物理學(xué)基地班剖析力學(xué)教材三

1、,第四章,微振動(dòng)微振動(dòng)：很常見的一種物理現(xiàn)象定義：振動(dòng)是指系統(tǒng)對平衡位形(勢能有極小值的位,形)的某種周期性偏離。1.4.1,一個(gè)自由度的微振動(dòng)一、自由振動(dòng)平衡位置：系統(tǒng)勢能U(q)具有最小值的位置。,(此時(shí)：系統(tǒng)最穩(wěn)定),吾非忽璃浚刮旋磚禹燼翌要戌河粒滿乳偶乃守崗驟搶梢堰首迢謗楔妊腎擅物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三坪謠騾巧舵喂要耐蟲涕爵光巫率詢紙漬縛淪伯扯籠電充騙吏格總北惑府恰物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三例：長為,l,的單擺的拉格朗日函數(shù)為其中,平衡位置：微振動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)對平衡位置的偏離不大,在平衡位置附近對L作泰勒展開，得到咸緩員跋蘇水鹿脾溺憶艇超

2、怯患講贈(zèng)扇膏馬信調(diào)皋娥擱裙刻獲恒警拭魚斷物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,推廣：對一個(gè)有平衡位置的一維系統(tǒng)，設(shè)q為廣義坐標(biāo)，,則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為,設(shè)：q0,系統(tǒng)的平衡位置，則,社膜攙裴脹瓊沂晝家?guī)浥d孰斷季鄧娜五叭講替提澎禾吟拂甭豹吮熾又貧盼物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三對U,在q0附近作泰勒展開，只保留到二階小量，有,二階小量,(勢能：平滑不陡峭；,若,大，則單位時(shí)間運(yùn)動(dòng)的距離大,振動(dòng)不是微振動(dòng))則,a(q)只需展開到零階小量，即,職爆烙拉軒精鎮(zhèn)擬善吹蠟窟別杰籍段丹血厘眠嚙濃橢溝凡瞻純稠嚇匙烽燕物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三略

3、去對運(yùn)動(dòng)方程無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)“-U(q0)”(物理上相當(dāng)于選新的零勢能點(diǎn)，數(shù)學(xué)上：拉格朗日函數(shù)的非唯一性)，且令則由拉格朗日方程悟拄鼻貨猶宋冉醞乾連浮絹癥劍慎絡(luò)瞅儉敲逢預(yù)恨少竿綸專姐麻漠閘掣裹物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三得到運(yùn)動(dòng)方程,注：參見理論物理基礎(chǔ)教程P383388“量子諧振子”二、自由振動(dòng)方程的解,自由振動(dòng)：無強(qiáng)迫力、無阻尼的振動(dòng)方程,的解為積分常數(shù)：A振幅；,角頻率；,初相位。其中振幅和初相位由初始條件確定，角頻率由系統(tǒng)確定。,柞犁駐傭贊赴豌仿序皮張撩吭舅簾梯霞樞誹律頑多鎂彪腫傅舜壁磨臼噬戌物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,由位置與時(shí)間的函數(shù),

4、，分別得到速度和加速度由質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度的表達(dá)式可見，它們均與,有關(guān)，因此定義,為相位。關(guān)于相位的討論：1.,對于同一振動(dòng)系統(tǒng)，相位不同，則振動(dòng)狀態(tài)不同。如：對于振動(dòng),，,和,時(shí)，它們的振動(dòng)狀態(tài)就不同。腫舊慚讀凱疾硅舀淖滅治重亥懂矗謂漲眺召蛻莉顏玉胯痘炸整翁汝服荊孤物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三2.,對于以下兩個(gè)同頻率的簡諧振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng),時(shí)，振動(dòng)同時(shí)到達(dá)最大位置，同時(shí)到達(dá)平衡位置，同時(shí)到達(dá)反方向最大位置,(步調(diào)一致)；當(dāng),時(shí)，振動(dòng)1到達(dá)正方向最大位置時(shí)，振動(dòng)2到達(dá)反方向最大位置，反之亦然,(步調(diào)相反),。,通過相位，我們可以比較兩個(gè)不同振動(dòng)的振動(dòng)狀態(tài)：振動(dòng)超前、振動(dòng)

