣來求矩陣的秩.由A知r(A)=2,最高階非零子式可取231-15.當參數(shù)取不同數(shù)值時,123J112-1347-10-1-1b的秩。當a=8且b=2時，廠(B)=2;)=3;當a=8且?guī)?,或心8且b=2時,當gh8且bH2B寸，r(B)=4.6.設矩陣4=叭咕a2b2a2bn,求心)及r(A2).anb2anbn解:設a=al,a2,-an,j3=bl,b2,

29、-bn,則人=儀0丁,且有當qhO且工0吋，4)=1;當a=0或0=011寸，廠(4)=0,又A2=AA=（Q0T）（Q0T）=afa）ff=a）ap則有0咕=0其他7.設人是加階滿秩陣，是7XH矩陣，試證明ABx=0與By=O是同解方程組，并進-步利用齊次線性方程組的有關定理，說明r(AB)=r(B).證：先證Bx=O的解均為ABx=0的解，若兀是Bx=O的解，則以By=O代入ABx,顯然有ABx=O-,再證ABx=0的解均為=O的解，其實由A為滿秩陣，在ABx=0兩邊同時左乘即得Bx=AlO=O；由、即知ABx=0與Bx=O是同解方程組，且它們在能得出其任一解的通解式中含有的任意參數(shù)個數(shù)必

30、相同，即n-rAB)=n-r(B),亦艮卩r(AB)=r(B).3.2齊次線性方程組_11-1_已知A=-1G1，設卬=1,0,lr,6Z2=0,1,1丫為TOC o 1-5 h z11b山=0的兩個解向量，貝=,b=.解：T,T若線性方程組J：*亍+管無解,則常數(shù)a=.2召+6x2-8x3=1解：a=4.3.方程組A3x5x5x1=0必().(A)無解；(C)有非零解;解：C.(B)僅有零解；(D)以上都不是.4.討論下列齊次線性方程組是否有非平凡解(即非零解)？若有,則求出其通解.x2-3七=0X-2x2+5七=0X+2x2+2x3+兀=0(1)(1)解:1-221-2(2)2x+x2-2

31、x3-2x4=0.x-x2-4x3-3x4=01-2210-4501-30301-3001-2010-4500由r(A)=3=未知數(shù)個數(shù)，知原方程只有零解.(2)解:1住(-2)_1221-20-3-6-4-3耳3(-1)0-3-6-4221-2-1-40-2120053430 # # # #由r(A)=2v3知原方程組有非零解，且原方程組的解為x2=_2兀_扌耳,令兀3=5無=。2,則得通解為 # 0,(cpc2e/?)101o010000000000當Q=1吋，B=,錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的公共解為入-1013430X+兀2+=05.設線性方程組v+2x2+ax3=0與

32、方程血+2兀2+心=I有公X+4兀2+Cl2X3=0共解，求d的值及所有公共解.解：因為方程組錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的公共解，即為聯(lián)立方程組X+“2+兀3=Xi+2x2+axy=0Xj+4x2+ci2x3=0 x,+2x2+x3=a-11110_101l-a12a00107-114cr000a-lIa121(7-1000(a-1)(7-2)的解對方程組的增廣矩陣方施以行初等變換:=B因為方程組有解，所以a=l或22,100o0101001-10000當a=2時,e,錯誤！未找到引用源。與錯誤！未0找到引用源。的公共解為1-112-2已知三階非零矩陣B的每一列都是方程組2-1

33、幾x=0的TOC o 1-5 h z31-1解，求：（1）兄的值；（2）網(wǎng)；（3）一個矩陣122解：（1）若記矩陣力=2-12，則由題意可知Ax=O有非零解,31-112-2故由212=0,解得2=1.31-1（2）由（1）知方程組的系數(shù)矩陣_12-2_12-200_A=2-110-5501-131-10-55000即4）=2,故方程組Av=O有無窮多個解，但通解表達式中只有3心）=32=1個任意參數(shù)，且由通解為0知矩陣B的每i列必為向量1的倍數(shù)，即各列對應成比例，故1由行列式性質，知B=o.另解（2）：假設0卜0則B為可逆陣，由題意知AB=O,右乘 # # AnJ得4=O矛厲，所以|b|=0

