量子力學(xué)課后規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)

1、量子力學(xué)課后規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案量子力學(xué)課后規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案量子力學(xué)課后規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案,.，量子力學(xué)習(xí)題及解答第一章量子理論基礎(chǔ)11由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)m與溫度T成反比，即T=b（常量）；并近似計(jì)算b的數(shù)值，正確到二位有效數(shù)字。解依據(jù)普朗克的黑體輻射公式8hv31dv，（1）vdvc3hvekT1以及vc，（2）vdvvd，（3）有dvddcv()dv()c8hc1,5hcekT1這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于與+d之間的輻射能量密度。此題關(guān)注的是取何值時(shí)，獲得極大值，所以，就得要求對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的的值，記作m。但要注意的是，還需要考證對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)在

2、m處的取值能否小于零，假如小于零，那么前面求得的m就是要求的，詳細(xì)以下：8hc1hc1hc06hc5kTekT11ekThc105hckT1ekThchc5(1ekT)hckT假如令x=，則上述方程為kT5(1ex)x這是一個(gè)超越方程。第一，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過(guò)考證，此解是平凡的；其余的一,.個(gè)解能夠經(jīng)過(guò)逐漸近似法或許數(shù)值計(jì)算法獲?。簒=4.97，經(jīng)過(guò)考證，此解正是所要求的，這樣則有mThcxk把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知mT2.9103mK這即是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度高升的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長(zhǎng)方面挪動(dòng)，這樣便會(huì)依據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來(lái)判

3、斷溫度的高低。12在0K周邊，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長(zhǎng)。解依據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，Ph假如所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（E動(dòng)ec2），那么p2E2e假如我們觀察的是相對(duì)性的光子，那么E=pc注意到此題所考慮的鈉的價(jià)電子的動(dòng)能僅為3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即0.51106eV，所以利用非相對(duì)論性的電子的能量動(dòng)量關(guān)系式，這樣，便有hph2eEhc2ec2E1.24106m0.5110630.71109m0.71nm在這里，利用了hc1.24106eVm以及ec20.51106eV最后，對(duì)hc2ec2E作一點(diǎn)談?wù)?，從上式能夠看出，?dāng)粒子的質(zhì)量

4、越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因此這個(gè)粒,.子的顛簸性較弱，而粒子性較強(qiáng)；相同的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因此這個(gè)粒子的顛簸性較弱，而粒子性較強(qiáng)，因?yàn)楹暧^世界的物體質(zhì)量廣泛很大，因此顛簸性極弱，顯現(xiàn)出來(lái)的都是粒子性，這類(lèi)波粒二象性，從某種子意義來(lái)說(shuō)，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。313氦原子的動(dòng)能是EkT（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時(shí)，氦原子的德布羅意波2長(zhǎng)。解依據(jù)1kK103eV，知此題的氦原子的動(dòng)能為E3kT3kK1.5103eV,核c2這樣，便有22明顯遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于hc2核c2E1.24106m10923.71.51030.37109m0.37nm這里，利用了核c249311

5、06eV3.7109eV最后，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)談?wù)?，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T(mén)的體系，此中粒子的均勻動(dòng)能的數(shù)目級(jí)為kT，這樣，其相慶的德布羅意波長(zhǎng)就為hchc2c2E2kc2T據(jù)此可知，當(dāng)系統(tǒng)的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)，這時(shí)這類(lèi)粒子的顛簸性就越明顯，特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒子間的均勻距離還長(zhǎng)時(shí)，粒子間的相關(guān)性就尤其明顯，所以這時(shí)就能用經(jīng)典的描繪粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布，而一定用量子的描繪粒子的統(tǒng)計(jì)分布玻色分布或費(fèi)米宣告。14利用玻爾索末菲的量子化條件，求：1）一維諧振子的能量；2）在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng)H=10T，玻爾磁子MB91024J

6、T1，試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔E，并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量對(duì)比較。解玻爾索末菲的量子化條件為pdqnh,.此中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為，于是有Ep21kx222這樣，便有p2(E1kx2)2這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，一正一負(fù)正好表示一個(gè)來(lái)回，運(yùn)動(dòng)了一圈。其余，依據(jù)可解出x1kx222Ek這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣，依據(jù)玻爾索末菲的量子化條件，有2(E1kx2)dx()2(E1kx2)dxnhxxx2x2x1kx2)dxx1k

7、x2)dxnh2(E2(Ex2x221kx2)dxnh(Exx22為了積分上述方程的左側(cè)，作以下變量代換；2Esink這樣，便有22d2En2Ecossinh2k222Ecos2Enkcosdh2222Ecos2dnh2k2這時(shí)，令上式左側(cè)的積分為A，其余再結(jié)構(gòu)一個(gè)積分B22Esin2dk這樣，便有,.AB22E2AB22E222d2E,kk（1）cos2dkcos2d(2)k2Ecosd,k這里=2，這樣，就有ABEdsin0（2）k依據(jù)式（1）和（2），便有AEk這樣，便有此中hnEhk2Enh2knh,kh2最后，對(duì)此解作一點(diǎn)談?wù)?。第一，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量

8、是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有2qBRpqBR這時(shí)，玻爾索末菲的量子化條件就為2qBRd(R)nh02qBR2nh2qBRnh又因?yàn)閯?dòng)能耐Ep2，所以，有2E(qBR)2q2B2R222,.qBnnBq22nBNB,此中，MBq是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，并且2EBMB詳細(xì)到此題，有E1091024J91023J依據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式3kT2以及1kK103eV1.61022J可知，當(dāng)溫度T=4K時(shí)，E1.541.61022J9.61022J當(dāng)溫度T=100K時(shí)，E1.51001.61022J2.41020J明顯，兩種狀況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大