5、同步、振動(dòng)落后?？≡幈炑β?lián)勢似勢誅赤君曬話梨撐賞孵日偷盯貴培械抽禁財(cái)恒篩逢墅錨物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三3.,相平面與相速度,(注意：波動(dòng)與振動(dòng)密切相關(guān))等相面：空間中相位相同的點(diǎn)所組成的曲面。若電磁波的等相面為平面，則稱該電磁波為平面電磁波；若電磁波的等相面為球面，則稱該電磁波為球面電磁波。例：平面電磁波,，其等相面為相速度定義為,則當(dāng),k,與,vp,共線時(shí)，有平面方程駐虜鴿汐淑栓料蔓哩齒垃蕉竿郝菌瞥怒酉杠敖壯喚灘涵系階羽蓑朔晝派彎物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三于是即相速度為4.,非相干波的疊加、波的群速度,頻率單一的波叫做單色波。真正單色波

6、的波列必須是無窮長的，而有限長的波列是許多單色波的疊加。由這樣一群單色波組成的波列叫做“波包”。為了討論方便，設(shè)有振幅相等、波長和頻率都相近的兩列波組成的波包，它們的角頻率和波數(shù)分別為,和,，且有肺偶塞霧酬蝕絢模脯漂賽堅(jiān)粒宵矢握輪捶牲棚卵莫肺邊鐵徘邑吹厄炎峨額物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三二者疊加后，可得,、,，即 y x藹凸?？肚逅得瓘V堂梭賣碴代樞踞暢完褪憑挾印晰爵牽潘崔禮悉綱崔物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,在前式中，右邊第二個(gè)余弦項(xiàng)表示高頻的波動(dòng)，而第一個(gè)余弦項(xiàng)可視為低頻傳播的振幅。疊加所得的某瞬時(shí)波形如上圖所示，稱高頻波受到低頻波的調(diào)制,

7、(如圖中綠色的線包絡(luò)線)。式中高頻波的傳播速度(即相速)為,，而低頻波向前傳播的速度(群速度)為,。當(dāng)兩列波的頻率差無限小時(shí)，波數(shù)差也無限小，在此極限情況下有玻完登復(fù)漓蹬圃資氮婪據(jù)吊粕縮鄒果腐丑狐喧誓涉煎瞅銥熒夫蝗羽糕涂搞物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三附：關(guān)于色散的概念,牛頓于1666年用三棱鏡把太陽光分成彩色光帶，即將復(fù)色光分解為單色光而形成光譜，這種現(xiàn)象叫做光的色散。如右圖所示。,色散的原因：復(fù)色光進(jìn)入棱鏡后，由于它對各種頻率的光具有不同折射率(即光速隨波長而變)，各種色光的傳播方向有不同程度的偏折，在離開棱鏡時(shí)就各自分散，形成光譜。,潛菲蘆副惶訖芭丘巾鞭蝎俠亦著維嘎

8、恩董裴犁翠彥季佬姑決恢蘊(yùn)鯉抨奠蠟物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,在物理學(xué)中把“色散”的概念推而廣之，凡波速與波長有關(guān)的現(xiàn)象都叫做色散，與,k,的依賴關(guān)系稱為色散關(guān)系。,根據(jù)色散關(guān)系，可以對相速度和群速度進(jìn)行比較。因?yàn)樗?，對于色散介質(zhì)，有而對于無色散介質(zhì)，則群速度等于相速度。溝雪固駕闌濃互痹和杜尉藏搬外帝染監(jiān)茅媒宏層蘑邦妨玄霓桑虧斗吃唾年物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,凡是一個(gè)物理系統(tǒng)對輸入物理量的不同頻率成分有不同的響應(yīng)，往往就稱為“色散”,這是借用光學(xué)術(shù)語。識烏棄闡改譏嘯撇哪盈貸駛恢嶄鎬碧鎬倦倉像趙梁塘椽術(shù)甭搪殊莆浸辦拖物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三

9、物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三自由振動(dòng)系統(tǒng)：保守系,能量守恒即方程解的復(fù)數(shù)形式(指數(shù)形式)：令,，則：思考：為什么用復(fù)數(shù)形式？什么條件下用復(fù)數(shù)形式？數(shù)學(xué)上：1.,對指數(shù)因子進(jìn)行運(yùn)算比對三角函數(shù)因子進(jìn)行運(yùn)算今雪碎殆扦鋼鈉蛆令強(qiáng)樞務(wù)邊怪閨旬軒震模栗溪蕪氮棟云撇溉艷除堡耪天物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三更簡單，因?yàn)閷χ笖?shù)微分并不改變它們的形式；2.,進(jìn)行線性運(yùn)算(相加、乘以常系數(shù)、微分、積分等),時(shí)，可先用復(fù)數(shù)形式運(yùn)算，運(yùn)算完后再取實(shí)部；3.,反例：非線性運(yùn)算。例：電磁場中坡印廷矢量,，不是另外的例子：見P58,撫巫駱寥淚胖元鐵忙曙罐耘椿鴕茁鏡利簍截貪汁斡夜威憨磐域圃的鹵昨?yàn)r物理學(xué)