34、.0000即可.000（3）由（2）的分析，可取矩陣8=113.3非齊次線性方程組1填空題:xA-x2=aAx2-x3=a2（1）線性方程組x3-x4=a3有解的充分必要條件是解：G+冬+色+勺+冬=0一2兀1+兀2+aX3一5勺=1X+兀4=1(2)設方程組“+兀2-勺+加=4與(II)x2-2x4=23+七+兀3+2x4=cx3+x4=-1同解，貝la=,b=,c=.解：a=_l,b=_2,c=4.選擇題：(1)設Ax=0是對應加=b的齊次線性方程組，則下列結論正確的是()若/U=0僅有零解，則Ax=b有唯一解；若Ax=Q有非零解，則Ax=b有無窮多解;若Ax=b有無窮多解，則心=0僅有零

35、解;若=b有無窮多解，則Ax=O有非零解.設z矩陣A秩為/，則非齊次線性方程組Ax=b().(A)r=m吋有解；(B)廠=時有唯一解；(C)m=n是有唯一解;(D)rn時有無窮多個解.設A為加xn矩陣,b工0,且r(A)=n，則線性方程組Ax=b().(A)有唯一解；(B)有無窮多解；(C)無解；(D)可能無解.解:(1)D;(2)A;(3)D.Xj+ax2=a設444是互不相同的常數(shù)，證明方程組看+兮2=a；無解x+a3x2=aj1勺證：A=1禺a；13由范德蒙德行列式知A=(冏一2)(。3aiKa2_4)工0，故r(A)=3,而r(A)=2,所以由心)工r(A),知方程組無解.X-2x2+

36、X3+兀4=1X2x)+X3兀4=1X-2x2+5耳=5求解下列非齊次線性方程組2兀1+勺+2*3-2x4=3Xi-2x2+3x3-x4=1;(2)3jV-x2+5x3-3x4=2(1)解：由212-231-23-11A1-23-1105-4013-15-3205-40-11-23-1；1_05-40；10000；-2知心)=2工3=刁),故方程組無解.(2)解：由-211;11-2111_1-21-1;-1000-2-21-215:500044_1-210；00001；10000；0知廠(4)=廠(可=24,故方程組有無窮多個解，且有X=2x2+(-1)x3兀11令氐=CnX3=C2，則通解

37、為xi02-1兀20100+q0+C21100心WR)a上取何值吋，線性方程組13-2-1_0132兀2114a111710a+6宀_b_13-2-10_13-2-10_013210132114a1100a-00171067+6b000a-b_4有唯一解、無窮多個解、無解？并在有無窮多個解時求出其通解。當QH1時,r(A)=r(A)=4有唯一解；當a=1且b工4時,r(A)主r(A)無解；當a=1且b=4時，r(A)=r(A)=24有無窮多解,此時,10-11-7-3013210000000000，得所求通解At(1)由，勺沱2R6.問幾取何值時方程組有唯一解、無窮多個解吋求出其通解。無窮多個

38、解、無解？并在有(1+A)X1+*2+兀3=0v+(1+A)x2+心二3X+兀2+(1+2)兀3=2解：考慮到系數(shù)矩陣是個含所有參數(shù)的方陣，且由1+21111111111+幾1=(2+3)11+21=(兄+3)020=(2+3)/111+2111+2002可知當幾H0且兄H3時，方程有唯一解; ii #1110_110_1113000311100000當幾=0時，A=，由心)工価知方程組無解;_-2110_111-2130-311-2-303當幾=-3時,-23-3-6J000-1-20 # # # #由心)=r(A)=2v3,知方程組有無窮多個解，且有嚴=+x2=-2+x3-1-T則通解為兀

39、=-2+C101,（CWR）華東理工大學線性代數(shù)作業(yè)簿（第五冊）學院專業(yè)班級學號姓名任課教師4.1向量組的線性相關與線性無關向量組卬=1,3,0,02=5,0,-3,07,岱=2,0,0,線性關解：無.選擇題：（1）向量組少,勺，勺線性無關的充分必要條件是（）（A）存在全為零的一組數(shù)kl,k2,.,ks,使ka+k2a2+ksas=0；（B）存在不全為零的一組數(shù)k,k2,ks,使ka+k2a2+ksas工0；（C）對于任何一組不全為零的數(shù)&卡2，.也,都有ka+k2a2+ksas工0；（D）aA,a2,.,as中任意兩個向量線性相關.解：（C）. （2）下列命題中正確的是（）（A）若整個向量組