9、于前面的量子化的能量的間隔。15兩個(gè)光子在必定條件下能夠轉(zhuǎn)變成正負(fù)電子對(duì)，假如兩光子的能量相等，問(wèn)要實(shí)現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)變，光子的波長(zhǎng)最大是多少？解對(duì)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)變成正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，如兩個(gè)光子以如何的概率轉(zhuǎn)變成正負(fù)電子對(duì)的問(wèn)題，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，需要用到相對(duì)性量子場(chǎng)論的知識(shí)去計(jì)算，修正當(dāng)波及到這個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，如能量守恒，動(dòng)量守恒等，我們不需要用那么高妙的知識(shí)去計(jì)算，具休到此題，兩個(gè)光子能量相等，所以當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)變成正風(fēng)電子對(duì)反需的能量最小，因此所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)也就最長(zhǎng)，并且，有Ehvec2其余，還有Epc于是，有hcec2hcec2hc1.241060.516m102.41012m2.4103nm

10、盡管這是光子轉(zhuǎn)變成電子的最大波長(zhǎng)，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子,.是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，假如是光子轉(zhuǎn)變成像正反質(zhì)子對(duì)之類(lèi)的更大質(zhì)量的粒子，那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波長(zhǎng)將會(huì)更小，這從某種意義上告訴我們，當(dāng)波及到粒子的衰變，產(chǎn)生，轉(zhuǎn)變等問(wèn)題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)變等現(xiàn)象就越豐富，這樣，或許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這即是世界上在造愈來(lái)愈高能的加速器的原由：期望發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波函數(shù)和薛定諤方程2.1證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間沒(méi)關(guān)。證：對(duì)于定態(tài)，可令(r，t)(r)f(t)iEt(r)ei(*)J2miEtiiEtiEtiEt*（(r)e（(r)e

11、）(r)e(r)e）2mi(r)*(r)*(r)(r)2m可見(jiàn)J與t沒(méi)關(guān)。2.2由以下定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：(1)11eikr(2)21eikrrr從所得結(jié)果說(shuō)明1表示向外流傳的球面波，2表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))流傳的球面波。解：J1和J2只有r重量在球坐標(biāo)中r0e1e1rrrsin,.i(1*1)(1)J1112mi1eikrr(1eikr)1eikr(1eikr)r02mrrrrri1(1ik1)1(1ik1)r02mrr2rrr2rk2r0k3rmrmrJ1與r同向。表示向外流傳的球面波。(2)J2i(22mi1e2mri1(2mrkr0mr2*)22ikr(1eikr)1eikr(1e

12、ikr)r0rrrrr1ik1)1(1ik1)r0r2rrr2rkr可見(jiàn)，J2與r反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))流傳的球面波。增補(bǔ)：設(shè)(x)eikx，粒子的地址幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)可否歸一化？*dxdx2波函數(shù)不可以按(x)dx1方式歸一化。其相對(duì)地址幾率分布函數(shù)為21表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)，x0U(x)0，0 xa，xa中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。解：U(x)與t沒(méi)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。其定態(tài)S方程2d2(xU(xx)E(x)2mdx2)(在各地區(qū)的詳細(xì)形式為：x02d21()()1()1(x)2mdx2xUxxE：0 xa2d22(x)E2(x)2mdx

13、2：xa2d23(x)U(x)3(x)E3()2mdx2x因?yàn)?1)、(3)方程中，因?yàn)閁(x)，要等式成立，一定1(x)02(x)0即粒子不可以運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱之外的地方去。方程(2)可變成d22(x)2mE2(x)0dx22令k22mE2，得d22(x)k22(x)0dx2其解為2(x)AsinkxBcoskx依據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確立系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得2(0)1(0)2(a)3(a)B00sinka0kan(n1,2,3,)2(x)Asinnxa由歸一化條件2dx1(x)A2an得sin2xdx1aasinmxsinnxdxa由bmnaa2A2a2(x)2sinnxaa2mEk2,.A

14、sinka0,.222Enn(n1,2,3,)可見(jiàn)E是量子化的。2ma2對(duì)應(yīng)于En的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為2sinniEntxan(x,t)xe,0aa0,xa,xa#12.4.證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是Aa證：（2.6-14）由歸一化，得nAsin(xa),xana0,xa12a2sin2n(xa)dxndxAaaA2a1n(xa)dx1cosa2aA2aA2ax2a2ancos(xa)dxaA2asinn(xaA2aa)2naaA2a1#歸一化常數(shù)Aa2.5求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的地址。解：(x)12x22xe221(x)242221(x)x2ex223x2e2x2d1

15、(x)232x22x3e2x2dxd1(x)令0，得dx,.x0 x1x由1(x)的表達(dá)式可知，x0，x時(shí)，1(x)0。明顯不是最大幾率的地址。d21(x)23(2622)22x(2x2232x2而xx)edx243(152x224x4)e2x2d21(x)24310dx21ex2可見(jiàn)x1是所求幾率最大的地址。#2.6在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：U(x)U(x)，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)擁有確立的宇稱(chēng)。證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為2d2(x)U(x)(x)E(x)2dx2將式中的x以(x)代換，得d22dx2(x)U(x)(x)E(x)利用U(x)U(x)，得2d2(x)

