2015應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計青4-1方差分析

1、第四章 方差分析 1.單因素方差分析2.雙因素方差分析2方差分析(Analysis of variance簡稱ANOVA)前面已經(jīng)討論兩個均值相等的假設(shè)檢驗問題，但在統(tǒng)計分析與決策中，常常遇到兩個以上均值是否相等的判斷與檢驗問題，這便需要通過方差分析來解決。方差分析是一種實用的統(tǒng)計方法，一般按誤差來源作平方和分解，再將因素平方和、誤差平方和、總平方和作比較分析。3方差分析 方差分析又叫變異(差異）分析，1928年由英國統(tǒng)計學(xué)家Ronald Fisher爵士首先提出來的，在無效假設(shè)成立的前提下檢驗統(tǒng)計量F的分布規(guī)律，當時的檢驗統(tǒng)計量記做Z，1934年，WSnedecor轉(zhuǎn)換了另一個更容易計算的統(tǒng)

2、計量，為了紀念Fisher的貢獻，將檢驗統(tǒng)計量命名為F，所以方差分析又叫F檢驗。4方差分析的用途1 用于兩個或多個均數(shù)間的比較2 分析兩個或多個因素的交互作用3 回歸方程的假設(shè)檢驗方差齊性檢驗5方差分析的基本概念 在方差分析中，我們將衡量試驗結(jié)果的標志稱為試驗指標。 將影響試驗結(jié)果的條件稱為因素。 因素在試驗中所處的不同狀態(tài)稱為該因素的水平。 只考察一個影響條件即因素的試驗稱為單因素試驗，相應(yīng)的方差分析稱為單因素方差分析。61 單因素方差分析方差分析的最基本的形式就是單因素分析。單因素方差分析可用于檢驗兩個以上的總體均值相等的原假設(shè)。假定檢驗總體均值是正態(tài)分布，總體方差是相等的，并且隨機樣本是

3、相互獨立的。71 單因素方差分析問題試驗次數(shù)因素水平 12.niA1x11x12.X1n1A2x21x22.x2n2.Aixi1xi2.xini.Aaxa1xa2.xana8 假定各組數(shù)據(jù)分別是來自相互獨立的正態(tài)總體，且方差相等，觀察值是分別從總體中隨機抽取的樣本. 通過各個總體均值是否相等的檢驗，判斷總體均值是否相等。 應(yīng)用方差分析時要符合兩個前提條件：1）正態(tài)性：各水平的觀察數(shù)據(jù)能夠看作是從服從正態(tài)分布的總體中隨機抽取的樣本。 2）同方差性：各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的相互獨立的總體中抽取的。92 統(tǒng)計分析原理單因素A有a個水平A1 , A2, . , Aa ,在水平Ai (i=1,2,

4、 . ,a)下,進行ni次獨立試驗，試驗指標的觀察值為：10試驗指標的觀察值試驗次數(shù)因素水平 12.niA1x11x12.x1n1A2x21x22.x2n2.Aixi1xi2.xini.Aaxa1xa2.xana111）統(tǒng)計模型 在水平Ai (i=1,2, . ,a)下來自總體XiN(i, 2)的樣本為 Xi1 , Xi2 , . , Xini 線性統(tǒng)計模型為121）統(tǒng)計模型總平均值第i個水平Ai的效應(yīng)i = i -顯然有統(tǒng)計模型變?yōu)?32）建立假設(shè)原假設(shè) H0：m1= m2 = . = mr對立假設(shè) H1：mi (i=1,2, . ,r)不完全相等142）建立假設(shè)方差分析：就是檢驗統(tǒng)計模型中

5、a個 總體N(i, 2)中各i的相等性原假設(shè) H0：m1= m2 = . = ma對立假設(shè) H1：mi mj,至少有一對i,j假設(shè)等價于： H0：1= 2 = . = a=0 H1：i 0,至少有一個i153）總變差的分解1)總變差在水平Ai下的樣本均值樣本數(shù)據(jù)的總平均值總變差（離差）平方和163）總變差的分解2)組間變差：各處理組間的均值各不相同，這種差異叫組間（變差）變異，反映了處理因素。因素A效應(yīng)平方和173）總變差的分解 3)組內(nèi)變差：各個處理組內(nèi)的觀察值也大小不一，這種差異叫組內(nèi)變差（變異），反映了隨機誤差的大小。隨機誤差平方和183）總變差的分解193）總變差的分解203）總變差的

