空間角(異面直線所成角,線面角,二面角)

1、C.60D.45小為（)A.90B.75C.60D.453.如圖，在四棱錐PABCD中，ZABC=ZBAD=90,BC=2AD,PAB和APAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大第四講空間角（異面直線所成角線面角二面角）A組題一、選擇題1.下面正確的序號(hào)是兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.兩異面直線夾角的范圍是（0,900，直線與平面所成角的范圍是0,900，二面角的范圍是0，1800（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】對(duì)于，因?yàn)閮僧惷嬷本€夾角的范圍是（0,90

2、0，而兩直線的方向向量所成的角可能為鈍角.所以錯(cuò).對(duì)于，直線的方向向量和平面的法向量所成的角是直線與平面所成的角或其補(bǔ)角所以錯(cuò).對(duì)于，兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所成的角或其補(bǔ)角所以錯(cuò).故選D.2.如圖，在正方體ABCDABCD，中，AB的中點(diǎn)為M，DD，的中點(diǎn)為N,則異面直線BM與CN所成的角是（）.A.90。B.75。Dr【答案】A【解析】取AA的中點(diǎn)Q連接QN，BQ，且BQ與BM相交于點(diǎn)H，則QN綉AD綉B(tài)C，從而有四邊形NQBC為平行四邊形，所以NCQB,則有ZBHB為異面直線BM與CN所成的角.又TBB=BA,ZBBM=ZBAQ=90。，BM=AQ,.BB

3、MABAQ,AZMB，B=ZQBM.而ZBMB+ZMB，B=90。，從而ZBMB+ZQBM=90，AZMHB=90.故選A.【答案】A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作直線BE#CD,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接PE.ZPBE（或其補(bǔ)角）是異面直線CD與PB所成角.PAB和APAD都是等邊三角形，ZPAD=60。，DA=PA=AB=PB=AE,AZPAE=120.設(shè)PA=AB=PB=AE=a，貝VPE=、:3a.又ZABC=ZBAD=90,.ZBAE=90,.BE=p2a,.在APBE中，PB2+BE2=PE2,AZPBE=90.即異面直線CD與PB所成角為90故選A.4.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D

4、1中，底面ABCD為正方形，AA=2AB,E為AA的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為（）A.巫B.1C.邁D.3105105【答案】C【解析】如圖，連接BA1，因?yàn)锽A/CD,所以ZEBA是異面直線BE與CD所成角，設(shè)AB=1，則EB二扛A1E-1，A1B仝，作EF丄BA1,EF=AE-AB751=,AB51FB二竽,cosZEBA1=評(píng)選C.5.如圖，三棱錐PABC中，PC丄平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD丄平面PAB,則異面直線AP與BC所成角的大??；A.90B.60C.75D.45F【答案】B【解法】TPC丄平面ABC，ABu平面ABC，.PC丄

5、AB.VCD丄平面PAB，ABu平面PAB,.CD丄AB.又PCCD=C，.AB丄平面PCB過(guò)點(diǎn)A作AF/BC，且AF=BC，連結(jié)PF，CF.則ZPAF為異面直線PA與BC所成的角.由（I）可得AB丄BC，.CF丄AF,得PF丄AF.則AF=CF=2,pf=*PC2+CF2=,在RtAPFA中，tanZPAF=竺=空=v3,AFJ2異面直線PA與BC所成的角為60.選B.6.如圖,正方形ABCD所在平面與正方形，ABEF所在平面成60。角，求異面直線AD與BF所成角的余弦值.A.4C.fD.32答案】A【解析】VCB#AD,.ZCBF為異面直線AD與BF所成的角.連接CF、CE設(shè)正方形ABCD

6、的邊長(zhǎng)為a，則BF=/2aCB丄AB,EB丄AB/.ZCEB為平面ABCD與平面ABEF所成的角,：ZCBE=Z60。:.CE=aFC=v/2a,：cosZCBF=計(jì)，選A.7.如圖，已知棱柱ABCD-ABCD的底面是菱形，且AA丄面ABCD,ZDAB二60。,11111AD=AA,F為棱AA的中點(diǎn)，M為線段BD的中點(diǎn)，則面BFD與面ABCD所成二1111面角的大小A30B45C60D90C1C【答案】C【解析】底面是菱形，二AC丄BD又BB丄面ABCD,ACu面ABCDAC丄BB.AC丄面BDDB又MF/ACMF丄面BDDB11111延長(zhǎng)DF、DE交于點(diǎn)E，1F是AA的中點(diǎn)且ABCD是菱形D

