數(shù)學 第4章知識點和例題

1、第1講 第4章 4.1.1 圓的標準方程知識要點：1. 圓的標準方程：方程表示圓心為A（a，b），半徑長為r的圓.2. 求圓的標準方程的常用方法：（1）幾何法：根據(jù)題意，求出圓心坐標與半徑，然后寫出標準方程；（2）待定系數(shù)法：先根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r的方程組，然后解出a、b、r，再代入標準方程.例題精講：【例1】過點、且圓心在直線xy20上的圓的方程是（ ）.A.（x3）2（y1）24 B.（x3）2（y1）24C.（x1）2（y1）24 D.（x1）2（y1）24解：由圓心在直線xy20上可以得到A、C滿足條件, 再把A點坐標（1，1）代入圓方程. A不滿足條件. 所以，選C.另解：設(shè)圓

2、心C的坐標為(a，b)，半徑為r, 因為圓心C在直線x+y2=0上, b=2a.由|CA|=|CB|，得（a1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b1）2，解得a=1，b=1.因此，所求圓的方程為（x1）2+（y1）2=4. 選C.【例2】求下列各圓的方程：（1）過點，圓心在；（2）圓心在直線上的圓C與y軸交于兩點解：（1）設(shè)所求圓的方程為. 則 ， 解得. 圓的方程為.（2）圓心在線段AB的垂直平分線上，代入直線得，圓心為，半徑. 圓C的方程為.【例3】推導(dǎo)以點為圓心，為半徑的圓的方程.解：設(shè)圓上任意一點，則.由兩點間的距離公式，得到.化簡即得圓的標準方程：第2講 4.1.2 圓的一般方程知

3、識要點：1. 圓的一般方程：方程 （）表示圓心是，半徑長為的圓. 2. 軌跡方程是指點動點M的坐標滿足的關(guān)系式.例題精講：【例1】求過三點A(2,2)、B(5,3)、C(3,1)的圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為. 則， 解得. 圓的方程為.【例2】設(shè)方程，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及圓心的軌跡方程. 解：配方得，該方程表示圓，則有，得，此時圓心的軌跡方程為，消去m，得，由得x=m+3. 所求的軌跡方程是，第3講 4.2.1 直線與圓的位置關(guān)系知識要點：1. 直線與圓的位置關(guān)系及其判定： 方法一：方程組思想，由直線與圓的方程組成的方程組，消去x或（y），化為一元二次方程，由判別式符號進行

4、判別；方法二：利用圓心（）到直線的距離，比較d與r的大小.（1）相交 ；（2）相切；（3）相離.2. 直線與圓的相切研究，是高考考查的重要內(nèi)容. 同時，我們要熟記直線與圓的各種方程、幾何性質(zhì)，也要掌握一些常用公式，例如點線距離公式例題精講：【例1】若直線（1+a）x+y+1=0與圓x2y22x0相切，則a的值為 .解：將圓x2y22x0的方程化為標準式：（x1）2y21, 其圓心為（1，0），半徑為1，由直線（1a）xy10與該圓相切，則圓心到直線的距離， a1. 【例2】求直線被圓所截得的弦長. （P144 練習1題）解：由題意，列出方程組，消y得，得，.設(shè)直線與圓交于點，則 =.另解：圓心

5、C的坐標是，半徑長. 圓心到直線的距離.所以，直線被圓截得的弦長是.第4講 4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系知識要點：兩圓的位置關(guān)系及其判定： 設(shè)兩圓圓心分別為，半徑分別為，則：（1）兩圓相交；（2）兩圓外切；（3）兩圓內(nèi)切；例題精講：【例1】已知圓：，圓：（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求公共弦所在的直線方程.解：（1）圓的圓心為（3,0），半徑為，圓的圓心為（0，2），半徑為，又，圓與相交.（2）由，得公共弦所在的直線方程為.【例2】求經(jīng)過兩圓和的交點，并且圓心在直線上的圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為，即, 則所求圓的圓心為.圓心在直線上，解得. 所求圓的方程為第5講 4.2.3 直線與圓的

