考研數(shù)學(xué)高數(shù)真題分類-微分方程

1、(11一份好的考研復(fù)習(xí)資料，會讓你的復(fù)習(xí)力上加力。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【高等數(shù)學(xué)-微分方程知識點講解和習(xí)題】，同時中公考研網(wǎng)首發(fā)2017考研信息，2017考研時間及各科目復(fù)習(xí)備考指導(dǎo)、復(fù)習(xí)經(jīng)驗，為2017考研學(xué)子提供一站式考研輔導(dǎo)服務(wù)。微分方程綜述：微分方程可以看做一元函數(shù)微積分學(xué)的應(yīng)用與推廣，主要考查考生的計算能力。這一部分在考試中以大題與小題的形式交替出現(xiàn)，平均每年所占分值在8分左右.本章的主要知識點有：微分方程的階、通解和特解等基本概念，可分離變量方程的求解齊次方程的求解，一階線性微分方程的求解，伯努利方程的求解，全微分方程的求解，可降階的高階微分方程的求解，高階線性微分方程解的

2、結(jié)構(gòu)，高階線性微分方程的求解，歐拉方程的求解.學(xué)習(xí)本章時，首先要熟悉各類方程的形式，記住它們的求解步驟，通過足量的練習(xí)以求熟練掌握.在此基礎(chǔ)上，還需要具備結(jié)合微積分其它章節(jié)的知識或者根據(jù)問題的幾何及物理背景抽象出數(shù)學(xué)模型，并建立微分方程的能力.一般來說，考生只要具備扎實的一元函數(shù)微積分的相關(guān)知識，學(xué)習(xí)本章的時候不會有太大的困難.本章?？嫉念}型有：1.各種類型微分方程的求解，2.線性微分方程解的性質(zhì)，3.綜合應(yīng)用.?？碱}型一：一階方程的求解1可分離變量方程【2006-14分】微分方程y=必1X)的通解是x【2008-14分】微分方程xy+y二滿足條件y二1的解是y=【1998-23分】已知函數(shù)y

3、二y(x)在任意點x處的增量Ay二丄紅+，且當(dāng)1+x2AXT時，a是AX的高階無窮小，y(0)n，則y(1)等于【1994-23分】微分方程ydx+(x2-4x)dy=的通解為yarcsinx+5.【2001-23分】微分方程y滿足L2丿=0的特解為()6.【2005-34分】微分方程xy+y=0滿足初始條件y=2的特解為x=x(t)7.【2008-210分】設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程J2確定，其中x(t)是y=Jtln(l+u)dul0的解.求竺Zdx2dx小2te初值問題dtxI=0t=0【小結(jié)】：如果一個一階微分方程可以寫成g(y)dy=f(x)dx的形式，我們就稱該微分方程為可分離變

4、量的微分方程對該方程的兩端求不定積分Jg(y)dy=J/(x)dx就得到微分方程的通解.齊次方程8.【2007-34分】微分方程dy=丄dxx1(y)3滿足y|=1的特解為y=x=19.【1996-36分】求微分方程dy=二殳工的通解.dxx10【1993-15分】求微分方程x2y+xy=y2滿足初始條件y=1的特解x=1【1997-25分】求微分方程(3x2+2xy一y2)dx+(x2一2xy)dy=0的通解.【1999-27分】求初始問題(y十2)一xdy=(x0)的解.y|=0 x=1【2014-14分】微分方程xy+y(lnxIny)=0滿足y(1)=e3的解為.【小結(jié)】：如果一階微分

5、方程專=/(x,y)中的函數(shù)f(x，y)可以寫成9()的形式，則稱dxxy該方程為齊次方程對于齊次方程，我們引入新函數(shù)u=,則y=ux.由一元函數(shù)微分學(xué)的x知識，可知dy=xdu+udx.代入原方程可得xT+U=9(u)，整理得=則原dx9(u)ux方程就被化為了可分離變量的方程，求解該方程得到未知函數(shù)u，再由y=ux就可以得到未知函數(shù)y的表達(dá)式齊次方程是通過變量代換化為可分離變量方程的。對方程作變量代換將其化作更為已經(jīng)求解過的類型是解微分方程的一個非常重要的思想。這一點在考試大綱上雖沒有明確要求，但也需要引起考生的注意，稍微了解一些其它將對微分方程作變量代換的方法。一階線性微分方程TOC o

