北師大數(shù)九上《用因式分解法求解一元二次方程》教案

1、名師精編 優(yōu)秀教案 分解因式法 分解因式法是解某些一元二次方程較為簡(jiǎn)便且靈敏的一種特殊方法 它是把一個(gè)一元二 次方程化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解 方程時(shí)特殊重要 表達(dá)了一種“降次” 的思想, 這種思想在以后處理高次 這部分內(nèi)容的基本要求是讓同學(xué)學(xué)會(huì)方法 本節(jié)的重, 難點(diǎn)是利用分解因式法來(lái)解某些 一元二次方程 由于標(biāo)準(zhǔn)中降低了分解因式的要求, 依據(jù)同學(xué)已有的分解因式學(xué)問(wèn),同學(xué)僅能解決 2 2形如“ xx-a 0”“ x -a 0”的特殊一元二次方程所以在教學(xué)中,可以先出示一個(gè)較為 簡(jiǎn)潔的方程, 讓同學(xué)先各自求解, 然后進(jìn)行比較與評(píng)析, 發(fā)覺因式分解是解某些一元二次方 程較為簡(jiǎn)便的方法, 從而引出分解

2、因式法 其基本思想和方法是： 一個(gè)一元二次方程一邊是 零,而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí), 可以使每一個(gè)因式等于零, 分別解兩個(gè)一元一次 方程,得到的兩個(gè)解就是原一元二次方程的解 方程的重點(diǎn) 這種思想和方法是用分解因式法解一元二次 通過(guò)方法的比較, 力求讓同學(xué)依據(jù)方程的具體特點(diǎn), 靈敏選取適當(dāng)?shù)慕夥? 從而讓同學(xué) 體會(huì)解決問(wèn)題的多樣性 教學(xué)目標(biāo) 一 教學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn) 1 應(yīng)用分解因式法解一些一元二次方程 2 能依據(jù)具體一元二次方程的特點(diǎn),靈敏選擇方程的解法 二 才能訓(xùn)練要求 1 能依據(jù)具體一元二次方程的特點(diǎn),靈敏選擇方程的解法,體會(huì)解決問(wèn)題方法的多樣 性 2 會(huì)用分解因式法 提公因式法,公式 法

3、解某些簡(jiǎn)潔的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程 三 情感與價(jià)值觀要求 使他們知道分解因式法是一元二次方程解法中應(yīng)用 通過(guò)同學(xué)探討一元二次方程的解法, 較為廣泛的簡(jiǎn)便方法,它防止了復(fù)雜的運(yùn)算,提高明白題速度和精確程度再之,體會(huì)“降 次”化歸的思想 教學(xué)重點(diǎn) 應(yīng)用分解因式法解一元二次方程 第 1 頁(yè),共 9 頁(yè)名師精編 優(yōu)秀教案 教學(xué)難點(diǎn) 2形如“ x ax”的解法 教學(xué)方法 啟示引導(dǎo)式歸納教學(xué)法 教具預(yù)備 投影片五張 第一張：復(fù)習(xí)練習(xí) 記作投影片 2 4 A 其次張：引例 記作投影片 2 4 B 第三張；議一議 記作投影片 24C 第四張：例題 記作投影片 2 4 D 第五張：想一想 記作投影片 24 E

4、教學(xué)過(guò)程 巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情形,引入新課 師 到現(xiàn)在為止,我們學(xué)習(xí)明白一元二次方程的三種方法：直接開平方法,配方法,公 式法,下面同學(xué)們來(lái)做一練習(xí) 出示投影片 2 4 A 解以下方程： 21x -4 0； 22x -3x+1 0； 3x+1 2-25 0； 2420 x +23x-7 0 生 老師,解以上方程可不行以用不同的方法 . 師 可以呀 生甲 解方程 1 時(shí),既可以用開平方法解,也可以用公式法來(lái)求解,就方程的特點(diǎn), 我接受了開平方法,即 2解： x -4 0, 2移項(xiàng),得 x 4 兩邊同時(shí)開平方,得 x 2 x1 2,x 2=-2 生乙 解方程 2 時(shí),既可以用配方法來(lái)解,也可以用公式法來(lái)解,

5、我接受了公式法, 第 2 頁(yè),共 9 頁(yè)名師精編 優(yōu)秀教案 即 解：這里 a 1, b -3 ,c 1 b 2 2-4ac -3 -4 1 1 50, x= 325. x1= 325, x2= 325師 乙同學(xué),你在解方程 2 時(shí),為什么選用公式法,而不選配方法呢 生乙 我覺得配方法不如公式法簡(jiǎn)便 師 同學(xué)們的看法呢 . 生齊聲 同意乙同學(xué)的看法 師 很好,連續(xù) 生丙 解方程 3 時(shí),可以把 x+1 當(dāng)作整體,這時(shí)用開平方法簡(jiǎn)便,即 2 解：移項(xiàng),得 x+1 25 兩邊同時(shí)開平方,得 x+1 5, 即 x+1 5, x+1 -5 x1=4,x2=-6 生丁 解方程 4 時(shí),我用的公式法求解,即

