數(shù)學(xué)模型的線性化

1、第二節(jié)數(shù)學(xué)模型的線性化第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 絕大多數(shù)物理系統(tǒng)在參數(shù)某些范圍內(nèi)呈現(xiàn)出線性特性。當(dāng)參數(shù)范圍不加限制時(shí)，所有的物理系統(tǒng)都是非線性的。 對(duì)每個(gè)系統(tǒng)都應(yīng)研究其線性特性和相應(yīng)的線性工作范圍。第二節(jié)數(shù)學(xué)模型的線性化線性系統(tǒng)具有疊加性和齊次性。 疊加性：x1(t)y1(t)x2(t)則 y2(t)x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t) y=x2 二階系統(tǒng)是非線性的因?yàn)樗粷M足疊加性齊次性：為常數(shù) x(t)y(t)則 x(t) y(t) y=mx+b 系統(tǒng)也不是線性的，因?yàn)樗粷M足齊次性。第二節(jié)數(shù)學(xué)模型的線性化y=mx+b 對(duì)在工作點(diǎn)(x0,y0)附近作小范圍變化的變量x和y而言

2、，則是線性的。非線性系統(tǒng) 設(shè)又 則 x=x0+xy=y0+yy0=mx0+by0+y=y=mx+b=mx0+b+mxy=mx 大部分非線性系統(tǒng)在一定的條件下可近似看成線性系統(tǒng)。第二節(jié)數(shù)學(xué)模型的線性化y(t)=gx(t)線性化：設(shè)非線性元件為:系統(tǒng)的正常工作點(diǎn)為x0 有條件地把非線性數(shù)學(xué)模型近似處理成線性數(shù)學(xué)模型。 若非線性函數(shù)連續(xù)，且各階導(dǎo)數(shù)存在，可在工作點(diǎn)附近按泰勒級(jí)數(shù)展開.=g(x0)+dgdxx=x0d2gdx2x=x0(x-x0)22!x-x01! 當(dāng)(x- x0)小范圍波動(dòng)時(shí)，略去高于一次的小增量項(xiàng)，方程可簡(jiǎn)化為 ： y(t)=g(x0)+dgdxx=x0(x-x0)=y0+m(x-

3、x0) m為工作點(diǎn)處的斜率。最后可改寫成下列線性方程：y=mx(y-y0)=m(x-x0)或 第二節(jié)數(shù)學(xué)模型的線性化例 將液位控制系統(tǒng)非線性微分方程線性化.dh(t)dth(t)+a=qi(t)解： 按泰勒級(jí)數(shù)展開為 d+dhh0h0=h(t)hd2dh22!+1h0(h-h0)+h(h-h0)2略去高于一次的增量項(xiàng)得hd+dhh0h0=h(t)hh2+1h0=h0得： =qio+qi+a(dtd(h0+h)Ah0h)2+1h0由于 =dtd(h0+h)Adh0+dtdhdt=dhdtqo0=ah0=qi0得 =qio+qi+adtdhAh0h2+ah01=qidtdhAh2A+ah0即 dh(t)1=qi(t)dtAh(t)2A+ah0第二節(jié)數(shù)學(xué)模型的線性化線性化處理中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）必須確定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)各部 件的工作點(diǎn)，在不同的工作點(diǎn)，非 線性曲線的斜率是不同的。（2）線性化是以直線代替曲線，略去了 式中二階以上項(xiàng)，如果系統(tǒng)工作范 圍較大，將帶來較大誤差，所以非 線性數(shù)學(xué)模型的線性化是有條件的。（3）對(duì)于某些典型非線性系統(tǒng)，其非 線性特性是不連續(xù)的，在不連續(xù) 點(diǎn)附近不能得出收斂的泰勒級(jí)數(shù)， 因而就不能進(jìn)行線性化，只能采 用非線性理論進(jìn)行分析處理。典型非線性系統(tǒng) 第二節(jié)數(shù)學(xué)模型的線性化輸出0輸入近似特性