40、線性相關,則必有部分組也線性相關；（B）若整個向量組線性相關,則其中必有零向量；（C）若有一部分組線性無關，則其整個向量組必線性無關；（D）若有一部分組線性相關，則其整個向量組必線性相關.解：（D）.向量0=1,1,1廠能否由下列向量組線性表示？若能，請表示出來.（1）內=1,0,-3，勺=2,0,5，a3=6,0,8r；（2）內=1,一3,0，巾=1,一7,0，旳=，1解：（1）若記矩陣A=，則問題轉變?yōu)榉驱R次線性方程組Av=p是否有解，故只需判斷r（A）是否等于廣（出0）.1261而0二0001,顯然心）二2北3二心|0）,故Ax=0無-3581解，即0不能由QiSS線性表示._110r_

41、1002（2）由劃0二-3-701010-1得A)二廣(4|0),00110011故0能由a】sS線性表示，且0=2tZ_夠+偽已知向量a1=A,2,2r,a2=2,22-1勺=2,3,2+3，0=1,1,22-1，問2取何值時,（1）0可由a】，a2,也線性表示，且表達式唯一?（2）0可由a】，a2,也線性表示，且表達式不唯一?（3）0不可由勺，a2,也線性表示?解：記心血勺旳，則問題轉變?yōu)榕袛喾驱R次方程組Ax=p是否有唯一解，有無窮多個解以及無解.2；1由人|0二；I2A-13；1及A是含參方陣，知可222+3；22-1通過|A|來討論山=p解的情況.TOC o 1-5 h z222同二2

42、2A-13=A(A-1)(A+1)A2兄+3當幾工0且;1工-1且;1工1時，由克拉默法則知Ay=P有唯解，即0可由勺，當兄=0時,0二000勺,唯i線性表示;0001-3；-101-120052 # # 故0不能由aY,a2,a3線性即廠(A)hr(A|0),亦即Ar=p無解,表示;112;r_112;r2=1時，0二113;1001；0114;1000；0即二廣(出0)二23,亦即Ax=p有無窮多個解，故0可由a.a2.a3)不唯-，地線性表示；2=-1吋，-1-12:111-2；-I-0二-1-33;10-21；0-1-12一3000；-4即r(A)hr(A|/?),故0不能由alya2

43、,a3線性表示；綜合上述得：當兄工0且兄工一1且無工1時,即0可由al,a2,a3唯一線性表示當2=1時，0可由a,a2,a3線性表示，且表達式不唯一；當2=0或2=-1時，0不可由內,勺衛(wèi)3線性表示。設向量組al,a2,.,an中，前農-1個向量線性相關，后并一1個向量線性無關，試討論：(1)aA能否用a2,線性表示；匕能否用內s,一1線性表示；解：(1)因為后-1個向量線性無關,也就是向量勺,勺，勺線性無關，所以如也，線性無關;又因為前料-1個向量線性相關，即?！耙?線性相關，所以Q1能用a2,.,an_線性表示；(2)反證法.假設a”可以用aqs，S-1線性表示，由可知a“可以用如1線性

44、表示,也就是a2,a39.,an線性相關，與題設矛盾所以勺不能用內。2,勺-1線性表示.判別下列各組向量的線性相關性:(2)_17_3_629一8015-2-6,Ctj=0,ct9,勺00023016_23一15-5_少=-12,O(2=-49OC=16,勺=6330279o-(1)aA=0,a2=0-10 # # 0解：(1)因為存在人=0及=1使得kal+k2a2=0成立，所0以這兩向量線性相關.解：(2)觀察后，將這四個向量重新排列，構造矩陣A=a2,a4,al9a3=29-20178-6，則因為心)=4,知此四個向00023量線性無關.很明顯，這是4個三維向量，將它們排列成一個矩陣后，