16、Ux(x)E(x)2dx2()比較、式可知，(x)和(x)都是描繪在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。因?yàn)樗鼈兠枥L的是同一個(gè)狀態(tài)，所以(x)和(x)之間只好相差一個(gè)常數(shù)c。方程、可互相進(jìn)行空間反演(xx)而得其對(duì)方，由經(jīng)xx反演，可得，(x)c(x)由再經(jīng)xx反演，可得，反演步驟與上完整相同，即是完整等價(jià)的。(x)c(x)乘，得(x)(x)c2(x)(x)可見(jiàn)，c21c1當(dāng)c1時(shí)，(x)(x)，(x)當(dāng)c1時(shí)，(x)(x)，(x)擁有偶宇稱(chēng)，擁有奇宇稱(chēng)，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿(mǎn)足U(x)U(x)時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)擁有確立的宇稱(chēng)。#,.2.7一粒子在一維勢(shì)阱中U(x)U00,xa0,xa運(yùn)動(dòng)，求約束態(tài)(0EU

17、0)的能級(jí)所滿(mǎn)足的方程。解法一：粒子所滿(mǎn)足的S-方程為2d2(x)U(x)(x)E(x)2dx2按勢(shì)能U(x)的形式分地區(qū)的詳細(xì)形式為：2d21(x)U01(x)E1(x)xadx22：2d22(x)E2(x)axa2dx2：2d23(x)U03(x)E3(x)axdx22整理后，得：12(U0E)102：.22E202：32(U0E)30222(U0E)22E令k12k22則：1k1210：.2k2220：3k1210各方程的解為1Aek1xBek1x2Csink2xDcosk2x3Eek1xFek1x由波函數(shù)的有限性，有1()有限A03()有限E0所以Bek1x3Fek1x由波函數(shù)的連續(xù)性

18、，有,.1(a)2(a),Bek1aCsink2aDcosk2a(10)1(a)2(a),k1Bek1ak2Ccosk2ak2Dsink2a(11)2(a)3(a),Csink2aDcosk2aFek1a(12)2(a)3(a),k2Ccosk2ak2Dsink2ak1Fek1a(13)整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并歸并成方程組，得ek1aBsink2aCcosk2aD00k1ek1aBk2cosk2aCk2sink2aD000sink2aCcosk2aDek1aF00k2cosk2aCk2sink2aDk1ek1aF0解此方程即可得出B、C、D、F，從而得出波函數(shù)的詳細(xì)形式

19、，要方程組有非零解，一定ek1asink2acosk2a0k1ek1ak2cosk2ak2sink2a000sink2acosk2aek1a0k2cosk2ak2sink2ak1Bek1ak2cosk2ak2sink2a00ek1asink2acosk2aek1ak2cosk2ak2sink2ak1ek1asink2acosk2a0k1ek1asink2acosk2aek1ak2cosk2ak2sink2ak1ek1aek1ak1k2ek1acos2k2ak22ek1asink2acosk2ak1k2ek1asin2k2ak22ek1asink2acosk2ak1ek1ak1ek1asink2

20、acosk2ak2ek1acos2k2ak1ek1asink2acosk2ak2ek1asin2k2ae2k1a2k1k2cos2k2ak22sin2k2ak12sin2k2ae2k1a(k22k12)sin2k2a2k1k2cos2k2ae2k1a0(k22k12)sin2k2a2k1k2cos2k2a0即(k22k12)tg2k2a2k1k20為所求約束態(tài)能級(jí)所滿(mǎn)足的方程。#解法二：接（13）式Csink2aDcosk2ak2Ccosk2ak2Dsink2ak1k1Csink2aDcosk2ak2Ccosk2ak2Dsink2ak1k1,.k2cosk2asink2ak2sink2acos

21、k2ak1k10k2cosk2asink2a(k2sink2acosk2a)k1k1(k2cosk2asink2a)(k2sink2acosk2a)k1k1(k2cosk2asink2a)(k2sink2acosk2a)0k1k1(k2cosk2asink2a)(k2sink2acosk2a)0k1k12k22sink2acosk2a2(1k22)sin2k2ak1k2sin2k2ak2cos2k2asink2acosk2a0k1k12k2cos2k2a0(k22k12)sin2k2a2k1k2cos2k2a0#解法三：(11)-(13)2k2Dsink2ak1ek1a(BF)(10)+(12

22、)2Dcosk2aek1a(BF)(11)(13)k1(a)k2tgk2a(12)(11)+(13)2k2Ccosk2ak1(FB)eik1a(12)-(10)2Csink2a(FB)eik1a(13)(12)k2ctgk2ak1(10)令k2a，k2a，則tg或ctg22222U0a2(k1k2)2歸并(a)、(b)：(c)(d)(f)2k1k22tgk2atg2k2ak12利用tg2k2a2k2ak221tg#解法四：（最簡(jiǎn)方法-平移坐標(biāo)軸法）2：1U01E1（0）2,.：222E2（02a）2：23U03E3（2a）12(U0E)10222E2022(U0E)03231k1210(1)k