6、 解：這里 a 20, b 23,c -7 , b 2-4ac 223 -4 20-7 1089 0, x 23 1089 23 33 . 40 220 x1= x 2=-. 師 很好,由此我們知道： 在已經(jīng)學(xué)習(xí)的解一元二次方程的三種方法直接開平方法, 配方法,公式法中, 直接開平方法只能解某些特殊形式的方程,配方法不如公式法簡(jiǎn)便因 此,大家選用的方法主要是直接開平方法和公式法 公式法是解一元二次方程的通法,有普遍的適用性,即可以解任何一個(gè)一元二次方程 用公式法解一元二次方程, 第一要把方程化為一般形式, 從而正確地確定 a,b,c 的值； 第 3 頁(yè),共 9 頁(yè)其次,通常應(yīng)先運(yùn)算 名師精編

7、優(yōu)秀教案 2 b -4ac 的值,然后求解 一元二次方程是不是只有這三種解法呢 .有沒有其他的方法 .今日我們就來(lái)進(jìn)一步探討 一元二次方程的解法 講授新課 師 下面我們來(lái)看一個(gè)題 出示投影片 2 4 B .你是怎樣求出來(lái) 一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的 3 倍有可能相等嗎 .假如相等,這個(gè)數(shù)是幾 的. 師 大家先獨(dú)自求解,然后分組進(jìn)行爭(zhēng)辯,溝通 生甲 解這個(gè)題時(shí),我先設(shè)這個(gè)數(shù)為 x,依據(jù)題意,可得方程 x 2=3x 然后我用公式法來(lái)求解的 x 解：由方程 x2 3x,得 2-3x=0 這里 a=1, b=-3 , c 0. b2 2-4ac -3 -4 1 0 90 所以 x= 329即 x 1=3,

8、x 2 0 因此這個(gè)數(shù)是 0 或 3 2 生乙 我也設(shè)這個(gè)數(shù)為 x,同樣列出方程 x 3x 解：把方程兩邊同時(shí)約去 x,得 x 3 所以這個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是 3 生丙 乙同學(xué)做錯(cuò)了,由于 0 的平方是 0, 0 的 3 倍也是 0依據(jù)題意可知,這個(gè)數(shù)也 可以是 0 師 對(duì),這說(shuō)明乙同學(xué)在進(jìn)行同解變形時(shí), 進(jìn)行的是非同解變形, 因此丟掉了一個(gè)根 大 家在解方程的時(shí)候, 需要留意： 利用同解原理變形方程時(shí), 在方程兩邊同時(shí)乘以或除以的數(shù), 必需保證它不等于 0,否就,變形就會(huì)錯(cuò)誤 這個(gè)方程仍有沒有其他的解法呢 . 生丁 我把方程化為一般形式后,發(fā)覺這個(gè)等式的左邊有公因式 x,這時(shí)可把 x 提 第 4 頁(yè),

9、共 9 頁(yè)名師精編 優(yōu)秀教案 出來(lái),左邊即為兩項(xiàng)的乘積前面我們知道：兩個(gè)因式的乘積等于 這樣,就把一元二次方程降為一元一次方程,此時(shí),方程即可解 解： x 2-3x 0, xx-3 0, 于是 x 0, x-3 0 x1=0,x2=3 因此這個(gè)數(shù)是 0 或 3 0,就這兩個(gè)因式為零, 師 噢,這樣也可以解一元二次方程,同學(xué)們想一想,行嗎 . 生齊聲 行 師 丁同學(xué)應(yīng)用的是：假如 a b 0,那么 a=0,b 0,大家想一想,議一議 出示投 影片 2 4 C a b 0 時(shí), a=0 和 b=0 可同時(shí)成立,那么 xx-3=0 時(shí), x 0 和 x-3 0 也能同時(shí)成立嗎 . 生齊聲 不行 師

10、那該如何表示呢 . 師 好,這時(shí)我們可這樣表示： 假如 a b=0, 那么 a 0 或 b 0 這就是說(shuō)： 當(dāng)一個(gè)一元二次方程降為兩個(gè)一元一次方程時(shí), 的是“或”,而不用“且” 這兩個(gè)一元一次方程中間用 所以由 xx-3 0 得到 x0 和 x-3 0 時(shí),中間應(yīng)寫上“或”字 . 0,而另一邊可以分解 我們?cè)賮?lái)看丁同學(xué)解方程 2 x 3x 的方法, 他是把方程的一邊變?yōu)?成兩個(gè)因式的乘積, 然后利用 a b 0,就 a=0 或 b 0,把一元二次方程變?yōu)橐辉淮畏匠? 從而求出方程的解 我們把這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法, 即當(dāng)一元二次方程 的一邊為 0,而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因

11、式的乘積時(shí),我們就接受分解因式法來(lái)解一元 二次方程 因式分解法的理論依據(jù)是： 假如兩個(gè)因式的積等于零, 那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于 零如：如 x+2x-3 0,那么 x+2 0 或 x-3 0；反之,如 x+2 0 或 x-3 0,就確定 有x+2x-3 0這就是說(shuō),解方程 x+2x-3=0 就相當(dāng)于解方程 x+2 0 或 x-3=0 接下來(lái)我們看一例題 出示投影片 2 4 D 第 5 頁(yè),共 9 頁(yè)名師精編 優(yōu)秀教案 例題 解以下方程： 215x =4x； 2x-2 xx-2 師 同學(xué)們能獨(dú)自做出來(lái)嗎 . 生 能 師 好,開頭 生甲 解方程 1 時(shí),先把它化為一般形式,然后再分解因式求解