7、A=AE=AB1又ZDAB二60o.ZDBE二90。D1B丄BE.zDiBD為所求角在菱形ABCD中，丿DAB二60o.BC=/BDtan/DBD=DD=、3iBD:./DBD=60。，選C.8.在一個(gè)45的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成45，則此直線與二面角的另一個(gè)面所成的角為()A30B45C60D90【答案】A【解析】如圖，二面角a1B為45。，且與棱l成45。角，過(guò)A作AO丄a于O,作AH丄l于H.連接OH、OB，則ZAHO錮二面角aT的平面角，ZABO為AB與平面a所成角不妨設(shè)AH=、込，在RtAOH中，易得AO=1；在RtABH中，易得AB=2.故在RtABO中，sinZ

8、ABO=A0=丄，.ZABO=30。，為所求線面角.選A.AB2二、填空題9.如圖所示，在正四面體SABC中，D為SC的中點(diǎn)，則BD與SA所成角的余弦值是-1a【答案】竺6【解析】取AC中點(diǎn)E,連接DE,BE,則BD與DE所成的角即為BD與SA所成的角.設(shè)SA=a，則BD=BE=a,DE=-.22由余弦定理知cosZBDE=亙.610.如圖，在正四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為3，與底面所成角11111的大小的正切為3，則該正四棱柱的高等于.【答案】2邁【解析】由題意得tanZDBD=DD=-nDD=-nDD=2邁.iBD33近3111.A、B是直二面角a10的棱l上的兩點(diǎn)，分

9、別在a，0內(nèi)作垂直于棱l的線段AC，BD,已知AB=AC=BD=1，那么CD的長(zhǎng)為【答案】打【解析】如圖，由于此題的二面角是直角，且線段AC,BD分別在a,0內(nèi)垂直于棱1,AB=AC=BD=1,作出以線段AB,BD,AC為棱的正方體，CD即為正方體的對(duì)角線，由正方體的性質(zhì)知，CD=Y12+12+12=h3.故填12.如圖，三棱錐PABC中，PC丄平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD丄平面PAB.（1）求證：AB丄平面PCB；兀（2求異面直線AP與BC所成角的大??；（一）3p.【解析】（1）VPC丄平面ABC,ABu平面ABC,:PC丄AB.TCD丄平面PAB,ABu平

10、面PAB,.CD丄AB.又PCCD=C,:AB丄平面PCB.(2)過(guò)點(diǎn)A作AF/BC，且AF=BC，連結(jié)PF,CF.則ZPAF為異面直線PA與BC所成的角.在RtAPFA中,tanZPAF=AF、.2由(I)可得AB丄BC,：CF丄AF.由三垂線定理，得PF丄AF.貝9AF=CF=影，PF=xPC2+CF2=,13.如圖所示，在多面體AiBiDiDCBA中，四邊形AA1BiBADDA,ABCD11均為正方形，兀:異面直線PA與BC所成的角為一.3，故二點(diǎn)E為1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)*,D,E的平面交Ci于點(diǎn)F.求證：EF/BC求二面角EArD-B1余弦值.A,小BiB*E【解析】(1)證明：由題可得AD

11、/bc，又因?yàn)锳1D匸平面B1CD1,bcu平面BD,所以AD平面Bfq.又平面ADEF平面B1CD1=EF，所以AD/EF.又因?yàn)锳DIIBC，所以EFIIBC111(2)將原圖形補(bǔ)全成正方體，如圖所示，則平面ACD即為平面A1EFD，所以求二面角E-A1D-耳的余弦值可以轉(zhuǎn)化為求二面角C-A1D-普的余弦值。取B1C的中點(diǎn)G,AD的中點(diǎn)H，連接C1H,GH,qG,則GH丄A1D。由ABCD-A1BCD是正方體得Aq=CD，所以CH丄A1D，所以/CHG是二面角C1-A1D普的平面角，即為二面角EA1D普的平面角。設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,所以GH=2,CH=2邁=當(dāng)6,CG二邁,所以121GH2+