23、122(U0E)22k2220(2)k222E2約束態(tài)0EU03k1230(3)1Aek1xBek1x2Csink2xDcosk2x3Eek1xFek1x1()有限B03()有限E0所以Aek1xx3Fe1由波函數(shù)的連續(xù)性，有1(0)2(0),AD(4)1(0)2(0),k1Ak2C(5)2(2a)3(2a),k2Ccos2k2ak2Dsin2k2ak1Fe2k1a(6)2(2a)3(2a),Csin2k2aDcos2k2aFe2k1a(7)(7)代入(6)Csin2k2aDcos2k2ak2Ccos2k2ak2Dk2ak1k1sin2利用(4)、(5)，得,.k1Asin2k2aAcos2k

24、2aAcos2k2ak2Dsin2k2ak2k1A(k1k2)sin2k2a2cos2k2a0k2k1A0(k1k2)sin2k2a2cos2k2a0k2k1兩邊乘上即得(k1k2)(k22k12)sin2k2a2k1k2cos2k2a0#2.8分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能能夠近似表示為,x0，U0,0 xa，U(x)axb，U1,0,bx，求約束態(tài)的能級(jí)所滿(mǎn)足的方程。解：勢(shì)能曲線如圖示，分紅四個(gè)地區(qū)求解。定態(tài)S-方程為d22dx2(x)U(x)(x)E(x)對(duì)各地區(qū)的詳細(xì)形式為2：21U(x)1E1(x0)：222U02E2(0 xa)2：3U13E3(axb)22：40E4(bx)2對(duì)

25、于地區(qū)，U(x)，粒子不行能抵達(dá)此地區(qū)，故1(x)02(U0E)0而.2222(U1E)303242E402,.對(duì)于約束態(tài)來(lái)說(shuō)，有UE02022(U0E)2k12k122022(U1E)3k33k324k4240k422E/2各方程的解分別為2Aek1xBek1x3Csink2xDcosk2x4Eek3xFek3x由波函數(shù)的有限性，得4()有限，E04Fek3x由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得1(0)2(0)BA2A(ek3xek3x)2(a)3(a)3(a)3(a)Ak13(b)4(b)CsinA(ek3x(ek3ak2bek3x)Csink2aDcosk2aek3a)Ck2cosk2aDk2

26、sink2aDcosk2bFek3b3(b)4(b)Ck2sink2bDk2cosk2bFk3ek3b由、，得k1ek1aek1aCcosk2aDcosk2a(11)k2ek1aek1aCsink2aDcosk2a由、得(k2cosk2b)C(k2sink2b)D(k3sink2b)C(k3cosk2b)D(k2cosk2bsink2b)C(k2cosk2bsink2b)D0(12)k3k3ek1ae令eek1ak1ak1k1a，則式變成k2(sink2acosk2a)C(cosk2asink2a)D0聯(lián)立(12)、(13)得，要此方程組有非零解，一定(k2cosk2bsink2b)(k2si

27、nk2bcosk2b)k3k30(sink2acosk2a)(cosk2asink2a),.即(cosk2asink2a)(k2cosk2bsink2b)(sink2acosk2a)k3(k2sink2bcosk2b)0k3k2k3cosk2bcosk2ak2sink2bsink2asink2bcosk2ak3k2k2sink2bsink2asink2bsink2asink2bcosk2a)k3k3cosk2bsink2asink2(ba)(tgk2(ba)(1cosk2bcosk2ak2)cosk2(bk3k2)(k2k3k30k2a)(1)0k3)把代入即得k2ek1aek1a(k2k1e

28、k1aetgk2(ba)(1kaka)kak3e1e1k3k2e1e此即為所要求的約束態(tài)能級(jí)所滿(mǎn)#1ak1a)足的方程。附：從方程以后也能夠直接用隊(duì)列式求解。見(jiàn)附頁(yè)。(ek1aek1a)sink2acosk2a0(ek1aek1a)k2k2cosk2ak2sink2a000sink2bcosk2bek3a0k2cosk2bk2sink2bk3ek3ak2cosk2ak2sink2a00(ek1aek1a)sink2bcosk2bek3ak2cosk2bk2sink2bk3ek3asink2acosk2a0k1(ek1aek1a)sink2bcosk2bek3ak2cosk2bk2sink2bk

29、3ek3a(ek1aek1a（k2k3ek3acosk2acosk2b2k3asink2a)k2ecosk2bk2k3ek3asink2asink2bk22ek3acosk2asink2b）k1bek1b（k2k3ek3bsink2acosk2bk2ek3bcosk2ak1(e)cosk2bk3ek3bcosk2asink2bk2ek3bsink2asink2b）,.(ek1aek1a)k2k3cosk2(ba)k22sink2(ba)ek3b(ek1aek1a)k1k3sink2(ba)k1k2cosk2(ba)ek3bek1a(k1k3)k2cosk2(ba)(k22k1k3)sink2(

30、ba)ek3beka(k1k3)k2cosk2(ba)2k1k3)sink2(ba)ek3b1(k20k3)k2(k22k1k3)tgk2(ba)ek3b(k1(k1k3)k2(k2k1k3)tgk2(ba)ek3b02(k22k1k3)e2k1a(k22k1k3)tgk2(ba)(k1k3)k2e2k1a(k1k3)k20此即為所求方程。#增補(bǔ)練習(xí)題一2x21、設(shè)(x)Ae2(為常數(shù))，求A=？解：由歸一化條件，有1A2e2x2d(x)A21e2x2d(x)A21ey2dyA21利用ey2dyA#、求基態(tài)微觀線性諧振子在經(jīng)典界線外被發(fā)現(xiàn)的幾率。解：基態(tài)能量為E012設(shè)基態(tài)的經(jīng)典界線的地址為，