6、 1-5 h z14-(2012-24分】微分方程ydx+(x-3y2)dy=0滿足初始條件y|二1的解為。x=l15【2004-23分】微分方程(y+x3)dx2xdy=0滿足y|=的特解為.x=i5【2005-24分】微分方程xy+2y=xlnx滿足y(1)=9的解為.【2008-24分】微分方程(y+x2ex)dxxdy=0的通解是y=【1992-13分】微分方程y+ytanx=cosx的通解為【2011-14分】微分方程y+y=e-xcosx滿足條件y(0)=0的解y=.【1992-25分】求微分方程(yx3)dx2xdy=0的解【1993-25分】求微分方程(x21)dy+(2xyc

7、osx)dx=0滿足初始條件y=1x=0的特解.I15-28分】設(shè)y=ex是微分方程xy+p(x)y=x的一個解，求此微分方程滿足條件yx=ln2=0的特解.23.【1996-28分】設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),y+ay=f(x),求初值問題!的解y(x)，其中a為正的常數(shù);y|=0Vx=0k若1/(x)|0時，有1y(x)|01996-25分】求微分方程y”+y二x2的通解.2000-36分】求微分方程y-2y-e2x=0滿足條件y(0)=0,y(0)=1的解.1998-25分】利用代換y將方程ycosx一2ysinx+3ycosx一ex化簡，cosx并求出原方程的通解.2003-212分】設(shè)函數(shù)

8、y一y(x)在(O+Q內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y豐0,x一x(y)是y-y(x)的反函數(shù).試將xd2xx(y)所滿足的微分方程dy2+(y+sinx)(dx)3-0dy變換為y一y(x)滿足的微分方程；y(0)-0,y(0)-2(2)求變換后的微分方程滿足初始條件2的解.x一2t+122010-210分】設(shè)函數(shù)y一f(x)由參數(shù)方程(t-1)所確定，其中屮y一屮(t)具有2階導(dǎo)數(shù)，且屮(1)二5,屮二6.已知d2y=3,求函數(shù)屮(t).2dx24(1+1)2005-212分】用變量代換x=cost(0tn)化簡微分方程(1x2)yxy+y=0,并求其滿足y=1，y=2的特解.x=0 x=0/、b+4

9、y+4y=0【1994-15分】設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足條件彳八：求廣義積分y(0)=2,y(0)=4Iy(x)dx0【2013-34分】微分方程yy+4y=0通解為y=。高于二階的常系數(shù)線性微分方程【2008-124分】在下列微分方程中，以y=Cex+Ccos2x+Csin2x（C,C,C123123為任意常數(shù)）為通解的是（）（A）y+y4y4y=0.（B）y+y+4y+4y=0.（C）yy4y+4y=0.（D）y-y+4y4y=0.【2000-23分】具有特解y=ex，y=2xex，y=3ex的3階常系數(shù)齊次線性微123分方程是（A）yyy+y=0（B）y+yyy=0（C）y6y+11y6y

10、=0（D）y2yy+2y=0【2010-24分】求3階常系數(shù)線性齊次微分方程y2y+y2y=0的通解.常考題型四：含有變限積分的方程【1995-36分】已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件f(x)=I3xff-Idt+e2x，求f(x).0k3丿【1997-1、36分】設(shè)函數(shù)f(t)在0,+)上連續(xù)，且滿足方程f(t)=e4幣2+1fJx2+y2dxdy，求f(t).x2+y20時，成立不等式e-xf(x)0)的通解為.TOC o 1-5 h zdx2dx【小結(jié)】：形如xny(n)+axn-iy(n-i)+axn-2y(n-2)+.+axy+ay=0稱為歐拉方程.12n-1ndydydtdy令x二et

11、則有，丄=e-td2y_ddx2dxdxdtdxdte-t=e-2t如-e-2型以此dt2dte-1空=1e-t型竺=t如-e-t_dtdtdtdxdt2dt_類推，將這些關(guān)系代回就可以將原方程化為常系數(shù)線性微分方程.常考題型六：差分方程*(數(shù)三)69.【2001-33分】某公司每年的工資總額比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬若以W表示第t年的工資總額(單位：百萬元)，則W滿足的差分方程是tt1998-33分】差分方程2y+10y-5t二0的通解為t+1t1997-33分】差分方程y一y=12t的通解為.t+1t?？碱}型七：微分方程的應(yīng)用利用微分學(xué)的知識列方程72.1997-17分】設(shè)函數(shù)

