48課時數(shù)模教案選修課jxcss第六七次

1、第六章 穩(wěn)定性模型6.1 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲6.2 微分方程的穩(wěn)定性理論6.3 種群的相互競爭6.4種群的相互依存6.5種群的弱肉強(qiáng)食穩(wěn)定性模型 對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。6.1 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） 再生資源應(yīng)適度開發(fā)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題及 分析 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景產(chǎn)量模型假設(shè) 無捕撈時魚的自然增長服從

2、Logistic規(guī)律 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r固有增長率, N最大魚量h(x)=Ex, E捕撈強(qiáng)度x(t) 漁場魚量一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0 微分方程的平衡點(diǎn)設(shè)x(t)是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)不求x(t), 判斷x0穩(wěn)定性的方法直接法(1)的近似線性方程產(chǎn)量模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷x0 穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1 穩(wěn)定, 漁場干枯E捕撈強(qiáng)度r固有增長率平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性6.2 微分方程組的穩(wěn)定性理論1.線性常系數(shù)微

3、分方程組平衡點(diǎn)P0(x0,y0)=(0,0) 代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)記系數(shù)矩陣特征方程特征根微分方程一般解形式平衡點(diǎn) P0(0,0)穩(wěn)定平衡點(diǎn) P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部p 0 且 q 0p 0 或 q 0 且 q 0平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定(對2,1)p 0 或 q 1,11, P1, P2 是一個種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn)P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn)11, 21P1穩(wěn)定的條件 11 ?1121, 11P1, P2都不(只是局部)穩(wěn)定0(3) 11, 21, 21, 21加上與(4)相區(qū)別的 11 P2 穩(wěn)定 P3 穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定

4、結(jié)果解釋對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1 倍。對甲增長的阻滯作用，乙小于甲乙的競爭力弱 P1穩(wěn)定的條件：1121 甲的競爭力強(qiáng)甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 P2穩(wěn)定的條件：11, 21 P3穩(wěn)定的條件：11, 21通常1 1/2，P3穩(wěn)定條件不滿足6.4 種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存 時相互提供食物、促進(jìn)增長。3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。模型假設(shè) 甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律; 甲乙一起生

5、存時乙為甲提供食物、促進(jìn)增長。 乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進(jìn)增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1 倍甲為乙提供食物是乙消耗的2 倍種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線0 11, 121 P2穩(wěn)定121 前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋21 甲必須為乙提供足夠的食物甲為乙提供的食物是乙消耗的 2 倍11, 121條件下使121 成立 P2穩(wěn)定條件：11, 12 0P: 中心 不穩(wěn)定 q 0P 不穩(wěn)定 T2T3T4T1P初值1.相軌線的方向用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t) 的“相位”領(lǐng)先 y(t)相軌線是封閉曲線x(t), y(t)是周期函數(shù)(周期記 T)求x(t), y(t) 在一周期的平均值軌線中心模型解釋r 食餌增長率d 捕食者死亡率b 食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者 數(shù)量食餌數(shù)量Pr/ad/ba 捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比, 與a成反比食餌數(shù)量與d成正比, 與b成反比模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比例卻在增加，為什么？rr-1, dd+1加入人工