6、分解則 ST= SA + SE ST稱為總變差 SA稱為因素A效應(yīng)平方和 SE稱為誤差平方和214）統(tǒng)計分析若H0真，則 xij N(, 2)即所有樣本可看作來自同一正態(tài)總體.224）統(tǒng)計分析234）統(tǒng)計分析244）統(tǒng)計分析即254）統(tǒng)計分析264）統(tǒng)計分析274）統(tǒng)計分析由于所以在H0：i=0成立的條件下：可證284）統(tǒng)計分析記對于給定的，查出F(a-1,n-a)，由樣本值計算出SA , SE ，從而算出F值。若F F(a-1,n-a)，則拒絕H0，若F 4.43= F0.01(4,20) ，故拒絕原假設(shè)H0 ，接受H1： i j說明棉花的百分比對人造纖維的抗拉強度有影響。 第四章 方差分析

7、2無重復(fù)試驗的雙因素方差分析382 雙因素方差分析在許多實際問題中，往往不能只考慮一個因素的各水平的影響，還必須同時考慮幾種因素的相互影響作用。研究兩種因素對試驗指標的影響，稱為雙因素方差分析。不考慮交互作用影響采用無重復(fù)雙因素方差分析，考慮交互作用影響采用有重復(fù)雙因素方差分析。39無重復(fù)試驗的雙因素方差分析因素A有a個水平A1 , A2, . , Aa ,因素B有b個水平B1 , B2, . , Bb ,在每一個組合水平 (Ai, Bj)下,進行1次試驗，試驗指標的觀察值為：401）數(shù)據(jù)表B(j)A(i) B1B2.Bj.BbxiA1x11x12.x1j.x1bx1A2x21x22.x2j.

8、x2bx2.Aixi1xi2.xij.xibxi.Aaxa1xa2.xaj.xabxaxjx1x2.xj.xbx412）統(tǒng)計模型設(shè)xijN(ij, 2)，i=1,2, . ,a, j=1,2, . ,b 線性統(tǒng)計模型為記ij = +i + j ,i為因素A的Ai水平效應(yīng),j為因素B的Bj水平效應(yīng),422）統(tǒng)計模型線性統(tǒng)計模型變?yōu)?32）統(tǒng)計模型檢驗的假設(shè)為：443）總變差的分解1)總變異在水平Ai下的樣本均值在水平Bj下的樣本均值樣本數(shù)據(jù)的總平均值總離差平方和453）總變差的分解2)因素間變異：各因素間的均值各不相同，這種差異叫因素間變異，反映了處理因素的作用。因素A效應(yīng)平方和因素B效應(yīng)平方和

9、463）總變差的分解3)組內(nèi)變異：各個因素組內(nèi)的觀察值也大小不一，這種差異叫組內(nèi)變異，反映了隨機誤差的大小。隨機誤差平方和473）總變差的分解483）總變差的分解則ST= SA + SB + SE 494）統(tǒng)計分析ST的自由度為ab-1,SA的自由度為a-1,SB的自由度為b-1,SE的自由度為(ab-1)-(a-1)-(b-1) = (a-1)(b-1)504）統(tǒng)計分析均方值514）統(tǒng)計分析均方值期望524）統(tǒng)計分析在HA0：i=0 ，HB0：i=0成立的條件下：可證534）統(tǒng)計分析統(tǒng)計量對于給定的，查出F(a-1, (a-1)(b-1)，F(xiàn)(b-1, (a-1)(b-1)，由樣本值計算出S

10、A , SB , SE ，從而算出F1 , F2值。若F1 F(a-1,(a-1)(b-1)，則拒絕HA0，若F2 F(b-1, (a-1)(b-1)，則拒絕HB0 。545）雙因素方差分析表無重復(fù)試驗的雙因素方差分析表方差來源平方和自由度均方F 比因素ASAa-1因素BSBb-1誤差ESE(a-1)(b-1)總和TSTab-155簡化計算與列表記56簡化計算與列表57使用4種燃料，3種推進器作火箭射程試驗，每一種組合情況做一次試驗得火箭射程(單位：海里)列于表，試分析各種燃料(Ai)與各種推進器(Bj)對火箭射程有無顯著影響？（=0.05）6）雙因素方差分析問題舉例58 BjAiB1B2B3xiA15825626531797A24915415161548A36017093921702A47585824871827xj2432239420486874=x 59解這是雙因素試驗，不考慮交互作用。設(shè)火箭射程為 xij= + i + j + ij , i=1,2,3,4, j=1,2,3原假設(shè)HA0：1 = 2 = 3 = 4 = 0 HB0： 1 = 2 = 3 = 0對立假設(shè)HA1：I 0 至少有一個i HB1：j 0 至少有一個j這里a=4，b=3，ab=1260 61火箭射程方差分析表為 方差來源平方和自由度均方F 比燃料43推