31、則有E0a在界線外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為122a2121a0a02x2dxe2x2dx(e2x2)ea00,.2e2x2dx(偶函數(shù)性質(zhì))02e(x)2d(x)02ey2dy12y21y2dyedye2212t2/2（令y122edtt)2122/2dt為正態(tài)分布函數(shù)1x2/2dt式中et(x)et22當(dāng)x2時(shí)的值(2)。查表得(2)0.920.922(10.92)0.16在經(jīng)典極限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為0.16。#12x23x33、試證明(x)e2(23x)是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對(duì)3應(yīng)的能量。證：線性諧振子的S-方程為2d2(x)12x2(x)E(x)2dx2把(x)代入上式，有d(x)d

32、12x23x)e2(23x3dxdx32x(23x33x)(63x212x23)e23e312x254322(2x9x3)d2(x)d12x2e2(25x493x23)dx2dx312x25x493x212x2183x)32xe2(23)e2(85x312x2(4x272)e2(23x33x)3(4x272)(x),.d2把dx2(x)代入式左側(cè)，得左側(cè)2d2(x)12x2(x)2dx2272224x2(x)12x2(x)2(x)2222421227(x)（x2）x(x)227(x)12x2(x)12x2(x)2227(x)2右側(cè)E(x)7當(dāng)E時(shí)，左側(cè)=右側(cè)。n=32d12x23x)，是線性諧

33、振子的波函數(shù)，(x)e2(23x33dx7為。2第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量】2x2it(x)e223.1一維諧振子處在基態(tài)，求：(1)勢(shì)能的均勻值U12x2；2(2)動(dòng)能的均勻值Tp2；2(x)其對(duì)應(yīng)的能量動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解：(1)U12x212x2e2x2dx221221121122222222414x2neax2dx135n1(2n1)02ana(2)p21*(x)p?2(x)dxT22,.112x22d212x2e2()e2dx2dx222x2dx2(12x2)e222x22x22edx2x2edx222232222222224414111或TEU244(3)c(p)*p(x)(x)d

34、x112x2iPxe22edx1e12x2iPxdx22e112(xip2p2e22)222dx21p212(xip)2e222e22dx21p221e222e2動(dòng)量幾率分布函數(shù)為p22122(p)c(p)e#3.2.氫原子處在基態(tài)(r,)1er/a0，求：a032222(1)r的均勻值；e2(2)勢(shì)能的均勻值；r最可幾半徑；動(dòng)能的均勻值；動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。,.rr(r,)212re2r/a0r2sindrdd解：(1)d300a004r3a2r/a0dr30a0 xneaxdxn!an1043!3a0a03242a0222(2)U(e)e1e2r/a0r2sindrddra03000r22

35、ee2r/a0rsindrdd0003a04e2e2r/a0rdr30a04e21e2a0322a0a0電子出此刻r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為22242r/a02(r)dr(r,)rsindrddrdr03e0a0(r)43e2r/a0r2a0d(r)42r)re2r/a0dr3(2a0a0d(r)0，r10,r2,r3a0令dr當(dāng)r10,r2時(shí)，(r)0為幾率最小地址d2(r)4(28r4r2)e2r/a0dr2a03a0a02d2(r)820dr23era0a0ra0是最可幾半徑。?122221211)(sin)(4)T2p?22r(rr22rsinsin221er/a02(er/a0)r2

36、sinTdrdd20003a0,.2221r/a01d2dr/a0)r2sindrdd0003e2r(ea0rdrdrc(p)4212a03(a00(2r42(2a02a02)2a0444p*(r)(r,)dr2)er/a0dr2a02c(p)11er/a0r2driprcossin2ded(2)3/20a03002ir2er/a0dreprcoscos)d(2)3/2a03002iprcosr2er/a0dre(2)3/2a030ipr02iipreprrer/a0(e)dr(2)3/2a03ip0 xneaxdxn!an10211ip)2(1(2)3/2a03ip(1ip)2a0a014i

37、p2a033ip1p22a0(a022)4a0442a033a0(a02p22)2(2a0)3/2(a02p22)2動(dòng)量幾率分布函數(shù)(p)28a035c(p)2(a0p22)4#3.3證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的重量是JerJe0Jeemrsin證：電子的電流密度為2nmJeeJei*nm)(nmnmnm2,.在球極坐標(biāo)中為er11eerrrsin式中er、e、e為單位矢量JeeJeinm(err1ee1)n*m2rrsinn*m(err1ee1)nmrrsinie*nm)e(nm1*er(nmnmnmrnm2rr*11*1*nmrnm)e(rsinnmnmrsinnmn

38、m中的r和部分是實(shí)數(shù)。Jeie(imnm22em2rsinimnm)ersin可見(jiàn)，JerJe0Jeemnm2rsin#3.4由上題可知，氫原子中的電流能夠看作是由很多圓周電流構(gòu)成的。求一圓周電流的磁矩。證明氫原子磁矩為me(SI)MMz2me(CGS)2c原子磁矩與角動(dòng)量之比為eMz2(SI)Lze2(CGS)cnm)2nme這個(gè)比值稱(chēng)為輾轉(zhuǎn)磁比率。解：(1)一圓周電流的磁矩為dMiAJedSA（i為圓周電流，A為圓周所圍面積）em2(rsin)2nmdSrsinemrsin2dSnmemr2sin2(dSrdrd)nmdrd氫原子的磁矩為MdMem2drd00nmr2sinem22drd0