45、矩陣的秩最多為30012L0-2/53-a # ,0依題意，則有二AC其中C為H階方陣，而c=,n為偶數(shù)吋2,為奇數(shù)時若3,向量組線性相關;若。工3,向量組線性無關.已知向量組aa2,.,a”線性無關，且01二4+2,/32=a2+a3,.pn-an+a試討論fln,的線性相關性解:記矩陣A=a15a25.,an,B=血02,8=岡,02,.,0二。142,.,弘性無關知矩陣A滿秩，所以當為偶數(shù)時，即C為降秩陣吋，由BAC及r(B)niinr(A)?r(C)an的線性無關.&設A為mxn矩陣，B為nxin矩陣，求證：(1)如果mn,則AB=0；(2)女D果加5且AB=Z,則r(B)=m.證：(

46、1)由矩陣秩的理論，可知r(A)n,r(B)mintn,n=n以及r(AB)niinr(A),r(B),于是r(AB)n,而AB是加xth矩陣,故由加n知AB是降秩陣，即AB=0；(2)若mn,則一方面r(B)minw,n=m；另一方面由r(/)=r(AB)r(B)及AB是mxm矩陣知有mr(A+/)+r(A-/)-n,即r(A+/)+r(A-I)-n0,另一方面n=r(2/)=r(A+/)+(/-A)/?,綜合可得r(A+/)+廠(A/)=設向量組內,勺，匕線性無關，向量人可由這組向量線性表示，而向量02不能由這組向量線性表示，證明：向量組內衛(wèi)2,+02必線性無關(其中C為常數(shù)).證明：設存

47、在常數(shù)k使得klal+k2a2+knan+k(c0+0?)=0則一定有k=0,否則,角就可以由匕皿0、線性表示，進而可以由的，如，線性表示,這與題設矛盾，故鳥=0,即ka+k2a2+=0又因為向量組aa2,.9an線性無關,所以有k=k2=.=kn=0.(1) #=刮到當味*H82H”嚴HH0耳s(1) #Fal+L3+kg-+=(c+0270注w“可WZFLR2:azc+t空H?出卅. (1) #華東理工大學線性代數(shù)作業(yè)簿(第六冊)學院專業(yè)班級學號姓名任課教師4.3向量空間設人為6階方陣A的伴隨矩陣，則當A的秩為2吋，齊次線性方程組=0的解空間的維數(shù)為，而當A的秩為5時，齊次線性方程組45=

48、0的解空間的維數(shù)為.解：6；5.設才為(772)階方陣A的伴隨矩陣，設對任意的維向量X均有A=0,則齊次方程組Ax=0的基礎解系中所含向量個數(shù)k滿足()(A)k=n；(B)k=1；*=0；(D)*1.解：D.設A為料階矩陣,若r(A)=n-3f且a,a2,a3為Ax=0的三個線性無關的解向量，則下列各組中為山=0的基礎解系是().(A)-a1,a1-a3,a3-a；(B)宓心一碣心一色+色；(C)2+也,勺,0；(D)匕，3弓+再,一2解：B.、T設Vj=,v,=x=,x2,x3rxA+x2+x=-1,x,e/?,/=1,2,3問疋的這兩個子集，對疋的線性運算是否構成向量空間，為什么？解：按向

49、量空間理論，只需驗證每個子集對疋的線性運算是否滿足封閉性.先看，Vx=x15x2x3r,），=北*2，兒%，及常數(shù)k,有x+y=心+y1,x2+y2,x3+兒了及（“+比）+（兀2+%）+（可+3）=（“+兀2+兀3）+（兒+%+）3）=0+0=0即對加法滿足封閉性；而kx=kxl,kx2,kx3r,及kx+g+kx3=kg+筆+心）二0亦即對數(shù)乘滿足封閉性，故構成向量空間.再看嶺，Vx,yeV2,有x+y=x+y,x2+y2,x3+）,但（x1+y1）+（x24-y2）+（x3+y3）=（x14-x2+x3）+（y1+y2+y3）=-l-l=-2即x+）陀嶺，亦即對加法不滿足封閉性，故嶺不構

