傳輸原理邊界層理論

1、傳輸原理邊界層理論第1頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日邊界層理論本章主要內容1.介紹邊界層的基本概念及特點；2.平面層流邊界層微分方程及其求解；3.平面層流邊界層積分方程及其求解；4.平板繞流摩擦阻力的計算 第2頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日邊界層理論 理論形成的背景：實際流體流動方程是非線性偏微分方程，難以求解；人們注意到大多數實際流體的流動都可以分為兩個區(qū)域，即靠近壁面、速度梯度較大的一薄層（邊界層）和大部分遠離壁面、速度梯度較小的區(qū)域。對速度梯度較小的區(qū)域可以利用理想流體的歐拉方程和伯努利方程求解；對很薄的邊界層可以通過簡化后再求解。這樣

2、就將整個區(qū)域求解問題轉化為主流區(qū)的理想流體的流動問題和靠近壁面邊界層內的流動問題。當然，與此同時就有一個區(qū)域的劃分問題或者說有一個邊界層厚度的確定問題。第3頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日邊界層理論 意義：粘性流體流動理論應用于實際問題，明確了研究理想流體流動的實際意義，在流體力學的發(fā)展中起了非常重要的作用。第4頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第一節(jié) 邊界層的基本概念一、邊界層的定義邊界層：流體在流經固體壁面時，在固體壁面形成速度梯度較大的流體薄層。邊界層的厚度：流速相當于主流區(qū)速度的99%處，到固體壁面的距離稱為邊界層厚度。二、邊界層的形成與特

3、點 為什么會形成邊界層？因為流體內部存在粘附力或粘性力 。我們已經知道：流體流過管道時，其流動形態(tài)是通過雷諾數來判別的。Re=d/第5頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第一節(jié) 邊界層理論的基本概念當Re Recr 時，流動為湍流。對于流體掠過平板的流動，流動形態(tài)仍然可通過雷諾數來判別，不過此時的雷諾數用 Rex=x0/ 計算。其中：x 為流體進入平板的長度，又稱進流深度；0 為主流區(qū)流體速度。對于光滑平板而言：Rex310 6 時為湍流；210 5 Rex 310 6為層流到湍流的過渡區(qū)。第6頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日 第一節(jié) 邊界層理論的基

4、本概念（1）層流區(qū)： xxc ，使得Rex2105，且Rex 3106，這時邊界層內的流動形態(tài)已進入湍流狀態(tài)，邊界層的厚度隨流進長度的增加而迅速增加。 第7頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第一節(jié) 邊界層理論的基本概念應特別強調的是：無論過渡區(qū)還是湍流區(qū)，其邊界層最靠近壁面的一層始終都是作層流運動，此即所謂的層流底層。注意：層流底層和邊界層的區(qū)別與聯系 層流底層是根據有無脈動現象來劃分；邊界層則是根據有無速度梯度來劃分。邊界層內的流體可以是層流流動，也可以是作湍流流動。第8頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第一節(jié) 邊界層理論的基本概念第9頁，共49頁

5、，2022年，5月20日，22點0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程） 一、 微分方程的建立對于二維平面不可壓縮層流穩(wěn)態(tài)流動，在直角坐標系下滿足的控制方程為連續(xù)性方程x方向動量傳輸方程y方向動量傳輸方程第10頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程） 考慮不可壓縮流體作平面層流（二維流場），此時質量力對流動產生的影響較小，則有方程組連續(xù)性方程x方向動量傳輸方程y方向動量傳輸方程因為是一個無窮小量，所以是一個高價無窮小，可以略去不計。第11頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第二節(jié)

6、 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）于是， x方向動量傳輸方程可簡化為關于y軸方向上的動量傳輸方程，因為邊界層厚度很小，第三式中的Vy對x和y的各項偏導數與x軸方向上的動量傳輸相比均屬無窮小量，可略而不計。因而，第三式可以簡化為第12頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）對主流區(qū)中的同一 y 值，不同的 x 值其伯努利方程可寫為由于與0皆為常數，故p為常數，即 dp/dx=0因此第13頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程） 普朗特邊界層微分

7、方程的解是由他的學生布拉修斯在1908年首先求出的，他首先引入了流函數的概念，得出邊界層微分方程的解是一無窮級數。所以，原方程組就簡化為 定解條件為第14頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第二節(jié) 平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）邊界層厚度與流進距離x 和流速0 的關系為式中：Cn為二項式的系數；A2為系數，可由邊界條件確定。第15頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程） 一、 邊界層積分方程的建立 前面將連續(xù)性方程與納維爾斯托克斯方程應用于邊界層，并通過合理的簡化處理，使方程的形式大為簡化。但所得到的布拉

8、修斯解仍然是一個無窮級數，使用時很不方便。而且還只能用于平板表面層流邊界層?，F在我們將直接從動量守恒定律出發(fā)，建立邊界層內的動量守恒方程。第16頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程） 1）從AB面單位時間流入的質量記為mx、動量記為Mx 對如圖所示的二維平面流動問題，取圖示的控制體（單元體），斷面為ABCD，垂直于圖面方向（z 軸方向）取單位長度。 第17頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）2）從CD面單位時間流出的動量記為M x+x，流出的質量記為m x+x 3）從BC面單位時間

9、內流入的質量記為ml，流入的動量在x方向的分量記為Ml ；而AD面沒有流體的流入、流出。第18頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）根據質量守恒定律，則有BC面在邊界層之外，流體沿x方向的速度近似等于0，故此由BC面流入的動量在x方向的分量Ml4）AD面沒有質量流入、流出，但有動量通量存在，其值為0，故此由AD面在單位時間內傳給流體的粘性動量為0 x。 第19頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）5）沿x方向一般情況下還存在著壓力梯度。所以，由于作用在AB面和CD面上的壓力差而施加給