39、0nmr2sin2em22drddnmr2sin2000em(SI)2在CGS單位制中Mem2c原子磁矩與角動(dòng)量之比為MzMe(SI)LzLz2#3.5一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是H對(duì)應(yīng)的量子系統(tǒng)在以下?tīng)顩r下的定態(tài)能量及波函數(shù)：轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：解：(1)設(shè)該固定軸沿Z軸方向，則有L2L2Z?122d2哈米頓算符?H2ILZ2Id2其本征方程為?(H與t沒(méi)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題)2d2()E()2Id2d2()2IE()d2222IE令m2，則,.Mze(CGS)Lz2cL2，L為角動(dòng)量，求與此2Id2()m2()0d2取其解為()Aeim(m可正可負(fù)可為零)由

40、波函數(shù)的單值性，應(yīng)有(2)()eim(2)eim即ei2m1m=0，1，2，轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為Emm22(m=0，1，2，)2I,.可見(jiàn)能量只好取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。定態(tài)波函數(shù)為Aeim為歸一化常數(shù)，由歸一化條件2*2221AdA20mmd0A12轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為meim2綜上所述，除m=0外，能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。(2)取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為?1?2HL2I?與Ht沒(méi)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題，其本征方程為1?2Y(,)EY(,)2IL?(式中Y(,的本征函數(shù)，E為其本征值)設(shè)為H?2Y(,)2IEY(,)L令2IE2，則有?2,)2Y(,)LY(?2此即為角動(dòng)量L的本征方程，其本

41、征值為L(zhǎng)22(1)2(0,1,2,)Ym(,)NmPm)eim其波函數(shù)為球諧函數(shù)(cos轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為E(1)2I2可見(jiàn)，能量是分立的，且是(21)重簡(jiǎn)并的。#3.6設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為(x)Asin2kx21coskx求此時(shí)粒子的均勻動(dòng)量和均勻動(dòng)能。解：(x)Asin2kx21coskxA21(1cos2kx)21coskxAcoskx1cos2kx2,.A121(ei2kxei2kx)21(eikxeikx)2A2ei0 x12ei2kx12ei2kx12eikx12eikx122可見(jiàn)，動(dòng)量pn的可能值為02k2kkkpn22k222k22k22k22動(dòng)能的可能值為0222A2A2A

42、2A2A2對(duì)應(yīng)的幾率n應(yīng)為(161616)2416(11111)A228888上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得1A2A2A2n(4)22n4162A1/動(dòng)量p的均勻值為pnnn02kA222kA22kA2kA201616221616Tp2pn2n2n202k221k221282825k228#3.7一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是Axex,當(dāng)x0(x)當(dāng)x00,此中0，求：粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；粒子的均勻動(dòng)量。解：(1)先求歸一化常數(shù)，由12A2x2e2xdx(x)dx013A24A23/2,.(x)23/2xe2x(x0)(x)0(x0)c(p)1eikx(x)dx(1)1/223/2xe(i

43、k)x(x)dx22(23)1/2xe(ik)x1e(ik)xdx2ik0ik(23)1/2(x(23)1/21p2ik)22(i2)動(dòng)量幾率分布函數(shù)為(p)22312331c(p)p2(22p2)222(2)(2)p*?(x)dxi43xexd(ex)dx(x)pdxi43x(1x)e2xdxi43(xx2)e2xdxi43(1212)440#3.8.在一維無(wú)窮深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為a，假如粒子的狀態(tài)由波函數(shù)(x)Ax(ax)描繪，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的均勻值。解：由波函數(shù)(x)的形式可知一維無(wú)窮深勢(shì)阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為2nx,0 xa(x

44、)sinaa0,x0,xaEnn222(n1，2，3，)2a2動(dòng)量的幾率分布函數(shù)為(E)Cn2Cn*a(x)(x)dx0sinnx(x)dxa先把(x)歸一化，由歸一化條件，12dxa2x2(ax)dxA2a2(a22axx2)dx(x)Ax00A2a2ax3x4)dx(a2x20,.A2(a5a5a5)A2a532530aCn030Aa5230naa5sinxx(ax)dxa215aaa30 xsinnxdxa2sinnxdxxa0a215a2nxa32sinnax2cosna3nxcosa2axxnna2a2n2a3nan22xsinaxn33cosax0415(1)nn331(E)Cn2

45、2401(1)n2n66960，n，n66135，n2,4,6,0?a?2E(x)p(x)dx(x)H(x)dx02a30 x(xa)2d2x(xa)dx0a52dx2302a302a3a3a50 x(xa)dxa5(2)3253.9.設(shè)氫原子處于狀態(tài)(r,)1R21(r)Y10(,)3R21(r)Y11(,)22求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z重量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的均勻值。解：在此能量中，氫原子能量有確立值E2es2es2(n2)2n2822角動(dòng)量平方有確立值為L(zhǎng)2(1)222(1)角動(dòng)量Z重量的可能值為,.LZ10LZ2其相應(yīng)的幾率分別為1，344其均勻值為L(zhǎng)Z

