專題四 特殊與一般的思想方法

1、專題四 特殊與一般的思想方法第1頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日考題剖析 規(guī)律總結(jié) 知識概要 030521特殊與一般的思想方法第2頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 1.由特殊到一般再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一.數(shù)學研究也不例外，這種由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學問題的基本認識過 程就是數(shù)學研究中特殊與一般的思想.知識概要返回目錄特殊與一般的思想方法第3頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 2. 由特殊到一般的思想的運用水平，能反映出考生的數(shù)學素養(yǎng)和一般能力，所以考查特殊與一般的思想在高考中占有

2、重要位置.在高考中，有意設(shè)計一些能集中體現(xiàn)特殊與一般思想的試題，突出體現(xiàn)了特殊化方法的意義與作用.如通過構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解決一般問題、抽象問題、運動變化問題、不確定問題等等.返回目錄知識概要特殊與一般的思想方法第4頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日考 題 剖 析返回目錄第5頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日1.數(shù)列an中，若a1= ,an= (n2,nN),則a2009的值為（ ）A.1 B. C.1 D.2考題剖析返回目錄D 解析 a1= ,an= (n2,nN)則當n時，a2= = =2，當n時，a

3、3= = =1，當n時，a4= = = ，同理a5=2,a6=1,所以數(shù)列an是一個周期數(shù)列且T，故a2009a2=2.特殊與一般的思想方法第6頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 點評 本題考查歸納、猜想思想方法.要求考生結(jié)合試題領(lǐng)悟“特殊與一般”的思想，首先通過特例探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用這一規(guī)律來解題. 對于求遞推關(guān)系給出的數(shù)列某一項的問題，常見解法一是直接求通項再用通項來求某一項，二是直接將數(shù)列按順序?qū)懗?，三是寫出部分項發(fā)現(xiàn)規(guī)律用規(guī)律得出結(jié)論.返回目錄考題剖析特殊與一般的思想方法第7頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 解析解法1：因為函數(shù)f (

4、x)sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，則f (x)=f ( x)即sin2x+acos2xsin2( x)+acos2( x)得sin2x+acos2xcos2xasin2x恒成立所以（a）(sin2x+cos2x)=0恒成立，則必有a所以a2.（2007江蘇常州市）如果函數(shù)ysin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，那么a .返回目錄考題剖析特殊與一般的思想方法第8頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日解法2：因為函數(shù)f(x)sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，所以f (x)=f ( x)，取 x0,則f()=f( )即有a解法3：函數(shù)

5、ysin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，則函數(shù)在x= 處取得極值，又y=2cos2x2asin2x所以y|x= =2cos2( )2asin2( ) 得a返回目錄考題剖析 點評 本題主要考查三角函數(shù)的對稱性問題，若函數(shù)f（x)的圖象關(guān)于直線xa對稱，則恒有f(x)=f(2ax)成立，但作為填空題，可以取特值進行運算.特殊與一般的思想方法第9頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 3.（2007湖南雅禮三月模擬）某地區(qū)的一種特色水果上市時間僅能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌,現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù).

6、f(x)=pqx；f(x)=px2+qx+1；f(x)=x(xq)2+p.（以上三式中p,q均為常數(shù)，且q1）. ()為準確研究其價格走勢，應(yīng)選哪種價格模擬函數(shù)，為什么？ ()若f(0)=4,f(2)=6，求出所選函數(shù)f(x)的解析式（注：函數(shù)的定義域是0,5，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，以此類推）； （）為保證果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該果品在哪幾個月份內(nèi)價格下跌. 考題剖析特殊與一般的思想方法返回目錄第10頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 解析 ()應(yīng)選f(x)=x(xq)2+p.因為f(x)=pqx是單調(diào)函數(shù)；f(x)=p

7、x2+qx+1的圖象不具有先升再降后升特征；f(x)=x(xq)2+p中,f (x)=3x24qx+q2, 令f (x)=0，得x=q,x= , f (x)有兩個零點.可以出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間.考題剖析特殊與一般的思想方法返回目錄第11頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 () 由f(0)=4,f(2)=6得：解之得 （其中q=1舍去）.函數(shù)f(x)=x(x3)2+4，即f(x)=x36x2 + 9x + 4（0 x5）考題剖析 （）由f (x) 0，解得1x3 ,函數(shù)f(x)=x36x2 + 9x + 4在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減，這種果品在5月，6月份價格下跌