50、成向量空間.試求由內，a2,勺生成的向量空間V二期（Q,a2,a3）的一個基及V的維數(shù)dimV,其中a嚴1,2,-3,0丫，勺=-1,-1,5,2,3=0,1,-2,2解：由于V是向量組少，MS的生成子空間，故V的基及維數(shù)完全等價于向量組同,勺，勺的最大無關組及秩.由12-30-1-35201-2-210-30-1-15201-2-21000-1-12201-2-21000-11000-100知可取為V的一個基,且dimV=2.6.已知一個四維向量組Q嚴1,3,-2,1,a2=0,-l,5,2r, (1) #T丁3=3,8,-1,5,a4=1,6,-17,-5,(1)求aa2,a3,a4的一個

51、最大無關組及秩；(2)將其余向量用這個最大無關組來線性表示；知(1)解：構造矩陣并進行初等行變換，由(2)由初等行變換的結果矩陣010031001-300kisss二1031103110313-1860-1-13011-3-25-1-17*055-150000_125-5022-6|_0000秩為2,可取，勺為一個最大無關組;a3=3a+a2,a4=a-.求下列齊次線性方程組的基礎解系(1)2兀1-x2+4x3-3x4=0X+兀一耳=3X+x2+x3=07召+7x3-3x4=0(2)nx+(n一l)x2+2兀+xn=0.2-14-3_1010_101-101-20311000017073_00

52、00解：(1)由力=即r(A)=34,知方程組有非零解，且基礎解系中含有4-廠(4)二1個線性無關解向量.解為x2=2x3,即知基礎解系為=-1,2,1,0“=0解：(2)顯然方程組有非零解，且基礎解系中含-1個線性無關解向量，由解為x”=-nx-(77-l)x2-.-2x/j_1,即知基礎解系&設A是階方陣，試證r(AM)=r(An+1).100100-，“2=-00-771-n000z7/i-i=1-2證：我們通過證明=0與/TG=0是同解方程組來說明問題.顯然,化=0的解都是4曲兀=0的解,下證AM+1x=0的解兀是A”x=O的解.否則，若從心0,考慮向量組兀山異比異”-比仇,若kQx+

53、kAx+k2A2x+kn_Anx+knA,lx=0(*)在上式兩邊左乘A,利用An+ix=An+2x=.=A2nx=Q,得kQAnx=0,而AkzO,故必有心二0,此吋，(*)式變?yōu)閗Ax4-k2A2x+kn_tAnlx+knAnx=0,再用人心兀左乘上式兩端，必得k嚴0,依次類推，最終必有k0=k2=.=kn_=kn=0,這說明n+1個向量x,Ax,A2x,AAx是線性無關的，而這顯然與J+1個斤維向量必線性相關”矛盾，故說明假設錯誤，即只有A、=0綜合上述，知Ax=0與A,+1x=0同解，進而有r(An)=r(A,l+l).4.4線性方程組解的結構1填空題已知非齊次線性方程組Ax=b有通解

54、表達式x=2,3,6,-5p+0,5,5,3(reR),則r(A)=.解：3.設A是3階方陣，r(A)=2,且人中每行元素Z和均為零，則齊次線性方程組Ax=0的通解為解：x=(c,c,c)r,ce/?.(3)已知勺憶2點為非齊次線性方程組的三個解，又芻+=(3,0,if,3=(2,-1,0)且r(A)=2,則Ax=b的通解為.解：x=(l,-2,-l)rc+(2,-1,0)r,ce/?.2.設a,a2,a3為Ax=b的解，則()是Ax=0的解.(A)a】+久+勺；(B)2a+3a2-Sa3；(C)al+a-a3；(D)ai-a1-ay.解：B.3已知非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為2,又已知該非

55、齊次線性方程組的三個解向量為x嚴1,-1,-2,3丫，x2=3,2,0,-47,x3=l,-5,3,lf,試求該方程組的通解.解：由方程組未知數(shù)個數(shù)為4及系數(shù)矩陣的秩為2,知其對應的齊次線性方程組的基礎解系中只含兩個線性無關解向量，再由“非齊次線性方程組兩個解的差必為對應的齊次線性方程組的解”，以及不-兀2=-2,-3,-2,7,x1-x3=0,4-5,2r線性無關.知非齊次線性方程組的通解等于它自身的-個特解加上它對應的齊次線性方程組的通解，即通解=“+C(X-兀2)+5(兀-兀3)=b-1，-2,3+q-2,-3，2,7+c20,4?5,2e町.4.設非齊次線性方程Ax=b的系數(shù)矩陣的秩r