46、13304443.10一粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能為,ra;U(r)0,ra求粒子的能級(jí)和定態(tài)函數(shù)。解：據(jù)題意，在ra的地區(qū)，U(r)，所以粒子不行能運(yùn)動(dòng)到這一地區(qū)，即在這地區(qū)粒子的波函數(shù)0(ra)因?yàn)樵趓a的地區(qū)內(nèi)，U(r)0。只求角動(dòng)量為零的狀況，即0，這時(shí)在各個(gè)方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度、沒(méi)關(guān)，是各向同性的，所以，粒子的波函數(shù)只與r相關(guān)，而與、沒(méi)關(guān)。設(shè)為(r)，則粒子的能量的本征方程為21d(r2d)E2rdrdr令U(r)rE,k22E，得2d2uk2u0dr2其通解為u(r)AcoskrBsinkr(r)AcoskrBsinkrrr波函數(shù)的有限性條件知，(

47、0)有限，則A=0(r)Brsinkr由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有(a)0Bsinka0aB0kan(n1,2,)knaEnn2222a2,.(r)Bsinnrra此中B為歸一化，由歸一化條件得1dda22sindr(r)r0004a2sin2nrdr2aB2B0aB1a歸一化的波函數(shù)1sinnr(r)a2ar3.11.求第3.6題中粒子地址和動(dòng)量的測(cè)禁止關(guān)系(x)2(p)2?解：p0p22T5k2241coskx2dxxA2xsin2kx02x2A2x2sin2kx1coskx2dx222(x)2(p)2(x22x)(pp)3.12粒子處于狀態(tài)11/2ix2(x)(22)expp0 x42式中為

48、常量。當(dāng)粒子的動(dòng)量均勻值，并計(jì)算測(cè)禁止關(guān)系(x)2(p)2解：先把(x)歸一化，由歸一化條件，得x2x112e22dx21e(22)2d(x2)22221(212)1/2221/2是歸一化的(x)expip0 xx22動(dòng)量均勻值為dix2ip0 xp*(iie2(p0)dxdx#?ix2px02dxx)e,.i(ip0 x)ex2dxp0ex2dxixex2dxp0(x)2(p)2?x*xdxxex2dx（奇被積函數(shù)）x2x2ex2dx1xex21ex2dx2212p22*d2dx2eip0 xx2d2ip0 xx2dxedxdx2(p02)i2p0 xex2dx22x2ex2dx2(p020

49、(221(22)p0)(x)2x2x12222(p)2p22(2p02)p022p22(x)2(p)21221224#3.13利用測(cè)禁止關(guān)系預(yù)計(jì)氫原子的基態(tài)能量。解：設(shè)氫原子基態(tài)的最概然半徑為R，則原子半徑的不確立范圍可近似取為rR由測(cè)禁止關(guān)系2(r)2(p)24(p)22得4R2對(duì)于氫原子，基態(tài)波函數(shù)為偶宇稱(chēng)，而動(dòng)量算符p為奇宇稱(chēng)，所以p0(p)222又有ppp2p)22所以(4R2p22可近似取R2能量均勻值為P2es2Er2,.作為數(shù)目級(jí)估量可近似取es2es2rR則有2es2ER2R2基態(tài)能量應(yīng)取E的極小值，由E22es0RR3R22得Res2代入E，獲取基態(tài)能量為Emines422增

50、補(bǔ)練習(xí)題二1試以基態(tài)氫原子為例證明：?的本征函數(shù)，而是?不是T或UTU的本征函數(shù)。解：10011)3/22er/a01es24(2)a0a0?21r(r2r)112T2r2sin(sin)sin22?es2Ur?21r(r2T1002r221(1)3/22a021(1)3/2(2a0常數(shù)100不是?的本征函數(shù)100T100)r12r1a02(r2er/a0)rr2r/a0212a0r)e2(a02a0r)100?es2U100100r可見(jiàn)，?100不是U的本征函數(shù)而?100211)3/2(12r/a0es2100(TU)2(2)era0a0a0r21222a02100a0r100100a0r2

51、11002a02,.可見(jiàn)，?100是(TU)的本征函數(shù)。2證明：L6，L的氫原子中的電子，在45和135的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。解：Wm(,)dYm2dWm(,)Ym2L6，L的電子，其2,m1Y21(,)15sincosei8Y21(,)15sincoseiW21(,)815sin2cos215sin22Ym2832當(dāng)45和135時(shí)15W21為最大值。即在45，135方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。3215在其余方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在0之間。323試證明：處于1s，2p和3d態(tài)的氫原子的電子在離原子核的距離分別為a0、4a0和9a0的球殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大(a0為第一玻爾軌道半徑)。證：對(duì)1s

52、態(tài)，n1,0,R10(1)3/2er/a0a0W10(r)r2R102(r)(1)34r2e2r/a0a0W10134(2r22)e2r/a0r()ra0a0W100r10,r2,r3a0令r易見(jiàn)，當(dāng)r10,r2時(shí)，W100不是最大值。W10(a0)4e2為最大值，所以處于1s態(tài)的電子在ra0處被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。a0對(duì)2p態(tài)的電子n2,1,R21(1)3/2rer/2a02a03a021)3r4W21(r)r2R212r2er/a0(2a03a0W2113(4r)er/a0r5r24a0a0,.W210r10,r2,r34a0令r易見(jiàn)，當(dāng)r10,r2時(shí)，W210為最小值。2W211r2(128

53、rr2)er/a0r224a05a0a022W2112(123216)e48e40r224a0516a03a03r4a0r4a0為幾率最大地址，即在r4a0的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。對(duì)于3d態(tài)的電子n3,2,R32(2)3/21(r)2er/3a0W32(r)r2R3211a08115a0r6er/3a02a781215W328r5(62r)e2r/3a0r215a73a0810W320r10,r2,r39a0令r易見(jiàn)，當(dāng)r10,r2時(shí)，W320為幾率最小地址。2W3216(15r24r52r6)e2r/3a0r281215a07a09a022W321436a0281a02)e6r28