12、f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z二f(exsiny)滿足d2zd2z求f(u).+e2xz，dx2dy273.2014-1、2、310分】設(shè)函數(shù)/(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z二f(excosy)滿足空+空=(4z+excosy0 x.若f(0)=0,f(0)=0，求f(u)的表達(dá)式.dx2dy274.2006-212分】設(shè)函數(shù)f(u)在(0,+)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且z=f.x2+y2丿滿足等式字+字=0dx2dy2驗證f(u)+=0.u若f(1)=0,f(1)=1,求函數(shù)f(u)的表達(dá)式.75.【1995-17分】設(shè)曲線L位于xoy平面的第一象限內(nèi)，L上任一點M處的切線與y軸總相交，交點記為A.已知

13、，且l過點住，3、，求L的方程.76.1996-17分】設(shè)對任意x0，曲線y=f(x)上點(x,f(x)處切線在y軸上的截距等于-JxfC)dt，求f(x)的一般表達(dá)式.x077.1998-28分】設(shè)y=y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線,其上任意一點(x,y)處的曲率為，且此曲線上點(0,1)處的切線方程為y=x+1，求該曲線的方程，并求函數(shù)衛(wèi)+y，2y=y(x)的極值.【2000-27分】某湖泊的水量為卩，每年排入湖泊內(nèi)污染物A的污水量為V，流入6湖泊內(nèi)不含A的水量為V，流出湖泊的水量為；已知1999年年底湖中A的含量為5m，630超過國家規(guī)定指標(biāo)，為了治理污染，從2000年初起，限定排入湖泊中

14、含A污水的濃度不超過彳0問至少需經(jīng)過多少年，湖泊中污染物A的含量可降至m以內(nèi)？(注：設(shè)湖水中A的濃度是均勻的).【2001-27分】設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)二g(x),g(x)二2ex-f(x)，且f(0)=0,g(0)=2，求L0g(x)1+xf(x)(1+x)2dx.80.【2001-29分】設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點p(x,y)(x0)到坐標(biāo)原點的(1、距離，恒等于該點處的切線在y軸上的截距，且l經(jīng)過點,o.12丿(1)試求曲線厶的方程求厶位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小.)的光滑曲線，當(dāng)噸x081.【2009-212分】設(shè)y=y(x

15、)是區(qū)間(-兀，兀)內(nèi)過(-時，曲線上任一點處的法線都過原點，當(dāng)00).(1)求L的方程；8當(dāng)L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為3時，確定a的值.【2002-28分】求微分方程xdy+(x2y)dx=0的一個解y=y(x)，使得由曲線y=y(x)，與直線x=x=2以及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小.84.【2003-19分】設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(g+對內(nèi)滿足以下條件：f(x)二g(x),g(x)二f(x)，且f(0二0),f(x)+g(x)二2ex求F(x)所滿足的一階微分方程;(2)求出F(x)的表達(dá)式.21【2003-212分】

16、設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點,-)，其上任一點P(x,y)22處的法線與y軸的交點為Q，且線段PQ被x軸平分.求曲線y=f(x)的方程；已知曲線y=Sinx在0,兀上的弧長為l，試用l表示曲線y=f(x)的弧長S.【2011-210分】設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l:y=y(x)與直線y二x相切于原點，記d為曲線1在點(x,y)處切線的傾角，若竺二dy,求y(x)的表達(dá)式.dxdxTOC o 1-5 h zfx二f(t)(兀、【2012-110分】已知曲線L:丿0t000)二階可導(dǎo)且yXx)0,y(0)=1，過曲線y=y(x)上任意一點P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述