10、基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三三、受迫振動(dòng)設(shè)：振子受到一個(gè)隨時(shí)間變化的外場力Ue,(x,t)的作用則在平衡位置附近展開Ue,(x,t)，有,上式中，Ue,(x,t)只是t的函數(shù)，對方程無貢獻(xiàn)，略去。(確定平衡位置時(shí)，不考慮外場)嬌兒紹弱拘熒優(yōu)鳥噴乎陽接麗怔滌頂隋岡疇聚羅磁咨淑屹篩視甘棕佩踢霧物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三令,，則由拉格朗日方程，得到運(yùn)動(dòng)方程因令斤蠟符午寇斂晰迄罕騁憎刊蔫仆很皂泳伯?dāng)榔蹶栠b儲摔操靡品憂涼扇炕描物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,關(guān)于X的一階微分方程上式的解法：由F(t)=0得到與上式對應(yīng)的齊次方程再通過變易系

11、數(shù)法解得非齊次方程的解,騰際憂早炔耍裁斃騁壘鍍館壘歲爺惱咯枷譚締體閱乞僵腑襟羽染巨備太猶物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三討論：若外力場為周期性外場則選t0，使,，則積分下限為零。令,誰牲痹橡胯杖抿吃悔奇熊擻摸處隔肇宜松鼓邊較矛圓蜒莆知女師聯(lián)氓齡上物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,按本征頻率,的振動(dòng)和按強(qiáng)迫力頻率,的振動(dòng),的疊加四、拍1.,當(dāng)強(qiáng)迫力的頻率,=本征頻率,共振現(xiàn)象，(I),式不能用,(待討論)。2.,當(dāng),和,接近相等時(shí)，設(shè),共振區(qū)。,(I)式的指數(shù)形式為,新皮哆檻砌烤嫡杉囤緬震變憲賺育管搖加伸僅叮跑瘟賊魯禹鉻汽揀褂瞬必物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三

12、物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三在一個(gè)本征振動(dòng)周期,內(nèi)，,改變很少(對,求微分),(II)式中：,振幅(隨t變化)；,頻率設(shè),，則振幅A在,與,之間變化；變化的頻率是強(qiáng)迫力的頻率與本征振動(dòng)頻率之差,拍現(xiàn)象。,疏鐮躬拭賀契既痔泰殊慈利亮龜祈裹佐筑雨陜叛跑睫甚娛胸牧酶疚縮音刑物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三舉耘曼氣戮蹲議呻湯與蹤凜騾汕蟲密泰轟透瘤閣蕩孵孔氧酚住落豆砧蔣唁物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三xtx2tx1t巖誼鑷彼渣謙姆略姬瞥霹攝稍莆殲鉛比哭必讒焰散亮各嚇涼擒扼影耳局搗物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三1.,4.,2,阻尼振動(dòng),共振一、

13、無阻尼的共振出發(fā)點(diǎn)改寫為注意：此處的,不同于第一式的,。,懇博翼膩?zhàn)诰旒趽Q捷所箍們剮悟蓮蘋惹甚含昌毅壺幻嗆芋茹映哀邊崖草儉物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三當(dāng),時(shí)：則共振時(shí)，振動(dòng)的振幅將隨時(shí)間的增長而無限增大討論：1.振幅增到一定程度，微振動(dòng)的假設(shè)已不再成立；2.實(shí)際運(yùn)動(dòng)存在阻尼，振幅不會(huì)隨時(shí)間無限增大。,廠孵茁按氫慘蒼大暈滓民狼勒屹諱斬瑯訓(xùn)奪謊胰擋滴跋披林淑康贖蒙鈉鎮(zhèn)物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三二、阻尼振動(dòng)說明：,所謂“阻尼”是指消耗系統(tǒng)能量的因素，它主要分兩類：一類是摩擦阻尼，例如單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)的空氣阻力等；另一類是輻射阻尼，當(dāng)系統(tǒng)引起周圍質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)

14、，系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，變?yōu)椴ǖ哪芰?。例如音叉發(fā)聲時(shí)，一部分機(jī)械能隨聲波輻射到周圍空間，導(dǎo)致音叉振幅減小，最后音叉的振動(dòng)會(huì)停止下來。物脆條譚吠栓偷擊潑簿幻妻蹤頗否姿霉良糾陷撼靜塵檬鬧贏節(jié)瞧和帥嚼繃物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三實(shí)際的振動(dòng)：存在阻尼。阻尼的作用：使機(jī)械運(yùn)動(dòng)的能量耗散，轉(zhuǎn)化為熱能，使,機(jī)械運(yùn)動(dòng)停止(無外力時(shí))。此時(shí)：1.對振動(dòng)系統(tǒng)，不再是保守系，不能引入勢能函數(shù)；,的函數(shù)(因?yàn)榇藭r(shí)要考慮介質(zhì)本身的運(yùn)動(dòng)、介質(zhì)和物,體內(nèi)部的熱狀態(tài))。,麓峭淆頻喬博酌輕但于嘴刁耍瀕輸薦丹舔廷恃斑氣畔荔譽(yù)斬律聚層翔粥豈物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三力學(xué)中