12、CG2二CH2所以ZCGH=90，所以cosZCHG=-=TOC o 1-5 h z11w1。w1CHJ631V46面角的余弦值為.3114.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90o,AB=AC=2,AA=4,A在底面11111ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn).11B1證明：AD丄平面ABC；11求二面角A-BD-B的平面角的余弦值.由題意得AE丄平面ABC，所以AE丄AE.11因?yàn)锳B=AC，所以AE丄BC.故AE丄平面ABC.1由D,E分別為BC，BC的中點(diǎn)，得11DE/BB且DE=BB，11故AD/AE.1又因?yàn)锳E丄平面ABC，1從而DE/AA且DE=AA，所以AAED

13、為平行四邊形.111所以AD丄平面ABC.11(2)(法一)作AF丄BD且AFBD=F，連接BF.11由AE=EB=、遼，ZAEA=ZAEB=30，得AB=AA=4.1111由AD=BD，AB=BB，得ADB與厶BDB全等.111111由AF丄BD，得BF丄BD，因此ZAFB為二面角A-BD-B的平面角.111141311由AD二邁，AB=4,11ZDAB=90。，得BD=3邁，AF=BF=-11亠15.如圖，在四棱錐PABCD中，AD/BC,ZADC=ZPAB=90。,BC=CD=-AD,E2為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90。.在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM/平面PBE

14、,并說(shuō)明理由；若二面角PCDA的大小為45。，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【解析】（1）延長(zhǎng)AB，交直線CD于點(diǎn)M，1JE為AD中點(diǎn)，AE=ED=-AD，2TBC=CD=AD,.ED二BC，2TAD/BC即ED/BC,.四邊形BCDE為平行四邊形，BE/CD，TABCD=M，MeCD，CM/BE，TBEu面PBE，:CM/面PBE，TMeAB，ABu面PAB，:Me面PAB故在面PAB上可找到一點(diǎn)M使得CM/面PBE.(2)過(guò)A作AF丄EC交EC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，過(guò)A作AG丄PF交PF于點(diǎn)G，/ZPAB=90，PA與CD所成角為90，PA丄AB，PA丄CD，TABICD=M，PA丄A

15、BCD，TECu面ABCD，PA丄EC，TEC丄AF且AFAP=A，CE丄面PAF，TAGu面PAF，AG丄CE，TAG丄PF且AGp|AF=A，AG丄面PFC，ZAPF為所求PA與面PCE所成的角，TPA丄面ABCD，ZADC=90即AD丄DC.ZPDA為二面角PCDA所成的平面角，由題意可得ZPDA=45，而ZPAD=90,PA=AD,TBC=CD，四邊形BCDE是平行四邊形，ZADM=90，四邊形BCDE是正方形，.ZBEC=45，二ZAEF=ZBEC=45,ZAFE=9,AF半AEtan3F=蘭逅，APAPB組一、選擇題已知向量m,n分別是直線l和平面a的方向向量和法向量，若cosm,

16、n=丄，則2l與a所成的角為()A.30B.60C.120D.150【答案】A【解析】設(shè)l與a所成角為0,cosm,n=-，.:sin0=1cosm,nl=-,V0/366.如圖所示，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA丄平面ABC,PA=2AB，則下列結(jié)論正確的是()A.PB丄AD平面PAB丄平面PBC直線BC平面PAE直線PD與平面ABC所成的角為45。6.D【解析】選VPA丄平面ABC,AZADP是直線PD與平面ABC所成的角.六邊形ABCDEF是正六邊形，：AD=2AB，即tanZADP=型=2AB=1,AD2AB直線PD與平面ABC所成的角為45,選D.7平面過(guò)正方體AB

17、CD-喈吧的頂點(diǎn)A/平面CBR,平面ABCD=m,an平面ABBA=n-則m,n所成角的正弦值為-(A)(B)(d)3答案】A解析】如圖所示：CC1/a平面CBD,若設(shè)平面CBD平面ABCD=m，則m/miii|ii又；平面ABCD平面ABCD，結(jié)合平面BDC平面ABCD=BD1111ii1111iiBD/m，故BD/m，同理可得：CDIIn111111故m、n的所成角的大小與BD、CD所成角的大小相等，即ZCDB的大小.11111而BC=BD=CD（均為面對(duì)交線），iiii_因此ZCDB，即sinZCDB=.故選A.8.已知AABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將AACD翻折成AACD，所成二