17、兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S，區(qū)間0,x上以y二y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)25-S2恒為1,求此曲線y=y(x)的方程.192.【2005-211分】如圖，C和C分別是y=(1+ex)和y=exy1122的圖象，過點(0,1)的曲線C3是一單調(diào)增函數(shù)的圖象.過C2上任一點M(x，y)分別作垂直于x軸和y軸的直線1和1記C,C與1所圍圖形的面積為xy12xsx)；CC與1所圍圖形的面積為s(y).如123y2果總有S(x)二S直(y)，求曲線C3的方程x=9(y).【2008-211分】設(shè)f(x)是區(qū)間0,+8)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且f(0)=1.對于任意的t

18、w0,+8)，直線x=0,x=t，曲線y=f(x)以及x軸所圍成曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式.2009-310分】設(shè)曲線y=f(x)，其中y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)0.已知曲線y=f(x)與直線y=0,x=1及x=t(t1)所圍成的曲邊梯形，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是繞曲邊梯形面積值的兀t倍，求該曲線方程。2009-210分】設(shè)非負(fù)函數(shù)y=y(x)(x0)滿足微分方程xy-y+2=0.當(dāng)曲線y=y(x)過原點時，其與直線x=1及y=0圍成的平面區(qū)域D的面積為2,求D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.199837

19、分】設(shè)函數(shù)/(x)在丄+)上連續(xù)，若由曲線y=f(x)，直線x=1,x=t(fl)與x軸所圍成的平面圖形繞X旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(t)=才t2(t)-f(1).試求y=f(x)所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件y=|的解.x=29利用物理規(guī)律列方程*(數(shù)一、數(shù)二)【1993-26分】設(shè)物體A從點(0,1)出發(fā)，以速度大小為常數(shù)v沿y軸正向運動，物體B從點(-1,0)與A同時出發(fā)，其速度為2v，方向始終指向A，試建立物體B的運動軌跡所滿足的微分方程，并定出初始條件【1997-25分】在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握技術(shù)的人進(jìn)行的.設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N，在t=0時刻已掌握技術(shù)

20、的人數(shù)為x0，在任意時刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為x(f)(將x(f)視為連續(xù)可微變量)，其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)k0，求x(t).99.【2001-211分】一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比,比例常數(shù)K0假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為r0的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的7，問雪堆全部融化需要多少小時?100.【2003-210分】有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線x=(y)(yn0)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面(如圖)，容器的底面圓的半徑為2m.根據(jù)設(shè)計要求，當(dāng)以3m3/min的速率向容器內(nèi)注入液體時，液面的面積

21、將以兀m2/min的速率均勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無液體).(1)根據(jù)t時刻液面的面積，寫出t與申(y)之間的關(guān)系式;(2)求曲線x=9(y)的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時間單位分.)101.【2004-311分】某種飛機(jī)在機(jī)場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時的水平速度為700km/h.經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為k二6.0 x106）.問從著陸點算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多少？注k表示千克，km/h表示千米/小時.【1998-36分】從

22、船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度y（從海平面算起）與下沉速度v之間的關(guān)系設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為B，海水比重為P，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k（k0）試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y（v）【2015-210分】已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時刻物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為120C的物體在20C恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體溫度降至30C，若要將物體的溫度繼續(xù)降至21C,還需要冷卻多長時間？【小結(jié)】：對微

23、分方程的考查的很大一部分是以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)的，它要求考生不但要具備求解各種基本類型的方程的能力，還要求考生能夠根據(jù)問題的實際背景抽象出數(shù)學(xué)模型，建立起微分方程，對考生的綜合能力有了更高的要求。建立微分方程沒有固定的模式只有通過練習(xí)不斷體會、不斷總結(jié)，這方面的內(nèi)容需要引起考生足夠的重視。具體需要注意以下幾點：在處理微分方程的綜合題時，注意常微分方程與變上、下限積分，反函數(shù)與隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的求法，極值問題和級數(shù)理論的聯(lián)系；在處理微分方程在幾何上的應(yīng)用題型時，常常要根據(jù)定積分的幾何意義（面積、體積）和導(dǎo)數(shù)的幾何意義（斜率、曲率）列出相應(yīng)的方程。在處理微分方程的物理上的應(yīng)用題型時，常常要利用導(dǎo)數(shù)

24、的物理意義（變化率、速度、加速度）、牛頓第二定律及能量守恒律（積分的物理意義）列出相應(yīng)的方程。利用冪級數(shù)的知識列方程104.【2002-17分】（1）驗證函數(shù)y(x)x3x6x9=1+L+3!6!9!+L(gx0)10.1993-15分】【答案】y=去1997-25分】答案】y2-xy-x2=Cx-111999-27分】【答案】y=_(x2-1)213.2014-14分】答案】y=xe2x+12012-24分】答案】x=y212004-23分】【答案】y=、匸+x3112005-24分】答案】392008-24分】答案】x(-e-x+C)18.1992-13分】答案】cosx-(x+C)19.

