數(shù)學(xué)物理方法初值問(wèn)題

1、 如果別人思考數(shù)學(xué)的真理像我一樣深入持久, 他也會(huì)找到我的發(fā)現(xiàn)。 -第三章 初值問(wèn)題1本章基本要求掌握達(dá)朗貝爾公式、泊松公式及其物理意義掌握半無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題的延拓法求解2掌握非齊次方程問(wèn)題的求解方法23.1 弦振動(dòng)方程（一）齊次弦振動(dòng)方程（達(dá)朗貝爾公式） 定解問(wèn)題的提出 3 齊次方程可以寫為： 我們解方程一般是希望解出通解，再根據(jù)條件得到特解，但偏微分方程的通解形式一般很難界定，也較難求。研究表明，對(duì)無(wú)界情況的定解問(wèn)題（波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)）可以求出通解，然后通過(guò)初始條件得到特解。4研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)作變量代換 此時(shí)通過(guò)方程兩邊積分，即可求出方程的通解。5可滿足前述要求，此時(shí)5(1) 通解對(duì) 積分：兩邊再對(duì)

2、積分：得到積分常數(shù)依賴于 上式中f1為任意二次連續(xù)可微函數(shù)67同理交換積分順序，同樣可以得到此時(shí)f2為任意二次連續(xù)可微函數(shù)其中f1和f2均為任意二次連續(xù)可微函數(shù)上式即為通解形式7確定待定函數(shù)的形式無(wú)限長(zhǎng)，即無(wú)邊界條件初始條件為和(2)達(dá)朗貝爾公式 即上面第二式兩端對(duì)x積分，得到將上式和前面第一式聯(lián)立，可求出89即上式即為達(dá)朗貝爾公式9（3）物理意義先考慮u2=f2（x-at）：當(dāng)t=t2（t2t1)時(shí)， u2=f2（x-at2）。 故波形 u2=f2（x-at）隨著時(shí)間推移，以常速度a向x軸的正方向移動(dòng)。我們稱之為右行波。當(dāng)t=t1時(shí)， u2=f2（x-at1）； 同理 u1=f1（x+at）

3、為一個(gè)以常速度a向x軸的負(fù)方向傳播的行波。稱為左行波。 故達(dá)朗貝爾公式表明，弦上的任意擾動(dòng)總是以行波形式分別向兩個(gè)方向傳播出去，其傳播速度正好是弦振動(dòng)方程中的常數(shù)a，故此方法又稱為行波法。10 從達(dá)朗貝爾公式可以看出，波動(dòng)方程的解，是初始條件的演化。方程本身并不可能產(chǎn)生出超出初始條件的，額外的形式來(lái)。 而這種演化又受到邊界條件的限制。 這就說(shuō)明了初始條件和邊界條件在確定波動(dòng)方程的解時(shí)的重要性。111112（4）依賴區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域 從達(dá)朗貝爾公式還可以看出，解在點(diǎn)（x，t）的數(shù)值僅依賴于區(qū)間x-at,x+at上的初始條件，而與其他點(diǎn)上的初始條件無(wú)關(guān)。稱x-at,x+at為點(diǎn)（x，t）的

4、依賴區(qū)間，它是由過(guò)點(diǎn)（x，t）的兩條斜率分別為1/a的直線在x軸所截得的區(qū)間，如下圖所示。tOx(x,t)x-atx+at1213 當(dāng)t=0時(shí)，取x軸上的區(qū)間x1,x2，過(guò)點(diǎn)x1做斜率為1/a的直線x=x1+at，過(guò)點(diǎn)x2做斜率為-1/a的直線x=x2-at，兩直線與區(qū)間x1,x2圍成一個(gè)三角區(qū)域（如下圖所示），該區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)（x，t）的依賴區(qū)間都落在x1,x2內(nèi)，即解在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的數(shù)值完全由區(qū)間x1,x2上的初始條件決定，而與此區(qū)間外的初始條件無(wú)關(guān)，這個(gè)區(qū)域稱為區(qū)間x1,x2的決定區(qū)域。tOxx1x2x=x1+atx=x2-at1314 若在區(qū)間x1,x2的兩端作直線x=x1-at和x=x

5、2+at，則經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，受x1,x2上初始擾動(dòng)影響的區(qū)域?yàn)?在此區(qū)域外的波動(dòng)不受x1,x2上初始擾動(dòng)的影響，這個(gè)區(qū)域稱為 x1,x2的影響區(qū)域。tOxx1x2x=x1+atx=x1-at14從上面的討論可以看出，直線族 在對(duì)波動(dòng)方程的討論中起著很重要的作用，我們稱這兩族直線為波動(dòng)方程的特征線。 在特征線x+at=c1上，左行波u1=f1（x+at）的振幅取常數(shù)值f1（c1），同樣在特征線x-at=c2上，右行波u2=f2（x-at）的振幅取常數(shù)值f2（c2），且這兩個(gè)數(shù)值隨特征線的移動(dòng)（即常數(shù)c1和c2的改變）而改變，所以波動(dòng)實(shí)際上是沿著特征線傳播的。（5）特征線及二階線性偏微分方程的分類1