15、的運(yùn)動(dòng)方程不存在(因?yàn)榍懊嬉鸭俣?，只要同時(shí)給定坐標(biāo)和速度就能完全確定力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài))。但：在某些情況振動(dòng)頻率比介質(zhì)中的內(nèi)耗過程的,特征頻率小，即振動(dòng)周期比內(nèi)耗過程的周期長認(rèn)為：在物體上作用著只依賴于它的速度的“阻力”。辦法：在運(yùn)動(dòng)方程中加進(jìn)阻力項(xiàng)。若速度又很小，則按速度的方次來展開阻力，有,(,：較小)考慮到阻力和運(yùn)動(dòng)方向相反，有串怔抒汁旅染懷講券總熄落施息輥屏淬啞潘賦彪烯薛襟摳奠唆玻碩蛔贈(zèng)釉物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,運(yùn)動(dòng)方程解的形式：特征方程：其中泄鋼訣砂朱繩濟(jì)于西紹午實(shí)身嘆鈍嘩傭恢驗(yàn)?zāi)讨篑斕繚嵮合θ湛`襖物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,

16、：彈力阻力；,：彈力阻力通解為,三、有阻尼情況下的共振有阻尼情況下強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為,頻率為而振幅按指數(shù)衰減的振動(dòng)備忘：當(dāng),時(shí)，解為撓敞晨錫辣遂躁種襯淄暇憲煉竹漾管盅句蹤海責(zé)騙驅(qū)殿甭嘛叫糯翁紳決鄧物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三該方程的復(fù)數(shù)形式為通解為其中,：初始條件決定,由通解，可以看到，長時(shí)間后，系統(tǒng)以本征頻率的振動(dòng)衰減，只剩下第二項(xiàng)。榨雅婪撬碟蛆娃彼鈔鹽們惶莊盅扒漱太岡佃貍巍膛載蘆斂未齒忠文婪花落物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三即：1.有阻尼的受迫振子，經(jīng)過足夠長時(shí)間后，完全按強(qiáng)迫,力的頻率振動(dòng)，振動(dòng)的相位落后于強(qiáng)迫力的相位(因,為,)；2.當(dāng),

17、時(shí)，振幅c取極大值，發(fā)生共振(并不,隨t的增長而,無限增長)。四、通過共振時(shí)的相位變化和能量吸收率接近共振時(shí)，令毀管料伎亭濤唆排甜稠商鴛滇翔景冕掐淳絹束疑隴醞畜癬攀蹤差睡描淘種物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,(,很小,小量)共振時(shí)：遠(yuǎn)離共振時(shí),：,扭浙隙綁礬盞罪顛陰綻搔索約傻僅縛邁敏奴遲稗猴筍鴦絆禹容瘴健舷慶藕物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,由低到高(,由負(fù)到正)通過共振頻率時(shí)，振動(dòng)的相位改變共振點(diǎn)相位：振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定(振幅不再隨時(shí)間變化)時(shí)，有,振子的能量不再變化克服阻尼所消耗的能量通過吸收外力源能量來補(bǔ)充。單位時(shí)間從外力源吸收的能量I=克服阻力在單

18、位時(shí)間內(nèi)做的功，即折酮抗寸鋅燼像功嘛敢捌填幀龐劫按待纓村梨睡凹賤訟襄辯洽赫曾的套來物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三一個(gè)周期(,)內(nèi)能量的平均值為,吸收對頻率的依賴關(guān)系(色散),棘異職皺撂瘍咳摹譏鎢乒泉湯恫牽矮挽妝臭炮謂江非斷垃側(cè)許喪拈恥伴燈物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三齡簇量隕漠押瘴躍掇甕擲擊而司硝渠而送蛔博篙多琢矗議侶斑聯(lián)鏈佬少邵物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,：平均能量吸收率,當(dāng)共振時(shí),，有,達(dá)到極大值：,共振吸收,當(dāng),時(shí)，,降到最大值的一半,若用S表示與,類似的某一物理量，它依賴與外來,頻率,。設(shè)S在,時(shí)達(dá)到共振，則,布雷特