12、解：原方程可變形為 25x -4x 0, x5x-4=0 , x 0 或 5x-4 0 x1=0,x2= 生乙 解方程 2 時(shí),由于方程的左,右兩邊都有 x-2 ,所以可把 x-2 看作整體,然 后移項(xiàng),再分解因式求解 解：原方程可變形為 x-2-xx-2 0, x-21-x 0, x-2 0 或 1-x=0 x1 2,x 2=1 生丙 老師,解方程 2 時(shí),能否將原方程開放后,再求解呢 . 師 能呀,只不過(guò)這樣的話會(huì)復(fù)雜一些,不如把 x-2 當(dāng)作整體簡(jiǎn)便 下面同學(xué)們來(lái)想一想,做一做 出示投影片 2 4 E 你能用分解因式法解方程 2 x -4 0, x+1 2-25=0 嗎 . 2 x -4

13、=x-2x+2 這樣,方 生丁 方程 x 2-4=0 的右邊是 0,左邊 2 x -4 可分解因式,即 2 程 x -4 0 就可以用分解因式法來(lái)解,即 2 解： x -4=0 , x+2x-2 0, x+2 0 或 x-2=0 x1=-2 ,x 2=2 2 2生戊 方程 x+1 -25 0 的右邊是 0,左邊 x+1 -25 ,可以把 x+1 看作整體,這樣左 邊就是一個(gè)平方差,利用平方差公式即可分解因式,從而求出方程的解,即 第 6 頁(yè),共 9 頁(yè)名師精編 優(yōu)秀教案 2解： x+1 -25 0, x+1+5x+1-5 0 x+1+5 0, 或 x+1-5 0 x1=-6 ,x 2=4 師

14、好,這兩個(gè)題實(shí)際上我們?cè)趧偵险n時(shí)解過(guò), 當(dāng)時(shí)我們用的是開平方法, 現(xiàn)在用的是 因式分解法 由此可知： 一個(gè)一元二次方程的解法可能有多種, 好,下面我們通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固一元二次方程的解法 課堂練習(xí) 一 課本 P61 隨堂練習(xí) 1 , 2 1 解以下方程： 1x+2x-4 0； 24x2x+1=32x+1 解： 1 由 x+2x-4=0 得 x+2 0 或 x-4 0； x1=-2 ,x 2=4 2 原方程可變形為 4x2x+1-32x+1 0, 2x+14x-3 0, 2x+1 0 或 4x-3 0 x1=-,x 2=. 我們?cè)谶x用時(shí), 以簡(jiǎn)便為主 2 一個(gè)數(shù)的平方的 2 倍等于這個(gè)數(shù)的 7 倍,

15、求這個(gè)數(shù) 解：設(shè)這個(gè)數(shù)為 x,依據(jù)題意,得 22x 7x, 2x-7x 0, x2x-7=0 x0 或 2x-7 0 x1=0,x2 因此這個(gè)數(shù)等于 0 或 二 閱讀課本 P59 P61,然后小結(jié) 第 7 頁(yè),共 9 頁(yè)名師精編 優(yōu)秀教案 課時(shí)小結(jié) 我們這節(jié)課又學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法因式分解法 用較為廣泛的簡(jiǎn)便方法 課后作業(yè) 一 課本 P61 習(xí)題 27 1 二 1. 預(yù)習(xí)內(nèi)容： P62 P64 2 預(yù)習(xí)提綱 如何列方程解應(yīng)用題 活動(dòng)與探究 1 用分解因式法解： x-1x+3 12 它是一元二次方程解法中應(yīng) 過(guò)程 通過(guò)同學(xué)對(duì)這個(gè)題的探討, 爭(zhēng)辯來(lái)提高同學(xué)的解題才能, 養(yǎng)成良好的摸索問(wèn)題的 習(xí)

16、慣 結(jié)果 1 解： x-1x+3=12 x 2 +2x-3 12, x 2 +2x-15 0, x+5x-3 0 x+5 0 或 x-3=0 x1=-5 ,x 2=3 板書設(shè)計(jì) 2.4 分解因式法 一,解方程 x 2 3x 解：由方程 x 2 3x 得 2x -3x=0 , 即 xx-3 0 于是 x 0 或 x-3 0 因此, x1 0,x 2 3 所以這個(gè)數(shù)是 0 或 3 二,例題 例：解以下方程； 第 8 頁(yè),共 9 頁(yè)名師精編 優(yōu)秀教案 215x 4x； 2x-2 xx-2 三,想一想 四,課堂練習(xí) 五,課時(shí)小結(jié) 六,課后作業(yè) 備課資料 參考例題 例 1：用分解因式法解以下方程： 12x-5 242x-1 2-2x+5=0 ； 22 9x+