高中數(shù)學(xué)必修二 2 7．1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、71.2復(fù)數(shù)的幾何意義考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)復(fù)平面了解復(fù)平面的概念數(shù)學(xué)抽象復(fù)數(shù)的幾何意義理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、復(fù)平面內(nèi)的向量之間的對應(yīng)關(guān)系直觀想象復(fù)數(shù)的模掌握復(fù)數(shù)的模的概念，會求復(fù)數(shù)的模數(shù)學(xué)運算共軛復(fù)數(shù)掌握共軛復(fù)數(shù)的概念，并會求一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)運算 問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P70P72的內(nèi)容，思考以下問題：1復(fù)平面是如何定義的？2復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點及向量的關(guān)系如何？復(fù)數(shù)的模是實數(shù)還是虛數(shù)？3復(fù)數(shù)zabi的共軛復(fù)數(shù)是什么？1復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)2復(fù)數(shù)的兩種幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi(a，b

2、R)eq o(,sup7(一一對應(yīng))復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR) eq o(,sup7(一一對應(yīng))平面向量eq o(OZ,sup6().名師點撥 (1)復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標(biāo)是(a，b)，而不是(a，bi)也就是說，復(fù)平面內(nèi)的虛軸上的單位長度是1，而不是i.(2)當(dāng)a0，b0時，abi0bibi是純虛數(shù)，所以虛軸上的點(0，b)(b0)都表示純虛數(shù)(3)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中的z，書寫時應(yīng)小寫；復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)中的Z，書寫時應(yīng)大寫3復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)zabi(a，bR)對應(yīng)的向量為eq o(OZ,sup6()，則eq o(OZ,sup6()的模叫做復(fù)數(shù)z的?；蚪^對

3、值，記作|z|或|abi|，即|z|abi|eq r(a2b2)名師點撥 如果b0，那么zabi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(a的絕對值)4共軛復(fù)數(shù)(1)一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)(2)虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)(3)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq o(z,sup6()表示，即如果zabi，那么eq o(z,sup6()abi名師點撥復(fù)數(shù)zabi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(a，b)，復(fù)數(shù)eq o(z,sup6()abi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(a，b)，所以兩個互為共軛復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)，它們所對應(yīng)的點關(guān)于x軸對稱 判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)

4、原點是實軸和虛軸的交點()(2)實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點表示純虛數(shù)()(3)若|z1|z2|，則z1z2.()(4)若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|z2|.()答案：(1)(2)(3)(4) 復(fù)數(shù)12i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D 復(fù)數(shù)z13i的模等于()A2 B4C.eq r(10) D2eq r(2)答案：C 復(fù)數(shù)z25i的共軛復(fù)數(shù)eq o(z,sup6()_答案：25i復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點已知復(fù)數(shù)z(a21)(2a1)i，其中aR.當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z滿足下列條件時，求a的值(或取值范圍)(1)在實軸上；(2)在第三象限【解

5、】(1)若z對應(yīng)的點在實軸上，則有2a10，解得aeq f(1,2).(2)若z對應(yīng)的點在第三象限，則有eq blc(avs4alco1(a210，,2a10，)解得1aeq f(1,2).故a的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2).變條件本例中復(fù)數(shù)z不變，若點Z在拋物線y24x上，求a的值解：若z對應(yīng)的點(a21，2a1)在拋物線y24x上，則有(2a1)24(a21)，即4a24a14a24，解得aeq f(5,4).eq avs4al()利用復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)解題的步驟(1)找對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)zabi(a，bR)可以用復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)來

6、表示，是解決此類問題的根據(jù)(2)列出方程：此類問題可建立復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解 在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i(mR)的對應(yīng)點在虛軸上和實軸負(fù)半軸上，分別求復(fù)數(shù)z.解：(1)若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點在虛軸上，則m2m20，所以m1或m2，所以z6i或z0.(2)若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點在實軸負(fù)半軸上，則eq blc(avs4alco1(m2m20，,m23m20，)所以m1，所以z2.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i，1，42i對應(yīng)的點分別是A，B，C.求平行四邊形ABCD的頂點D所對應(yīng)的復(fù)數(shù)【解】法一：由復(fù)數(shù)的幾何意義得A(0，1)，B(1，

7、0)，C(4，2)，則AC的中點為eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2)，由平行四邊形的性質(zhì)知該點也是BD的中點，設(shè)D(x，y)，則eq blc(avs4alco1(f(x1,2)2，,f(y0,2)f(3,2)，)所以eq blc(avs4alco1(x3，,y3，)即點D的坐標(biāo)為(3，3)，所以點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為33i.法二：由已知得eq o(OA,sup6()(0，1)，eq o(OB,sup6()(1，0)，eq o(OC,sup6()(4，2)，所以eq o(BA,sup6()(1，1)，eq o(BC,sup6()(3，2)，所以eq o(BD,sup6()eq

8、o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()(2，3)，所以eq o(OD,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BD,sup6()(3，3)，即點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為33i.eq avs4al()復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點在原點時，向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的問題時，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具，實現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化 1已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點，向量eq o(OA,sup6()

9、，eq o(OB,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為23i，32i，那么向量eq o(BA,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A55iB55iC55i D55i解析：選B.向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別記作z123i，z232i，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，可得向量eq o(OA,sup6()(2，3)，eq o(OB,sup6()(3，2)由向量減法的坐標(biāo)運算可得向量eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(23，32)(5，5)，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，可得向量eq o(BA,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)是