10、控制體的作用力為通過前面的推導我們已經知道所以，上式變?yōu)榈?0頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）建立動量守恒方程如下化簡后得第21頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）上式就是邊界層積分方程，也稱為馮卡門方程。由前面的分析我們知道 是一小量，可略去不計，這時方程進一步簡化為 第22頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）上式即為簡化后的馮卡門方程，可以用于不同的流態(tài)，只要是不可壓縮流體就可。 二、 層流邊界層積分方程的解 波爾

11、豪森是最早解出馮卡門方程的人，他分析了方程的特點，假設在層流情況下，速度的分布曲線是y的三次方函數關系，即x=a+by+cy2+dy3式中的四個待定常數a、b、c、d 可由以下邊界條件確定：第23頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）這些邊界條件是條件1），2），3）是顯而易見的; 條件4）是由于y=0時，x= y =0； 再結合前面推導的普朗特微分方程而得到第24頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日利用上述邊界條件確定出：a=0，c=0，第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）因此，速度分布可表示為或者將上式聯立馮-卡

12、門方程，就可求出速度分布和邊界層厚度 上式給出了邊界層厚度與進流距離和速度的關系。第25頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）三、湍流邊界層內積分方程的解 在湍流情況下，馮-卡門積分方程中的0為一般的應力項，要想解上述方程也必須補充一個x與之間的關系式，它不能由波爾豪森的三次方函數給出，此時要借助圓管內湍流速度分布的1/7次方定律用邊界層厚度代替式中的R得到 用它來代替波爾豪森多項式的速度分布，根據圓管湍流阻力的關系式，得出壁面切應力0為 第26頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）

13、代入積分方程可得到將它和積分后得第27頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第三節(jié) 邊界層內積分方程（馮卡門方程）由邊界條件由此可見：湍流邊界層厚度（x4/5），比層流邊界層厚度（ x1/2）隨進流距離增加而增厚要快得多。 從而得到湍流邊界層厚度的分布第28頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計算 對于實際流體掠過平板作層流流動，由于流體粘性的作用，使得流體和平板之間存在著相互作用力，即 根據上式，如果我們知道流體在邊界層內的速度分布x 和流體的動力粘度，則平板對流體的作用力就可以很方便地通過上式求出。 第29頁，共49頁，2022

14、年，5月20日，22點0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計算一、不可壓縮流體作層流掠過平板表面流動時的摩擦阻力 通常定義摩擦阻力系數Cf 為對于長度為L、寬度為B 的平板，其總阻力S 為我們注意到第30頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計算即可求出層流條件下掠過平板表面的摩擦阻力系數Cf請注意：講義中此處應補充以下內容霍華斯（Howarth)對微分方程通過數值計算給出。其中第31頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計算 另一方面，由邊界層積分方程的解，也可以計算出層流平面繞流摩擦阻力，所以，總阻力即 由

15、和可得到注意：原教材中該部分多處有誤！請參照改正。（P 71）第32頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計算以上的推導可見：無論從邊界層微分方程出發(fā)還是從邊界層積分方程出發(fā)，都可以求出固體壁面與流體之間的摩擦力，其結果相差不大。所以聯立式同樣可求得層流條件下掠過平板表面的摩擦阻力系數Cf第33頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計算二、不可壓縮流體作湍流流動掠過平板表面時的摩擦阻力計算 湍流掠過平板表面時，流體與平壁之間的摩擦阻力不僅與分子粘性有關，而且還與湍流的脈動有關。此時在邊界層內借助速度的1/7次的

16、經驗公式，即 把它代入馮卡門方程可得 第34頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計算此時由湍流邊界層公式給出，即 對于長度為L、寬度為B 的平板，其總阻力S 為第35頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日這時平板摩擦阻力系數可由下式給出上式適用于105 ReL 107，若將系數0.072改成0.074與實驗結果更吻合。第四節(jié) 平板繞流摩擦阻力計算第36頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第五章 例題講解【例5-1】運動粘度 的空氣以速度 掠過一平板，試求：1、進流深度為50cm處的邊界層厚度；2、進流深度為50c

17、m、板面上方距板面5mm處空氣的流速；3、相同的進流深度、板面板面上方距板面15mm處空氣的流速。解：1）先計算Re，判別流態(tài)。 第37頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第五章 例題講解3）對該處， 處于邊界層外。 2）因進流深度50cm處的邊界層厚度為7.3mm，求解處位于層流邊界層內，該處空氣的流速為：故該處空氣的流速第38頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日【例5-2】如圖所示，=0.73Pas、=925kg/m3 的流體以0.6m/s的速度平行地流過一塊長0.5 m的光滑平板。試求 ： 1）求邊界層的最大厚度？ 2）求A點（位于壁面處）、B點（

18、板上方50mm處）和C點（板面上方90mm處）三處x方向的速度 以及它們在y方向的速度梯度第五章 例題講解 解：先計算Re，判別流態(tài)。第39頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第五章 例題講解邊界層的最大厚度 在平板的最右端。解：設在x=200mm處的邊界層厚度為，先計算該處的Re，判別流態(tài)。 (層流) 第40頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第五章 例題講解A點處：y=0 根據層流邊界層內的速度分布公式第41頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日第五章 例題講解B點處：C點處：第42頁，共49頁，2022年，5月20日，22點0分，星期日【例5-3】 設空氣從寬為40cm的平板表面流過，空氣的流動速度v0=2.6m/s;空氣在當時溫度下的運動粘度=1.4710-5m2/s。試求：流入深度x=30cm處的邊界層厚度，以及距板面高y=4.0mm處的空氣流速及板面上的總阻力？解：（1） （2）邊界層厚度（按Re為層流區(qū)）