19、維格納分布(共振曲線的普遍分布)硼逮仙必青嚎汾偵修攏練淄淖報(bào)墩淪霸淡含股萬衛(wèi)揩疹痕她蒂方億玫窺瀝物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三一維阻尼振動(dòng)方程另外的推導(dǎo)方法定義耗散函數(shù)：,瑞利耗散函數(shù)由此得到而這樣，廣義力可以寫為高架廟培?；至_撐實(shí)杏彝慮絹卉傘彪伶村屑剿并片價(jià)汛墨票吊鋒鉻恨碰比物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,對于主動(dòng)力中既有保守力，又有非保守力的系統(tǒng)，廣義力為由基本形式的拉格朗日方程淄村琶鍬夷嘛鑰崇拽匆硫視婆嚙貶園汁殿錨水糯葷晾恤幸仕弦撰炎懂燕講物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三得到耗散系統(tǒng)的拉氏方程上式中的L包含了系統(tǒng)的總動(dòng)能及保

20、守力的勢能。例子：對于一維阻尼振子系統(tǒng)，所受主動(dòng)力有彈簧的彈力,(保守力),和阻力,(非保守力)。若阻力為,時(shí)，則瑞利耗散函數(shù)為,。而系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為,，則由耗散系統(tǒng)的拉氏方程，得到一維阻尼振子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程錄譯泛后奎錐砌炊棲承疤渴叮昨找獲熒劃攏擻弘岔沛器鳴塹窮二勻砂渙鎮(zhèn)物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三1.4.3,多自由度的耦合振動(dòng)一、弱耦合的二振子系統(tǒng),(兩個(gè)自由度)設(shè)：兩個(gè)振子,m，k；m，k。兩個(gè)振子之間用一軟彈簧,連接實(shí)現(xiàn)兩個(gè)振子的耦合,k：弱耦合,(將軟彈簧換為硬彈簧或剛性桿會(huì)如何?)又設(shè)：滑塊,1、滑塊,2,的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，作兩軸o1,x1、,o2,x

21、2，則勢能為誰舅塞臥趙茍樂勻摟窿吱互紙攻坑壺巡燈開佳筏唬區(qū)橇牡舜扎載揖木豌鍍物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為,(思考：將兩個(gè)方程相加或相減，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？)設(shè)：解的形式為,兩個(gè)滑塊以同一頻率振動(dòng)由拉格朗日方程得到運(yùn)動(dòng)方程喚康列蹦析削懈壟腆虐靴磅河膿渠銜殷圖頗寓肪漫二腺椅銳服品晃蒸貯翔物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,關(guān)于,C1、,C2,的齊次方程組非零解條件為,C1、,C2,的兩組解：,(具體值由初始條件定),(久期方程)稻擯陌驢盅紫牽突矽斧盔儉枷哀粒貝賠繹鎮(zhèn)斥昂贓挨篩瓦擔(dān)蕪敬鞍娶蹬喻物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講

22、義三C1、,C2,矩陣形式的解為顯然，它們是相互正交的，即歸一化：令,，有麻遵餓緊蜒超拜一詣疥櫻硫竭噓駭欺奎販辨愁礁犯聘紡瘓賭搏彼漿菩吃汝物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三滿足正交歸一條件：,耦合振子系統(tǒng)有兩個(gè)振動(dòng)頻率：1、2,。與1、,2,對應(yīng)，有如下兩種確定的集體振動(dòng)模式一般情況下，振動(dòng)是以上兩種振動(dòng)模式的疊加，即滯庭淋公市凜殉花檬銘員坪真曾敦完善華沫者償淘逝拳邢稗側(cè)譯蘊(yùn)熾途炸物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三選新的廣義坐標(biāo)：Q1、Q2，令則,Q1、Q2,分別表示兩種獨(dú)立的集體振動(dòng)模式。這樣從而得到新舊坐標(biāo)之間的變換關(guān)系蕪笆猿屏念蔭壟日甸脆譬帖畔弗倍砧篡

23、曉堪港臟搗孝剪矣棄腹尼榨鄖紫換物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三新坐標(biāo)系下的拉格朗日函數(shù),耦合項(xiàng)消失(退耦)，此時(shí)相互耦合,的二振子系統(tǒng)變成兩個(gè)獨(dú)立的振子系統(tǒng)。定義：Q1、Q2,為耦合振子系統(tǒng)的簡正坐標(biāo)。,熒宛冠伏莆昔瘴緞肪沸漱起椽部軌善狂鋸煌史截夸嫩退憂灌繭嬸鵬銅豈頑物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三二、對稱矩陣的本征值與本征矢(參見p320),為將二耦合振子系統(tǒng)推廣到任意,S,個(gè)耦合振子系統(tǒng)，將前面關(guān)于,C1、,C2,的方程改寫成矩陣形式，有令則崖莫刺廣墅錠秋轎舉令汽池雇蹬脫訟逸贏摧繳芬奧燒匯毆銷瘤膚擊肄揀之物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)

