本科線性代數(shù)題庫試題答案

1、本科線性代數(shù)題庫答案四、計(jì)算題。127計(jì)算行列式127解：128計(jì)算行列式128解： 129計(jì)算行列式129解：=0130計(jì)算行列式130解：131計(jì)算行列式131解：132計(jì)算行列式132解：=12133計(jì)算行列式133解：=160134求矩陣的逆矩陣.134解： -3分-6分故-8分（利用公式求得結(jié)果也正確。）135求矩陣的逆矩陣.135解：所以A可逆。A的伴隨矩陣136設(shè)求136解將矩陣A分塊成分塊對角矩陣：則于是137求的逆矩陣。137解：寫出并進(jìn)行初等行變換，直至將中的A化成單位矩陣.由此得138 解矩陣方程其中138解： 139解矩陣方程:139解: 140解矩陣方程:140解:

2、141：141解由矩陣加法、減法、數(shù)量乘積、負(fù)矩陣的概念及矩陣方程得142：設(shè)并且求B和C142解：即由得得143：已知求143解： 144.已知其中,，求矩陣與.144解：由得,故A=B=145試從方程中解出向量x其中145解利用向量的線性運(yùn)算法則（與矩陣運(yùn)算相應(yīng)的法則相同），從方程得146.已知向量組，求.146解：=147.已知向量組，求滿足的向量.147解：由得2x=五、解答題148：判定線性方程組是否有解。148解對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換，得即因此方程組無解.149：判定線性方程組是否有解。149解對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換，有則知方程組有無窮多組解。150. 判定

3、方程組是否有解150解：經(jīng)初等變換得所以, 方程組有無窮多組解。151：試判斷當(dāng)為何值時，齊次線性方程組（1）有非零解；（2）只有零解.151解（解法一）將齊次線性方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換故由定理3.6.1知，當(dāng)方程組有非零解；方程組只有零解.（解法二）直接計(jì)算原線性方程組的系數(shù)行列式并利用推論3.6.1也可得結(jié)論.152 問取何值時此方程組：（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多組解？152解：(解法一) 由于系數(shù)矩陣是方陣，由克拉默法則知它有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式因此當(dāng)時，方程組有唯一解.當(dāng)時，增廣矩陣知即故線性方程組無解。當(dāng)時， 故方程組有無窮多組解，(解法二) 對線

4、性方程組的增廣矩陣作初等行變換，有(1)當(dāng)且時，方程組有唯一解。(2)當(dāng)時， 方程組無解。(3)當(dāng)時，方程組有無窮多組解。153取何值時，方程組無解、有唯一解或有無窮多解？ 153154 討論為何值時，非齊次線性方程組有唯一解；有無窮多解；無解。154解； -3分（1）唯一解： -5分（2）無窮多解： -7分（3）無解： -9分（利用其他方法求得結(jié)果也正確。）155 試證向量線性表示，并求出表達(dá)式。155解考慮線性方程組表成矩陣形式的線性方程組156. 將向量表為，的線性組合.156解：157判斷向量能否由向量組線性表示，若能，求出一組組合系數(shù)，其中157解：以為系數(shù)列向量，以為常數(shù)項(xiàng)的線性方

5、程組對增廣矩陣運(yùn)用初等行變換，得由矩陣的最簡形知，原線性方程組有解，即可由向量組線性表示.由矩陣的最簡形知線性方程組的解為即為線性組合的一組系數(shù)，且158給定向量組1=，2=，3=，4=.試判斷4是否為1，2，3的線性組合；若是，則寫出組合表達(dá)式。158解：解法一所以4=21+2+3解法二考慮4=x11+x22+x33，即方程組有唯一解（2，1，1）T所以4=21+2+3159已知試討論向量組，的線性相關(guān)性。159解可見，向量組線性相關(guān)；160討論向量組，當(dāng)為何值時，向量組線性相關(guān)。160解:若向量組線性相關(guān),則所以,即161設(shè)向量組問取何值時，（1）可由線性表示，且表達(dá)式唯一？（2）可由線性

6、表示，但表達(dá)式不唯一？（3）不能由線性表示？161解：因?yàn)樗裕?）當(dāng) -1且 1 時，可由線性表示，且表達(dá)式唯一；（2）當(dāng)= 1 時，可由線性表示，但表達(dá)式不唯一；（3）當(dāng)= -1時，不能由線性表示。162求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.162解對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換:為自由未知量，因此與原齊次線性方程組同解的階梯形方程組為則原齊次線性方程組的解為取取則為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.163求齊次線性方程的通解,其系數(shù)矩陣為163解對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換：由上面最后一個階梯形矩陣知繼續(xù)對將其第1、2、4列構(gòu)成的矩陣化為單位矩陣，有因此，與原齊次線性方程組同解的方程組為164下列線性方程組

7、是否有解？若有解，求其全部解.164解先寫出線性方程組的增廣矩陣，并將其進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣.故原線性方程組有無窮多解，且其同解線性方程組為階梯形方程組在上述方程組中，取自由未知量.也可將上式寫成向量的形式：165設(shè)線性方程的增廣矩陣為試求此線性方程組的通解.165解首先將增廣矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣故線性方程組有無窮多解，且其同解線性方程組為階梯形方程組令得原線性方程組的一個特解與原方程組對應(yīng)的齊次線性方程組的同解方程組可得對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為所以，原線性方程組的通解為166：解線性方程組166解對于齊次線性方程組，只需將系數(shù)矩陣化成行最簡形，即可求出方程組的解

8、. 從最后的行最簡形可知所以該齊次線性方程組有解，且由于故該齊次線性方程組有無窮多組解.由最后的行最簡形知，與原方程組同解的線性方程組為為非自由未知量；為自由未知量，得所求方程組的通解為其中可任意取值.令并把解寫成向量形式為上式即是齊次線性方程組的通解.167：解線性方程組167解對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換，有則知方程組有解，依據(jù)行最簡形，得與原方程組同解的方程組并把上式寫成向量形式的通解168 解方程組168解：經(jīng)初等變換得所以, 方程組有解。而，分別取，得基礎(chǔ)解系為，. 故方程組的通解為：，其中，為任意常數(shù)。六、證明題。169設(shè)A是矩陣，求證：也是對稱矩陣.169證明：即是對稱矩陣

9、。170設(shè)A是對稱矩陣，求證：也是對稱矩陣.170證明：即是對稱矩陣。171 證明任一方陣都可以表示為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和.171證明：設(shè)A是一個n階方陣是對稱矩陣，是反對稱矩陣。172設(shè)是可逆的階矩陣，求證172證明：由性質(zhì), 現(xiàn)在又由性質(zhì)知，故173設(shè)方陣A滿足方程證明：A為可逆矩陣，173證：得由故即從而A可逆。174證明A和都可逆，并求。174證明:由得則及都可逆。175設(shè)矩陣A是可逆矩陣，且證明：175證明：因?yàn)锳是可逆矩陣，所以有逆矩陣于是在等式的兩邊左乘，由矩陣的乘法滿足結(jié)合律有176證明：線性無關(guān)。176證明：（1）向量組線性無關(guān)。177證明：1=(1,0,1), 2=(0,1,-1), 3=(2,0,1) 4=(0,1,2)線性相關(guān)。177證明：向量組線性相關(guān)。178證明：向量組線性無關(guān)。178證明：以為列作一個矩陣，并對矩陣進(jìn)行初等行變換，即因?yàn)椋韵蛄拷M線性無關(guān)。179證明： 線性無關(guān)。179證明：以為列作一個矩陣，并對矩陣進(jìn)行初等行變換，因?yàn)樗?，因此向量組線性