18、面角ACD-B的平面角為a，貝ijA.ZADBaC.ZAACBaii3ii2【答案】B【解析】（法1）當(dāng)CA豐CB時(shí)，當(dāng)a=0時(shí)，ZAADB0，ZACB0，選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤；當(dāng)a=180時(shí)，ZAADB=180，ZAACBZACB,，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；當(dāng)CA豐CB且a=0時(shí)，ZAADB0，ZAACB0，選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤，故選B（法3）折紙觀察可得結(jié)論，思考方法與解析1,2類似.（法4）由于AABC形狀不固定，ZAACB與a大小關(guān)系不確定.下面比較ZAADB與a的大小關(guān)系當(dāng)CA=CB時(shí)，a=ZAADB；當(dāng)CA豐CB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AE丄CD于E，過(guò)點(diǎn)B作BF丄CD于F,過(guò)點(diǎn)E作EG/FB，連AB,AG,BG，

19、則a=ZAAEG,BG/CD,則BG丄EG,BG丄AE，則BG丄平面AEG，故BG丄AG.設(shè)AD=BD=1，ZAADC=ZADC=0，則EG=BF=AE=sin0，BG=EF=2DE=2cos0，設(shè)AB=a，則cosZAADB=1手AG2=a2一4cos20，cosa=cosZAAEG=2sin20(a2一4cos20)2sin20a24cos202sin20cos20sin20，故a1T=cosZAADBZADBa，故選B.1C1如圖在直三棱柱ABC-A!BiCi中ZACB=90,*=2,AC=BC=1,則異面直線A】B與AC所成角的余弦值是I答案】學(xué)6二、填（空第題8題解析4圖）9.如圖，

20、三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD二3,AD二BC二2,AD,BC的中點(diǎn)，則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是.fi7【答案】-8【解析】連ND,取ND中點(diǎn)P,連MP,PC，則MP/AN，則MP與CM所成的角就是異面直線AN,CM所成的角.由已知，AN=CM=ND=2x2，MP=P2，CP=証，故cosZCMP=7，即異面直線AN,CM所成的角的余弦值是888則平面PAB和平面【解析】JACAC,：異面直線AB與AC所成角為ZBAC,11111易求AB=/6，.:cosZBACF1=.111AB6故答案為：11.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作PA丄平面ABCD,設(shè)PA=AB=a,PCD所

21、成二面角的大小為【解析】考慮與平面PAB和平面PCD同時(shí)相交的第三平面ABCD,其交線為AB和CD,而ABCD,則平面PAB和平面PCD所成二面角的棱必與AB，CD平行.在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PQAB,則PQ為平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，然后可證得，PAIPQ,PD丄PQ,ZAPD為所求角，在RtAPD中可求得，ZAPD=45.三、解答題12.如圖已知棱柱ABCD-勺BU的底面是菱形且勒丄面ABCD上DAB二60。,AD二AA1,F為棱AA1的中點(diǎn)，M為線段BD/勺中點(diǎn)(1)求證：MF丄面BDDB；11(2)求面BF與面ABCD所成二面角的大小.(1)證明：底面是菱形，-AC丄BD

22、又BB丄面ABCD,ACu面ABCD:.AC丄BBAC丄面BDDB又MF/AcMF丄面BDdB111(2)延長(zhǎng)DF、DE交于點(diǎn)E1F是AA的中點(diǎn)且ABCD是菱形DA=AE=AB又ZDAB二60oZDBE二90。由三垂線定理可知DB丄BE.ZDBD為所求角在菱形ABCD中，ZDAB二60。BC=43BDtan/DBD=DD=1BD:./DBD二60o113.如圖，在直三棱柱ABCABC中，已知AC丄BC,BC=CC,設(shè)AB的中點(diǎn)為d11111BC丄AB.11【解析】(1)由題意知，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，又D為AB】的中點(diǎn)，因此DEIIAC,又因?yàn)镈E立平面AACC,ACu平面AACC，所以DEII平面AACC111111(2)因?yàn)橹比庵鵄BC-是直三棱柱，所以CC丄平面ABC.因?yàn)锳Cu平面ABC，所以AC丄CC又因?yàn)锳C丄BCCCu平面BCCB，BCu平1111面BCCB，CCcBC=C，所以AC丄平面BCCB.11111又因?yàn)锽Cu平面BCCB，從而BC丄AC1111因?yàn)锽C二Cq,所以矩形BCC1B是正方形，因此Bq丄Bf.因?yàn)锳C,BCu平面BAC,ACcBC=C，所以BC丄平面ABC11111ABu平面BAC，所以BC丄AB111114.如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE二EB,F為CE上的點(diǎn)，且BF丄平