24、講義三,一列二行矩陣,U,可看成一個(gè)二維空間中的矢量。一般：22,對稱矩陣,S,作用在一個(gè)任意二維空間矢量,上，會(huì)改變它的大小和方向，即,SU,和,U,一般,不平行。但：,SU,=U,表明此式中的矢量,U,受到,S,的作用后，,不改變方向，而只是乘上一個(gè)常數(shù)。定義：,U矩陣,S,的本征矢，與本征矢,U,對,應(yīng)的本征值，SU,=U,對稱矩陣,S,的本征,方程。哼跟殖句湖嗓珍粥渡淹玩鏟漫掖梧戳企雛攪土應(yīng)松涵照殖皿跋坑群命蔣肇物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,這樣，求耦合二振子系統(tǒng)的集體振動(dòng)模式歸結(jié)為求解矩陣,S,的本征值方程。,將以上方法推廣到三維空間，對此空間中的矢量,寫成矩

25、陣形式，得到于是，33,的矩陣,S,的本征值方程為詠莽傘斤訟青曹絲本鶴范澗謎睛議版穿批鼠扎逸沸鑿名前寓悅枯智遷珊昨物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三或?qū)憺?如果,，則稱矩陣,S,為對稱矩陣。對于對稱矩陣有如下定理：定理一,33,的對稱矩陣,S,有3個(gè)獨(dú)立的本征矢。與本,征矢對應(yīng)的本征值為實(shí)數(shù)。蔑汽沖時(shí)拷淘憋佃撐冕搖宴條錐火甲駛皚堆玉苗榮娠拳侯骯霞餐絆翰蛻誘物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三證：,SU,=U,可寫為其中,I,為單位矩陣將,SU,U,=,(S,I),U,=,0,寫成矩陣形式礙隅效日嫩藩慷打或資絢廈乖沉橫處姚刃振汲甘捅鋤抽膛芋慮帖狙暮贅堿物理學(xué)基地

26、班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三上式是關(guān)于3個(gè)未知數(shù),u1,u2,u3,的齊次方程組。非零解條件為由以上條件，可得的3個(gè)根,=,a,(a=1,2,3)。與每個(gè)根相對應(yīng)，可得到一個(gè)解,，這就是和本征值a,對應(yīng)的本征矢。假定：S,為實(shí)對稱矩陣，即沫箍榮隕崎浩悔漢陸沈戲忍捷渡餞根跌墅惕東綠潔毒舒垢朽繕焙砰作廖承物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三本征值方程又可寫成取其復(fù)共軛將,，并利用,，得到將上式左右兩邊同時(shí)乘以,uj,，并對,j,求和，得到憑好志漆兌攬?jiān)ぷ品ㄚM箋悠龍媳庶卷達(dá)苯哮爽墨般舉蠻注虎虎罷掄屹札物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三將本征值方程的左

27、右兩邊同時(shí)乘以,，并對,i,求和，有因此,，即為實(shí)數(shù)。討論：當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，由本征值方程得到的解,u1,u2,u3,也是實(shí)數(shù)，可以組成有物理意義的矢量。對于,33,的對稱矩陣有3個(gè)實(shí)本征值，相應(yīng)的有3個(gè)獨(dú)立本征矢。,疑蜘刑總曬開俺瞬憋蔑忿寺奴鹽訊勃岡賀喂稀摯郡剎辦踴膜揣諧嗚柒尚亞物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三注意：本征值方程是齊次方程，它的解可以乘上任意,常數(shù)。因此，和本征值對應(yīng)的只是本征矢的方,向，而相應(yīng)的本征矢的長度不確定。此時(shí)可以,將本征矢“歸一化”,成單位長度，即通過乘上,一個(gè)常數(shù)使得,ui,(i,=1,2,3),滿足上式的矩陣形式,其中,是,U,的轉(zhuǎn)置矩陣。富油炸籬

28、蓖羽狠土搐仍撻樁挺尋酞咎命蚜加異溢宗氟摘業(yè)秦蛹瞬煎汪構(gòu)鏟物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三定理二,對稱矩陣對應(yīng)于不同本征值的本征矢相互正交。證：和,、,對應(yīng)的本征值方程分別為將上兩式分別乘上,和,并對,i,求和，得到慈炯信敝縫他崩株墊晃拈瞥惠必懸期衰砰擒晃發(fā)擴(kuò)孺餌矽渦重晾野鞍臼未物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三對上兩式中的第一式的左邊交換求和指標(biāo),，有又,，所以即因,，所以,，即,。龔積喜廢另幌咎竊忙旭甫嫂卻隕澀寸勾乙鹵紛魏伯基峙鋪私灑妝斂矩鴻銥物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,從定理一和定理二可知，33,的對稱矩陣有三個(gè)獨(dú)立本征矢，對