25、【2011-14分】【答案】e-xsinx(x20-11992-25分】【答案】y+i+cJx221.【1993-25分】【答案】y=送乎22.1995-28分】【答案】y*ex-ex+e-x23.【1996-28分】【答案】(1)y(x)=e-ax【F(x)F(0)Le-axf5f(t)dt024.【1999-36分】【答案】y(x)二e2x-1,Ge-2)e2xx1.25.【2012-310分】【答案】(1)f(x)二ex;拐點為(0,0)f(x)=2cosx+sinx+x2226.【1994-19分】【答案】x2y22ysinx+ycosx+2xy=C2C【2000-13分】【答案】y二

26、C+-21x2【2002-13分】【答案】y2二x+1或y=.771【2007-210分】【答案】y=3x2【2010-24分】【答案】(A)【2006-34分】【答案】(B)【2011-24分】【答案】y=Ce2x+Ccosx+Csinx123【2015-14分】【答案】(A)35.【2013-14分】【答案】【1997-25分】【答案】y=Ce3x+Cex-xe2x1236.【2013-24分】【答案】y二e3xexxe2x37.【2015-34分】【答案】e2x72ex【2012-14分】【答案】ex22004-24分】【答案】(A)38.39.40.41.42.43.44.45.46.

27、47.48.49.50.51.52.當(dāng)a53.54.55.56.57.58.2006-24分】【答案】1995-23分】【答案】y=2x+Ccosx+Csinx-21996-23分】【答案】y=ex(Ccos2x+Csin2x)-21996-13分】【答案】1999-13分】【答案】y=Cexcosx+Cexsinx+ex-2-y=Ce-2x+(C+丁x)e2x，其中C,C為任意常數(shù)-24-22007-14分】【答案】y=Cex+Ce3x2e2x122009-14分】【答案】y=一xex+x+22001-13分】【答案】y-2y+2y=01992-16分】【答案】1y=Cex+Ce3x一xe3

28、x1242010-110分】【答案】y=y+y*=Cex+Ce2xx(x+2)ex121y=Cex+Ce2x一(x2+x)ex1221992-29分】【答案】1993-29分】【答案】Q=3,卩=2,Y=1,y=Cex+Ce2x+xex-21994-29分】【答案】當(dāng)a豐1時，通解為y=Ccosax+Csinax+1-sinx；a2-1=1時，通解為y=Ccosax+Csinax一xcosx1221y=x3x2+2x+C+Cex312311y=+(+x)e2x4421996-25分】【答案】2000-36分】【答案】1998-25分】【答案】cos2xexy=C+Csinx+-cosx25co

29、sx12003-212分】【答案】y一y=sinx.y=exex-sinx.【2010-210分】【答案】屮(t)=312+13,(t1)2【2005-212分】【答案】y=2x+，-x2.1994-15分】【答案】159.60.61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.【2013-34分】【答案】e2xQx+C）12【2008-124分】【答案】（D）2000-23分】【答案】（B）【2010-24分】【答案】y=Ce2x+Ccosx+Csinx1231995-36分】【答案】3e3x2e2x【1997-136分】【答案】Ci12+Je血12000-28分1【答案】八x)一芮【2007-210分1【答案1f(x)=InIsinx+cosxI2004-1cc4分1【答案1y=-+xx22001-33分1【答案1W二1.2W+2tt11998-33分1【答案1y二C(-5)+5(6t1)/72t1997-33分1【答案1y=C+(t2)2tt1997-17分1【答案1f(u)=ceu+ce-u12111【2014-1、2、310分1答案：f(u)二一e2“e2u-u16164【2006-212分】【答案1(2)f(u)=Inu【1995-17分】【答案1y3x-x2（0 x3）.【1996-17