54、1215a07(9a0)(15a09a02r9a0163e605a0r9a0為幾率最大地址，即在r9a0的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。當(dāng)無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，在金屬中的電子的勢(shì)能可近似視為U(x)0,x0(在金屬內(nèi)部)U0,x0(在金屬外面)此中U00，求電子在均勻場(chǎng)外電場(chǎng)作用下穿過(guò)金屬表面的透射系數(shù)。解：設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為，方向沿軸負(fù)向，則總勢(shì)能為V(x)ex(x0)，V（x）U0ex（x0）勢(shì)能曲線以以下圖。則透射系數(shù)為Dexp2x1(U0exE)dx2x2式中E為電子能量。x10，x2由下式確立p2(U0exE)0,.x2U0Ee令xU0Esin2，則有eU0E2sin2x12(U0ex22(U0E)

55、dx2E)dx0eU0E322(U0E)(cos)2e302U0E2(U0E)3e2U0E透射系數(shù)Dexp(U0E)3e2指出以下算符哪個(gè)是線性的，說(shuō)明其原由。4x2d2；2dx2解：4x2d2是線性算符dx24x2d22(c1u1c2u2)dxc14x2d22u1c2dx2不是線性算符n；K14x2d2d22(c1u1)4x22(c2u2)dxdx24x2d2u2dxc1u1c2u22c12u122c1c2u1u2c22u22c1u12c2u22n是線性算符K1nNNNNc1u1c2u2c1u1c2u2c1u1c2u2K1K1K1K1K1指出以下算符哪個(gè)是厄米算符，說(shuō)明其原由。d，d，d2d

56、xi42dxdx,.解：ddx*-ddx*dxdx當(dāng)x，00*ddxd*dx(d)*dxdxdxdxd()*dx不是厄米算符dx*iddxi*-id*dxdxdxi(d)*dx(id)*dxdxdxid是厄米算符dxd2dd*d*4dx2dx4*dx-4dxdxdx4d*ddx4d*4d2*dxdxdxdxdx24d2*dx(4d2)*dxdx2dx2d24是厄米算符2dxd27、以下函數(shù)哪些是算符dx2的本征函數(shù)，其本征值是什么？x2，ex，sinx，3cosx，sinxcosx解：d22(x2)2dxd2x不是2的本征函數(shù)。dxd22exexdxd2ex的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。不是

57、2d2dx(sinx)d(cosx)sinxdx2dxd21?？梢?jiàn)，sinx是2的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為2dxdd2(3cosx)(3sinx)3cosx(3cosx)dxdx,.3cosx是d2的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。d2dx2(sinxcosx)dsinx）sinxcosxdx2(cosxdx(sinxcosx)sinxcosxd2是2的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。dx8、試求算符?ieixd的本征函數(shù)。Fdx?的本征方程為解：F?FF即ieixdFdxdiFeixdxd(Feixd)d(Feixd)dxdxlnFeixdlncFeixdx?ce（F是F的本征值）、假如把坐標(biāo)

58、原點(diǎn)取在一維無(wú)窮深勢(shì)阱的中心，求阱中粒子的波函數(shù)和能級(jí)的表達(dá)式。a0,x解：U(x)2ax2方程（分地區(qū)）：U(x)I(x)0(xa)2：U(x)III(x)0(xa)d22：2IIEII2dx2d2II2EII0dx22令k22E2d2IIk2II0dx2Asin(kx)II,.I(a)II(a)標(biāo)準(zhǔn)條件：22III(a)II(a)22Asin(kx)0A0sin(kx)0取a0，即akk22II(x)Asink(xa)Asinka02sinka0kan(n1,2,)naAsinn(xa),xa粒子的波函數(shù)為(x)a22a0,x2粒子的能級(jí)為E2k2n22k2(n1,2,3,)22a由歸一化

59、條件，得(x)dA2sin2n(xa)dx12a/2a/2a2A2a/2112n(xaa/22cos)dxA2a(x2aA2cos2na)dxa/22a/2a2aa2A2a2n(xa2A2nsina2)2a2A222Aa粒子的歸一化波函數(shù)為2sinn(xa),xa(x)aa22a0,x2,.10、證明：處于1s、2p和3d態(tài)的氫原子中的電子，當(dāng)它處于距原子核的距離分別為a0、4a0、9a0的球殼處的幾率最（a0為第一玻爾軌道半徑）。證：1s:(r)10drR102r2dr(1)34e2r/a0r2dra010(r)(1)34r2e2r/a0a0d104(13222r/a0dr)(2rr)ea0

60、a08(1)3(11r)re2r/a0a0a0d100，則得令drr110r11a0d210dr2d210dr2d210dr28(1)3(12r)r(1r)e2r/a0a0a0a0a08(1)3(14r2r2)e2r/a0a0a0a020r110為幾率最小處。r1100r11a0為幾率最大處。r11a02p:21()2r2drrdrR21(1)3r2er/a0r2dr2a03a0221(r)(1)3r2er/a02a03a02d2115(41r)r3er/a0dr24a0a0d2211(18rr2）r2er/a0dr224a05a0a02d210，則得令drr210r224a0d2210r22