6、516 我們把前面所用的變量代換稱為特征變換，而行波法又稱為特征線法。 很容易發(fā)現(xiàn)，特征線是常微分方程的積分曲線族。故上面的方程又稱為偏微分方程的特征方程。1617對(duì)于一般的二階線性偏微分方程來(lái)說(shuō)，它的特征方程為 這個(gè)常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程的特征曲線?？梢钥吹?，特征線僅與二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，而與低階項(xiàng)系數(shù)無(wú)關(guān)。 但是，并不是任意二階線性偏微分方程都有兩族實(shí)的特征線。17每一點(diǎn)不存在實(shí)的特征線每一點(diǎn)僅有一條實(shí)的特征線每一點(diǎn)有兩條實(shí)的特征線橢圓型方程拋物型方程雙曲型方程拉普拉斯方程熱傳導(dǎo)方程波動(dòng)方程反映一些屬于穩(wěn)定、平衡狀態(tài)的物理量的分布狀況反映一些快速消耗、擴(kuò)散的物理量的分布狀況反

7、映一些按一定速度擴(kuò)散的、可逆的物理量的分布狀況18（二）半無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng) 19一端固定的弦 19延拓法求解第一類邊界條件，作奇延拓令20前述函數(shù)滿足21則21當(dāng)x=0時(shí)222323（三）非齊次方程的解（強(qiáng)迫振動(dòng)） 24解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t) 2425u1（x，t）和u2（x，t)分別滿足 和 （零輸入） （零狀態(tài)） u1（x，t）可直接由達(dá)朗貝爾公式求得；u2（x，t）由沖量原理（齊次化原理）求解；25沖量定理法的基本思想將持續(xù)作用力看成前后相繼的瞬時(shí)力的疊加；作用時(shí)間0t，由疊加原理，可將持續(xù)力f（x，t）引起 的振動(dòng)視為一系列前后相繼的瞬時(shí)力f（x，）（0t

8、）所引起的振動(dòng)w（x，t；）的疊加：將持續(xù)力引起的振動(dòng)看成是瞬時(shí)力引起振動(dòng)的疊加。26 從物理的角度考慮，力對(duì)系統(tǒng)的作用對(duì)于時(shí)間的積累是給系統(tǒng)一定的沖量，短時(shí)間間隔內(nèi)f（x、 ）對(duì)系統(tǒng)的作用為f（x、 ）* ，表示為內(nèi)的沖量，此沖量使系統(tǒng)的動(dòng)量（速度）有一改變量（ f（x、 ）是單位質(zhì)量弦所受外力，動(dòng)量在數(shù)值上等于速度）。將內(nèi)速度的改變量看成在t= 時(shí)刻一瞬間集中得到，在的其余時(shí)間認(rèn)為沒(méi)有沖量的作用（無(wú)外力作用）。27則內(nèi)瞬時(shí)力f（x、 ）引起的振動(dòng)的定解問(wèn)題為2829為了方便求解，可設(shè)w（x，t；）=v（x，t； ）* 則v滿足：2930此時(shí)3031設(shè)t=t-，則v滿足：由達(dá)朗貝爾公式有31

9、數(shù)學(xué)檢驗(yàn)：初始條件：積分號(hào)下的求導(dǎo)公式：32則32非齊次方程以上這種用瞬態(tài)沖量的疊代替持續(xù)作用力來(lái)解決問(wèn)題的方法，稱為沖量原理。數(shù)學(xué)上稱為齊次化原理。所以有33齊次化原理求解過(guò)程小結(jié)： 34設(shè)有定解問(wèn)題為 齊次化原理不僅可用于非其次波動(dòng)方程的初始值問(wèn)題，還可用于混合問(wèn)題及其他方程（如熱傳導(dǎo)方程）的定解問(wèn)題。34例 35解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t) u1（x，t）直接由達(dá)朗貝爾公式求出：3536u2（x，t）由沖量原理（齊次化原理）求解；363.2 一維熱傳導(dǎo)方程（一）齊次方程（柏松公式） 37定解問(wèn)題的提出 （柏松公式） 3738物理意義 設(shè)細(xì)桿在x軸上，在桿上取一點(diǎn)x0

10、，現(xiàn)假設(shè)初始溫度分布為 而根據(jù)柏松公式，細(xì)桿溫度分布為xx0-x0+x03839 根據(jù)當(dāng)前條件，可以寫為 由積分中值定理，有39404041 故無(wú)窮長(zhǎng)桿可以看成由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)組成，每個(gè)點(diǎn)有一個(gè)發(fā)出熱量為Q的初始點(diǎn)熱源。41（二）半無(wú)限長(zhǎng)細(xì)桿問(wèn)題的求解 42一端絕熱的細(xì)桿 42延拓法求解第二類邊界條件，作偶延拓令43其滿足4344此問(wèn)題可直接由泊松公式求解4445而當(dāng)x=0時(shí)45（三）非齊次方程的解（內(nèi)部有熱源） 46解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t) 4647u1（x，t）滿足 u1（x，t）可直接由泊松公式求解；4748u2（x，t)滿足 u2（x，t）由齊次化原理求解；4849而u2（x，t;)滿足 根據(jù)前面的解法，有綜合前面各式，求出u（x，t）49本章小結(jié) 50初值問(wèn)題（泛定方程+初始條件） 一維波動(dòng)方程（達(dá)朗貝爾公式） 一維熱傳導(dǎo)方程（泊松公式） 無(wú)限長(zhǎng)齊次方程 半無(wú)限長(zhǎng)齊次方程 無(wú)限長(zhǎng)非齊次方程 無(wú)限長(zhǎng)齊次方程 半無(wú)限長(zhǎng)齊次方程