量子力學I期末考題(A)參考答案

1、 /6山東師范大學2014年期末考試試題（A）答案及評分標準（時間：120分鐘共100分）課程編號：080910203課程名稱：量子力學適用年級：2011學制:四年適用專業(yè)：物理學、光電試題類別：_A一、簡答題：（本題共5小題，每小題5分，共25分）1、在體系所處的某一個狀態(tài)中測量不同的力學量，其測值概率分布是否相同？試舉例說明。TOC o 1-5 h z答：在體系所處的狀態(tài)中測量不同的力學量其測值概率分布是不一樣的。（2分）比如某狀態(tài)中測量出的坐標概率分布與動量概率分布可用不同函數(shù)來表示。（3分）（給出其它合適的例子同樣給分）2、試討論：若兩算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時有確定值。答：對

2、易算符可以有共同的本征態(tài)，在共同本征態(tài)下它們同時取確定值。（3分）但若所給定的態(tài)不是它們的共同本征態(tài)，在此態(tài)下兩算符是不能同時取確定值的。比如a（1）P（2）是J?z的本征態(tài)，盡管多，？=0，但它不是S的本征態(tài)。（2分）（不給例子，討論合適也給分）3、試述全同粒子的特點以及對波函數(shù)的要求。答：全同粒子的特點：任意交換兩個粒子的位置不影響體系的狀態(tài)。（3分）這個特點要求描述全同粒子的波函數(shù)對任意兩個粒子的交換要么是對稱的，要么是反對稱的。（2分）4、使用狄拉克符號導出能量本征值方程在動量表象中的表示。答：在坐標表象下的能量本征值方程為（1分）方程兩邊取動量表象，有:Pl一：p|V|=E：p|-（

3、1分）TOC o 1-5 h z令“P）=：Pl*,并加入完備性關系.dp|p-p|，并利用|p動量算符屬于本征值p的本征函數(shù)，有（1分）2右（p）dp：p|V|p:：PT-二E（p）2即斗（P）dpVpp:（pE（p）（2分）2（從松處理，如果寫的是含時薛定諤方程的動量表象，只扣1分）5、以和1分別表示自旋向上和自旋向下的歸一化波函數(shù)，寫出兩電子體系的自旋單態(tài)和自旋三重態(tài)波函數(shù)（只寫自旋部分波函數(shù)）。|11(1):(2)（3分）（2分）答：自旋三重態(tài)三個：|1_1二1)1(2)1|10：.：:(1)2)：V21自旋單重態(tài)一個：|002:(2)一:(2):(1)2(后面兩個寫得正確，給3分)、

4、證明題(本題共3小題，每小題10分，共30分)1、證明在定態(tài)下，任意不顯含時間t力學量A的取值概率分布不隨時間改變。i-Ent證明：設在定態(tài)Ise下，不顯含時間的力學量A屬于本征值ak的本征函數(shù)為|ak-，則有(2分)冷EntpneCk(t)|ak(2分)kJ.Ent兩邊同|ai作內(nèi)積，有：:：aipn-eCk(t):ai|(2分)k即：:：ai卜n-et八Ck(t)k二C|(t)(2分)k所以取值ak的概率分布是|ck(t)|2akLn，顯然不隨時間改變。(2分)(用對時間求導的方法做，推證正確，不扣分)2、已知在坐標表象下動量算符屬于本征值p的本征函數(shù)為，試證明x表象中?算符的矩陣元是(p

5、)x，x“二-i(x-x)。ex證明：根據(jù)題意，有（p）x，x“=：x|p|xr：iidpdp：x|p：p|p|p：p|x（2分）（2分）-px-pxiidpdpep、（pp）e護（Xj）dpep（2分）i-.PDifdpe(2分)1利用函數(shù)的定義、：（x_x廠2神J+dp，有3二(p)xx-i(xx)。cX(2分)3、證明在氫原子的任何定態(tài)-nlm（r,二）中，動能的平均值等于該定態(tài)能量的負值，即:?/2-nlm一-En。證明：根據(jù)位力定理，對于庫侖勢場，V=2T（2分）對于氫原子來說，由哈密頓的表達式T?+v=H?兩邊取平均值，有T+V=En（4分）前式代入，得-T=En（2分）即02/2

6、PfEn（2分）三、計算題（本題共3小題，每小題15分，共45分）1、已知在Sz表象中，JiSx=-zor，求：210J（1）Sx的本征值和所屬本征函數(shù)；（2）Sz表象到Sx表象的變換矩陣（即將Sx對角化的變換矩陣）解：（1）令本征值為，相應的本征矢為則有A(0，令二0解久期方程1=0將代入本征值方程可得利用歸一化條件|a|2|b|1可得2I1丿（2分）（2分）（2分）TsT111hz01、111h廣10、72d-1210_20-h（3分）1同理對于扎=-1，歸一化本征函數(shù)I丿（2分）h以上倆本征矢量分別隸屬于Sx的本征值士一。2（1分）1卩1、按照本征值次序排列本征矢量，得變換矩陣T-42.

7、訂-1（3分）利用此變換矩陣可以將Sx變換到自身表象從而實現(xiàn)對角化：（如果只對二X求本征值和本征函數(shù)，不扣分）2、設有一個定域電子，受到沿y方向均勻磁場B的作用，Hamiltonian量（不考慮軌道運動）eBeB反表為n=Sy=c?y。設t=0時電子自旋向上”（Sz=），求t=0時5?的平均mc2mc2值。解：在Sz表象下寫出哈密頓算符的矩陣形式為H曰0i2mcQ0（1分）其本征值和相應的本征函數(shù)為（令）2mcEieB2mc及E2eB2mc（3分）則任意t時刻的態(tài)矢可以寫為心*討t：顯然在t=0時，利用初始條件有-（0）2c/；亠亠c2-（2分）所以可得出于是C2=池=（2分）1ei渤11+e

8、F11丫e血丿V21121、cos豹t21日兒丿.-sint（3分）所以：:：Sx（t）|Sx0-sinthfo=(cosct-sincct2Jcosot=-sin2t2i.t2Lt22(曲|-|C2e|)舟22衣:sz(cost-sin-t)cos2t22:Sy二(4分)2二x3、一維無限深勢阱（0：x：a）中的粒子受到微擾H?二Acosa（0：x：a）的作用，其中A為常數(shù)。求第一激發(fā)態(tài)能量的二級近似與波函數(shù)的一級近似。解：利用非簡并微擾中激發(fā)態(tài)能量的二級近似與波函數(shù)的一級近似公式E2(0)-匕2H22-二|Hm2|2m-2Hm2(0)2(0)_Em(2分)式中Em0）22-2m:2a2_：(0)m但Hm2打0）H?_：所以E2、E(0)E(0)m=2E2-Em2sinamxmx(0)mx：0,xasincosa0aa2x.2x,sindxaa_aAmxsin4xdx=Am)Jdx2sin(2分)Am2(3分)4兀2蠡22七2-242A、|、m4|2A22二22A2/對于波函數(shù)，當0 xa時,4m.2E20)-Em0)+4e20)-e40)(3分)220)Hm2E(0)E(0)m-2E2-Em-.y(0)m2