10、55i.2在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，向量eq o(OA,sup6()表示的復(fù)數(shù)為12i，若點A關(guān)于直線yx的對稱點為B，則向量eq o(OB,sup6()表示的復(fù)數(shù)為()A2i B2iC12i D12i解析：選B.由題意得A(1，2)，則B(2，1)，所以向量eq o(OB,sup6()表示的復(fù)數(shù)為2i.復(fù)數(shù)的模(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1a2i，z22i且|z1|z2|，則實數(shù)a的取值范圍是()A1a1 Ba1Ca1 Da0(2)(2019貴州遵義貴龍中學(xué)期中測試)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|22|z|30，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的集合是()A1個圓 B線段C2個點 D2個圓【解析】(1)由題意得eq r(a22

11、2)eq r(（2）212)，即eq r(a24)eq r(5)(aR)，所以1az2 Bz1|z2| D|z1|z2|解析：選D.|z1|53i|eq r(5232)eq r(34)，|z2|54i|eq r(5242)eq r(41).因為eq r(34)eq r(41)，所以|z1|z2|.2已知復(fù)數(shù)z3ai(aR)，且|z|4，求實數(shù)a的取值范圍解：法一：因為z3ai(aR)，所以|z|eq r(32a2)，由已知得32a242，所以a27，所以a(eq r(7)，eq r(7)法二：由|z|4知z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z3ai知z對應(yīng)的點

12、在直線x3上，所以線段AB(除去端點)為動點Z(3，a)的集合，由圖可知eq r(7)a0，,m10，)解得3m1.2在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，向量eq o(OA,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，若點A關(guān)于實軸的對稱點為B，則向量eq o(OB,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A2i B2iC12i D12i解析：選D.由題意可知，點A的坐標(biāo)為(1，2)，則點B的坐標(biāo)為(1，2)，故向量eq o(OB,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i.3已知0a2，復(fù)數(shù)z的實部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是_解析：依題意，可知zai(aR)，則|z|2a21.因為0a2，所以a21(1，5)，即|z|(1，eq

13、r(5)答案：(1，eq r(5)4若復(fù)數(shù)z12bi與復(fù)數(shù)z2a4i互為共軛復(fù)數(shù)，則a_，b_解析：因為z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以a2，b4.答案：24A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知復(fù)數(shù)zaa2i(a0)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B.因為a0，所以復(fù)數(shù)zaa2i對應(yīng)的點(a，a2)位于第二象限2已知i是虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2i和13i對應(yīng)的點之間的距離是()A.eq r(5) B.eq r(10)C5 D25解析：選C.由于復(fù)數(shù)2i和13i對應(yīng)的點分別為(2，1)，(1，3)，因此由兩點間的距離公式，得這兩點間的距離為eq r(（21）21（

14、3）2)5，故選C.3在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，對應(yīng)的向量的模為3，且實部為eq r(5)，則復(fù)數(shù)z()A3eq r(5)i B.eq r(5)3iC2eq r(5)i D.eq r(5)2i解析：選D.由題意可設(shè)復(fù)數(shù)zeq r(5)yi(yR，y0，,m25m140，)解得3m0，,m25m140)或eq blc(avs4alco1(m30，,m25m147或2m3，此時復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第一、三象限(3)要使復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線yx上，只需m25m14m3，所以m26m110，所以m32eq r(5)，此時復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于直線yx上10在復(fù)平面內(nèi)，O是原點，向量eq o(OA

15、,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.(1)如果點A關(guān)于實軸的對稱點為點B，求向量eq o(OB,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)如果(1)中的點B關(guān)于虛軸的對稱點為點C，求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)解：(1)設(shè)向量eq o(OB,sup6()對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1x1y1i(x1，y1R)，則點B的坐標(biāo)為(x1，y1)，由題意可知，點A的坐標(biāo)為(2，1)根據(jù)對稱性可知，x12，y11，故z12i.(2)設(shè)點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2x2y2i(x2，y2R)，則點C的坐標(biāo)為(x2，y2)，由對稱性可知，x22，y21，故z22i.B能力提升11若eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，f(5,4)，則復(fù)數(shù)(c

16、os sin )(sin cos )i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B.由復(fù)數(shù)的幾何意義知(cos sin )(sin cos )i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為(cos sin ，sin cos )因為 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，f(5,4)，所以cos sin eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)0，所以原復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，故選B.12已知復(fù)數(shù)z滿足|z| 2，則|z34i|的最小值是()A5 B2C7 D3解析：選D.|z|2表示復(fù)數(shù)z在以原點為圓心，以2為半徑的

17、圓上，而|z34i|表示圓上的點到(3，4)這一點的距離，故|z34i|的最小值為eq r(（3）242)2523.13i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，若z123i，則z2_解析：因為z123i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(2，3)，且復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，所以z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(2，3)，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z223i.答案：23i14已知復(fù)數(shù)z1cos isin 2，z2eq r(3)sin icos ，求當(dāng)滿足什么條件時，(1)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱；(2)|z2|eq r(2).解：(1)在復(fù)平面內(nèi)，z1與z2對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則eq blc(avs4alco1(cos r(3)sin ，,sin 2cos ，)eq blc(avs4alco1(kf(,6)，,2kf(7,6)或2kf(11,6)或kf(,2)，)(kZ)，所以