8、. 點評本題是一個簡單的數(shù)學建模問題，主要考查函數(shù)知識在實際生活中的運用，也是特殊與一般思想在生活中的運用.特殊與一般的思想方法返回目錄第12頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 .（2007河北省唐山市） 設(shè)函數(shù)fn(x)=1x+ + , nN* （）研究函數(shù)f2(x)的單調(diào)性； （）判斷fn(x)=0的實數(shù)解的個數(shù)，并加以證明.考題剖析 解析 （）f2 (x) = 1x + ,f 2 (x) = 1 + xx2 = (x )2 0, f2(2)=12+ 0，以及f2(x)在(,+)單調(diào)遞減，知f2(x)在(0,2)有唯一實數(shù)解，從而f2(x)在(,+)有唯一實數(shù)解. 推

9、斷fn(x)在(,+)有唯一實數(shù)解當n2時，由fn(x)=1x+ + , nN*，得：f n (x) = 1 + xx2 + + x2n3x2n2考題剖析若x=1，則 f n (x) = f n (1) = (2n1) 0若x=0，則 f n (x) = f n (0)=10若x1且x0時，則 f n (x) = 特殊與一般的思想方法返回目錄第14頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日當x1時，x + 1 0,x2n1 + 1 0, f n (x) 1時，x + 1 0,x2n1 + 1 0, f n (x) 0總之f n (x) 0，fn(x)在(,+)單調(diào)遞減. fn(0

10、)=1，又 = = 0 所以fn(x)在(0,2)有唯一實數(shù)解，從而fn(x)在(,+)有 唯一實數(shù)解. 綜上，fn(x)=0有唯一實數(shù)解.考題剖析特殊與一般的思想方法返回目錄第15頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 點評本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)及連續(xù)函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)問題.用特殊的函數(shù)開路尋找到解題方法,即判斷函數(shù)是單調(diào)的且圖象與x軸有交點，然后用一般方法來解題.考題剖析特殊與一般的思想方法返回目錄第16頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 . (2008年江蘇啟東中學高三測試二)(1)求證：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點（0.5，0.5

11、）對稱； (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值; 考題剖析解析(1)設(shè)P(x,y)是y=f(x)的圖象上任意一點，關(guān)于(0.5，0.5)對稱點的坐標為:(1-x,-1-y) 特殊與一般的思想方法返回目錄第17頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 考題剖析特殊與一般的思想方法返回目錄1-f（1），即函數(shù)f（）的圖象關(guān)于點（0.5，0.5）對稱.(2)由()有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)= -1f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)= -1則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1

12、)+f(2)+f(3)=-3 下面用數(shù)學歸納法證明當n=1時，左3，右1，31不等式成立當n=2時，左9，右4，94不等式成立令n=k(k2）不等式成立即32則1時，左313332,右（1）222132（221）22212（0.5）21.5當2，N時，上式恒為正值則左右，即31（1）2，所以對任何自然數(shù)n，總有32成立，即對任何自然數(shù)n，總有第18頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 點評本題主要考查函數(shù)的有關(guān)知識和數(shù)學歸納法的運用.數(shù)學歸納法往往用于一些與自然數(shù)有關(guān)問題的解答，觀察歸納猜想證明是一個從特殊到一般的思考過程，也是一個嚴格而科學的探索問題和解決問題的過程，是思

13、考問題的通常方法，對這種方法在高考中考查十分常見.考題剖析特殊與一般的思想方法返回目錄第19頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日規(guī) 律 總 結(jié)返回目錄第20頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期日 1.特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數(shù)學思想方法，對于一般性問題、抽象問題、運動變化問題和不確定問題都可考慮運用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑. 2.對于遞推數(shù)列問題，采用“歸納猜想證明”的方法去解決問題，首先通過特例探索、發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，然后再用這個規(guī)律來解決其他特殊問題，這是特殊與一般思想最常見的應(yīng)用之一. 3.對于某些特殊的問題，如求值、比較大小等，要注意研究其數(shù)量特征，發(fā)現(xiàn)一般模型，再由一般解決特殊.返回目錄規(guī)律總結(jié)特殊與一般的思想方法第21頁，共22頁，2022年，5月20日，1點51分，星期