56、(Ax3)=2，加2是該方程組的兩個解，且有弘+2=2,-1,1廠，3弘+52=-6,0,5丁，求該方程組的通解.解：依題意，非齊次線性方程組對應的齊次線性方程組的基礎解系中只含3?。ˋ）二1個解向量，按照非齊次線性方程組與其對應的齊次線性方程組兩者解的結構及相互關系，可取寺（1+2）為山=b的一個特解可取（31+5%）-（弘+帀2）為2o2對應的齊次線性方程組的基礎解系，則Axb的通解為=A（l+772）+C6（31+52）一懇（1+2）ZOZ1一丄丄1+C711L22L428j(ceR).5.已知向量,7為Amxnx=bflJn-r+1個線性無關解,且r（A）-r.試證：%一o，久“一o為

57、Ar=0的一個基礎解系；（2）Ax=b的通解可由,班，,，線性表示,且系數(shù)和為1.證：依題意，只要證明-0，2-0，T-0是山=0的線性無關的解向量即可，而它們是AX二0的解向量很顯然，故下證-0，2-0，0線性無關考慮k（1一0）+込（2-0）+/-（心一0）二0，即-（人+心+心）0+/1+心2+匕-二，由0，1，2，“一線性無關，知必有（k+k?+kn_r）=0TOC o 1-5 h zk1=0k2=0kn.r=0故而7辦一o，2-7/（），7血_”一0線性無關.證：（2）由解的結構知的通解為k（1一0）+比2（7?2-0）+k,i（7乙_一0）+0二1-（人+人“）371+2%+-+n

58、-r%-r且其系數(shù)和為1-4.5向量的內積1將向量組Q嚴1,1,17,勺=2,0,0旳=1,1,of規(guī)范正交化.解：利用施密特正交化公式，即得0嚴內=1,1,1P2=a2-501A=i,Mr-|2,o,or=42_2333502廠12ol-l22再進行單位化，即得 # #(1) # # #(1) #2.已知勺，a2,旳為維規(guī)范正交向量組，且01二2q+2勺+ # (1) #兄勺，/?2=2-22a2+2a3,問2為何值時，向量0】，0?正交？當它們正交時,求出|0，|肉|解：正交即內積為零，為使0,02正交，必有=0,也即V01,02=0i02=(2q+2a、+ACt)T(2q2/12+Ttt

59、tT2T=4da+4a2+2Aa3aL一4Aaa2一4Aa2a2-2Acr3a2+2Aa/a3+2Aa2a3+A2a7a3=4-42+22=(2-2)2=0(注意，化簡過程中利用了5,&2，如為規(guī)范正交向量組)，故當兄=2吋，燉正交.此時,0=2內+2a2+2勺,02=2d-4a2+2a39于是|A|=V=7=V22+22+22=2V3IIA|=02,02=WK=Q+(-4)2+T=2苗3.已知兩個正交單位向量=勺=(-爲廠新，試求列向量匕使得以，勺，匕為列向量組成的矩陣Q是正交矩陣.解：依題意，所求的向量勺應該滿足，TOC o 1-5 h z丁TaAa3=0,a2a3=0,a3=1.設向量a

60、3=(x1?x2,x3),由a/a3=0,aa3=0有$/9葉(8/9)皆(4/9心0;44(8/9)不+(1/9)吃(4/9)吃=0173-73 #(1) #再利用陽2=彳+X；+E=1得：“3=于是所求的向量為(1) #華東理工大學線性代數(shù)作業(yè)簿(第七冊)學院學號專業(yè)班級姓名任課教師5.1方陣的特征值與特征向量1.選擇題(1)設幾為方陣4的特征值，則().矩陣A的對應特征值幾的所有特征向量構成一個向量空間;矩陣A的對應特征值幾的特征向量一定有無窮多個；對應特征值幾的特征子空間的維數(shù)等于矩陣(力-刀)的秩；矩陣(A-刀)一定可逆.解:B.若歹是對應幾的特征向量,那么豬(0)也是對應兄的特征向