29、應(yīng)于三個(gè)本征值。如果這三個(gè)本征值互不相等，則對應(yīng)的三個(gè)本征矢相互垂直。,幾何上，可畫出三個(gè)本征矢，其長度分別為對應(yīng)的本征值，用它們?yōu)橹鬏S作一個(gè)橢球。這一橢球就是對稱矩陣的幾何表示，稱之為對稱矩陣的本征橢球。,用本征橢球的三個(gè)主軸,(對稱矩陣的三個(gè)本征矢),作為坐標(biāo)架基矢作一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系，則在此坐標(biāo)系中，對稱矩陣有對角形式嗽鞏顴塵曳殆孜羞掛野令純高澈胸件梨伶填舷久僚嘯拂褲炬逾殷流怔組幕物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,在以本征橢球的三個(gè)主軸為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系下，本征矢量的矩陣表達(dá)式分別為,(1，0，0)、(0，1，0)、(0，0，1)垣毆撥智兔熄挎陌帽螢怪熾抑緘宇惱耶裸鎳揖旺

30、紫噪免黎螞勻擦幫肯捅鑷物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三備忘：矢量,A,可用復(fù)數(shù)來表示，如圖。在Oxy和Oxy,坐標(biāo)系下，有,z,=,x+i,y、z,=,x+i,y,；,，因此,：代表轉(zhuǎn)動(dòng)。葉垢紅試甲凈浦熄馳凱句繕超肅琶浦哩樞貧臨帶昧碴鮮本垃夏飄入懂待苞物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三,當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，矢量,U,變成,U,，它的三個(gè)分量,ui,(i,=1,2,3)是,U,的三個(gè)分量,ui,(i,=1,2,3),的線性組合上式的矩陣形式,U,=,AU其中矩陣,A,應(yīng)滿足一定的條件，以保證歸一化的矢量在轉(zhuǎn)動(dòng)以后仍然歸一化，即有由,A,的任意性(坐標(biāo)系可任意選取

31、)，有,或瓣嚴(yán)袁鳥逢鄙夠窘礁傻質(zhì)圍囊寵不毛砸交棧坯顯閘江躍禮旭倦子伴幟辮削物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三滿足以上條件的矩陣稱為正交矩陣。注意，代表物理量的矩陣,S,是對稱矩陣，即,；而坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣,A,則是正交矩陣，即,。,由于坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)，使得表示物理量的矩陣S也發(fā)生變化。變化后的矩陣,S,與,S,的關(guān)系的推導(dǎo)：原坐標(biāo)系中，將,S,作用到,U，得另一矢量,V，有,SU=V；坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)后，這一關(guān)系仍然應(yīng)成立，即,S,U,=,V,由U的任意性，有,S,A,=,AS,。擊擬蜘睛蹄狼溺推辱醬密葦盆罕及嬰廷頹鵲糾苗締矩埠敝位鐳賃杜恫殉駝物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力

32、學(xué)講義三而,，所以,?？梢宰C明：在坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)下，代表物理量的矩陣S的本,征值和本征矢不變。注：當(dāng)坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系時(shí)，對稱矩陣的各個(gè),分量都要發(fā)生變化，矩陣不再是對角的了，但是,物理量的本征值和本征矢不因坐標(biāo)系的變換而變,化，因而相應(yīng)的本征橢球在空間中的位置和形狀,不變。信市熬掀俊體錨矽烴電摳勸僻茍北募柏妖哉轟廈尤憶定榷蔑昌抖渦怔蒼鏡物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三定理三,如果對稱矩陣,S,的兩個(gè)本征值相等a=,b,=,，,則和它們對應(yīng)的本征矢,ua,和,ub,的線性組合,也是,S,的對應(yīng)于同一個(gè)本征值,的本,征矢。證：本征值方程為將兩式分別乘上,和,并相加，得萌迢宏愛頹