6、方程的應(yīng)用知識要點：坐標法：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼岛?，借助代?shù)方法把要研究的幾何問題，轉(zhuǎn)化為坐標之間的運算，由此解決幾何問題例題精講：【例1】有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：每單位距離，A地的運費是B地運費的3倍已知A、B兩地相距10千米，顧客購物的標準是總費用較低，求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民如何選擇購貨地解：建立使A(5，0)、B(5，0)的直角坐標系，設(shè)單位距離的運費是a元. 若在A地購貨費用較低，則：價格A地運費價格B地運費即 .a0， 8x28y2100 x200y0.得(x)2y

7、2()2 .兩地購物區(qū)域的分界線是以點C(，0)為圓心，為半徑的圓. 所以，在圓C內(nèi)的居民從A地購物便宜，圓C外的居民從B地購物便宜，圓C上的居民從A、B兩地購物總費用相等【例2】自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上,被x軸反射, 其反射光線所在的直線與圓相切, 求光線l所在的直線方程.解：由已知可得圓C：關(guān)于x軸對稱的圓C的方程為，其圓心C（2，-2），易知l與圓C相切. 設(shè)l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或.所以，所求直線方程為y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.點評

8、：關(guān)于求切線問題, 利用圓心到切線的距離等于圓的半徑的條件, 是解決圓的切線方程的常用方法. 如果由方程組思想，通過“”求切線方程也可, 但過程要復(fù)雜些. 第6講 4.3.1 空間直角坐標系知識要點：1. 空間直角坐標系：從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸Ox、Oy、Oz，這樣的坐標系叫做空間直角坐標系O-xyz，點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸. 通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面.2. 右手直角坐標系：在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手

9、直角坐標系.3. 空間直角坐標系中的坐標：對于空間任一點M，作出M點在三條坐標軸Ox軸、Oy軸、Oz軸上的射影，若射影在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標依次為x、y、z，則把有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫做M點在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x, y, z)，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標.M（6，-2,4）Oxyz6244. 在xOy平面上的點的豎坐標都是零，在yOz平面上的點的橫坐標都是零，在zOx平面上的點的縱坐標都是零；在Ox軸上的點的縱坐標、豎坐標都是零，在Oy軸上的點的橫坐標、豎坐標都是零，在Oz軸上的點的橫坐標、縱坐標都是零例題精講：【例1】在空間直角坐標系中

10、，作出點M(6，2,4).解：點M的位置可按如下步驟作出：先在x軸上作出橫坐標是6的點，再將沿與y軸平行的方向向左移動2個單位得到點，然后將沿與z軸平行的方向向上移動4個單位即得點M. M點的位置如圖所示.【例2】在長方體中，AB=12，AD=8，=5，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出各頂點的坐標.解：以A為原點，射線AB、AD、分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、(0,0,5)、(12,0,5)、(12,8,5)、(0,8,5).【例3】已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，試建立適

11、當?shù)目臻g直角坐標系，寫出各頂點的坐標.分析：先由條件求出正四棱錐的高，再根據(jù)正四棱錐的對稱性，建立適當?shù)目臻g直角坐標系. 解：正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，正四棱錐的高為.以正四棱錐的底面中心為原點，平行于AB、BC所在的直線分別為x軸、y軸，建立如圖示的空間直角坐標系，則正四棱錐各頂點的坐標分別為A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,).點評：在求解此類問題時，關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，從而便于計算所需確定的點的坐標.第7講 4.3.2 空間兩點間的距離公式知識要點：1. 空間兩點、間的距離公式：.2. 坐標法求解立體幾何問題時的三個步驟：在立體幾何圖形中建立空間直角坐標系；依題意確定各相應(yīng)點的坐標 ；通過坐標運算得到答案