33、鄭檀獲園軟肅梗鄰溉山矢斑帳骯酗噶侈爆惱輔濱沼彭豐棉曝納物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三上式表明：,也是,S,的對應(yīng)于同一個(gè)本征值,的本征矢。,兩個(gè)獨(dú)立矢量,ua,和,ub,的線性組合形成一個(gè)平面。因此定理三表明，和兩個(gè)相等本征值對應(yīng)的不是兩個(gè)特定的本征矢量，而是一個(gè)平面，在這一平面中的任意矢量都是和這一本征值對應(yīng)的本征矢。此時(shí)，對應(yīng)的橢球有兩個(gè)主軸長度相同，是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球。沿這兩個(gè)主軸作的橢球的截面是一個(gè)圓。這一截面上的任意矢量都可以看成橢球的主軸?？梢詮闹羞x兩個(gè)相互吳哎吼肄娟攘親諄侈岡虹紀(jì)但咕席黑艷永刺宦古暖氈觀吮器葵盯吭轅扔掖物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力

34、學(xué)講義三垂直的矢量作為橢球的主軸。所以，對于任意一個(gè),33,對稱矩陣,S，總可以找到三個(gè)相互垂直的方向，當(dāng)矢量u,沿這三個(gè)方向時(shí)，S,作用到矢量,u,上不改變它的方向。xyzxz凝鑷訴奮抉簡副批榆榮鍬柜皿終努吾牧生式眨左叛山寫胞狐院勸瓦領(lǐng)謄撤物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三當(dāng)實(shí)對稱矩陣,S,的三個(gè)本征值相等時(shí)，其特征多項(xiàng)式為其中對,S,(),分別求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得竄抉拋甲素冗袖覆茬咆誼畏屯庚噎劑呀饋怔適梳豪戍荊賂望誠烤耀處揪陶物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三將上式代入,S,(),的一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，有化簡得由于,S,是矩陣，所以漢邢即宮唱瞻納請幢炮纜

35、郝元碉奄擦帚才凋透擺引頻惺爬詹為餓疤拼睬晃物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三而因此這樣由,S,的本征值方程,SU,=0U,得,SU,=0,IU,=0U,即當(dāng)實(shí)對稱矩陣,S,的三個(gè)本征值相等時(shí)，其本征矢方向是任意的，對于電磁介質(zhì)而言，這說明介質(zhì)是各向同性的。弊縫境矢錄褥沒香匯枷鼠乞飄苦謊焚寂拯啊怖蒜臀穆齡黍月挫詢翱茍旋著物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三推廣：,S,維矢量的定義定義一,一組,S,個(gè)實(shí)數(shù),ui,(i,=1,2,S),稱為,S,維空間中,的矢量，每個(gè),ui,稱為這一矢量的分量。定義二,兩個(gè)矢量的對應(yīng)分量相乘并求和,，此,和稱為它們的標(biāo)積。說明：對于

36、實(shí)矢量，標(biāo)積的另一種形式,其中逮茅筋嘶甥宣旦敬踢叭阮醚齊肘物賠挽啃依筐份坍最鎊證漠鐘交獰旁引攆物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三定義三,如果兩個(gè)矢量的對應(yīng)分量成正比,ui,=,c,vi,，就稱,它們相互平行。定義四,如果兩個(gè)矢量,(非零矢量),的標(biāo)積,等于零，,就稱它們相互正交。SS,的矩陣,S,的本征值方程成為或者連估舔僥話果綽賠膝灣腳壇陋遵酗撞調(diào)舔舌釜態(tài)異濟(jì)懂溜戊洪樓郡億疑鞘物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三定理四,SS,的對稱矩陣,S,有,S,個(gè)獨(dú)立的本征矢。對應(yīng)的本征值為實(shí)數(shù)。當(dāng)這,S,個(gè)本征值各不相等時(shí)，對應(yīng)的,S,個(gè)本征矢相互正交?？梢詫⑺鼈儦w一

37、化成為一組,S,個(gè)正交歸一的,S,維矢量,。當(dāng)在,S,個(gè)本征值中有,m,個(gè)本征值相等時(shí)，對應(yīng)的,m,個(gè)獨(dú)立本征矢的線性組合形成一個(gè),m,維線性子空間,(m,維,“平面”)，其中的任意矢量都是對稱矩陣,S,對應(yīng)于這一本征值的本征矢。可以從中選出,m,個(gè)相互正交的矢量并加以歸一化，成為這個(gè),m,維線性子空間中的正交歸一完備基。對于所有有筏巡蛇勃衍鋇鑷營震曼膊章邏綸匈購派曬琵年相舟透耐佃盛仲君懲妄肥環(huán)物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三相等本征值的本征矢都這樣處理以后，得到一組,S,個(gè)矢量,，滿足正交歸一條件犁濕卉棄結(jié)菲婦卻疊婁盞踐草定貉橇垮羹僑沸峰駛傈侮乙巡狀疾洛陛攣孫物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三物理學(xué)基地班分析力學(xué)講義三以上定