例析抽象函數(shù)問題的求解策略

1、PAGE PAGE 4例析抽象象函數(shù)問問題的求求解策略略上海市吳吳淞中學(xué)學(xué) 賀明明榮 （20009440）近年來，經(jīng)常在在高考、高考模模擬以及及競賽中中出現(xiàn)與與抽象函函數(shù)有關(guān)關(guān)的試題題。一般般地，抽抽象函數(shù)數(shù)是指：沒有給給出具體體的函數(shù)數(shù)解析式式，只是是給出函函數(shù)所具具有的某某些性質(zhì)質(zhì)的函數(shù)數(shù)。這類類試題往往往概念念抽象、隱蔽性性強、靈靈活性大大、綜合合程度高高，因此此，學(xué)生生常常感感到難以以掌握，教師也也常為如如何適時時處理它它等問題題而苦惱惱。現(xiàn)本本文主要要介紹求求解抽象象函數(shù)問問題的常常見方法法，供參參考。1、合理理遞推例1：函函數(shù)f具有下下列性質(zhì)質(zhì)：f(x)+ f(x-1) =x22如

2、果f(19)=944，那么么f(994)除除以10000的的余數(shù)是是多少？ 解： 由f(x)+ f(x-1) =x22得f(xx) =x2 - f(x-11) 又又f(119)=94 ， ff(200)=2202 ff(199) ， ff(211)=2212 f(220)= 212 - 2202 + f(119)， 依次類推推，可得得f(994)=94229332+92229112+2222212+2002f(19)= 994+993+992+991+ +22+21+2022-f(119)= eq f(944+211,2)74+4000944=45561，所以，余數(shù)為為5611評注： 當(dāng)當(dāng)f(

3、xx)是定定義在自自然數(shù)集集N上的的函數(shù)時時，可根根據(jù)題中中所給函函數(shù)方程程，通過過取特殊殊值得到到關(guān)于ff(n)的遞推推關(guān)系，然后根根據(jù)遞推推關(guān)系進(jìn)進(jìn)一步求求解 2、適當(dāng)當(dāng)賦值例2、設(shè)設(shè)函數(shù)yy=f(x)（xR 且x 0），對任意意實數(shù)xx1 、x2 滿足足f(xx1)+ f(xx2)= f(xx1x2) (1) 求證：f(11)=f(-1)=0；(2) 求證：y=ff(x)為偶函函數(shù)；(3) 已知y=f(xx)在（0，+）上為為增函數(shù)數(shù)，解不不等式ff(x)+f( x -eq f(1,2) )0證明：(1) 令x1 =x2 =11 ， 得f(11)+ff(1)=f(11) f(1)=0 ；

4、 令x1 =x2 = -1 ，得ff(-11)+ff(-11)=ff(-11)(-1) = ff(1)=0 ， f(-1)=0 (2) 令x1 =x2 = x ，得2ff(x)=f(x2)； 令x1 =x2 = -x ， 得2f(-x)=f(xx2)； f(-x)=f(xx) ， 即y=ff(x)為偶函函數(shù)(3) f(x)+f( x -eq f(1,2) )0 , 即fx (x -eq f(1,2)f(1) , 或 fx (x -eq f(1,2)f(-1) , 由(2)和y=f(xx)在（0，+）上為為增函數(shù)數(shù) , 可得00 x(x -eq f(1,2)1 或 -11x(x -eq f(1,

5、2)0 解得 eq f (1- eq r(17) ,4 ) x eq f (1+ eq r(17) ,4 ) 且 x0 , eq f(1,2) 評注： 對對于抽象象函數(shù)，根據(jù)函函數(shù)的概概念和性性質(zhì)，通通過觀察察與分析析，將一一般量賦賦予特殊殊值，以以簡化函函數(shù)，從從而達(dá)到到轉(zhuǎn)化為為要解決決的問題題的目的的 3、巧妙妙換元例3、 設(shè)ff(x)的定義義域為xx00,且x1，滿足足f(xx)+ff(eq f(x-1,x)=11+x ， (11) 求ff(x) 解： 令x =eq f(y-1,y) (y0，y1)，并將將y 換成成x， 得得f(eq f(x-1,x)+ff(eq f(1,1-xx)=1

6、1+eq f(x-1,x) ， (22) 再令(1)中中x =eq f(1,1-y) (y0，y1)，將y換成x，得 f(eq f(1,1-xx)+ff(x)=11+eq f(1,1-xx) ， (3) 由(1)+(33)-(2) ， 得2ff(x)=(11+x)+(11+eq f(1,1-xx)-(1+eq f(xx-1,x)， 即即f(xx)=eq f(11+x22-x3,2x(1-xx)， 易易驗證 f(xx)= eq f(1+xx2-x3,2x(1-xx) 滿足方方程（11） 評注： 根據(jù)據(jù)題目結(jié)結(jié)構(gòu)特點點及欲證證的結(jié)論論，將題題中的某某些量替替換成所所需要的的量（注注意：應(yīng)應(yīng)使函數(shù)數(shù)

7、的定義義域不發(fā)發(fā)生改變變，有時時還需要要作幾次次相應(yīng)的的替換），得到到一個或或幾個方方程，然然后設(shè)法法從中求求其解4、利用用函數(shù)性性質(zhì)例4、已已知定義義在R上上的函數(shù)數(shù)f(xx)滿足足 （1）對對于任意意x ，yR都有有f(xx+y)=f(x)+f(yy) ； （2）當(dāng)當(dāng)x00時，f(x)0，且且f(11)= - 2 ，求f(xx)在-3 ， 33上的的最大值值和最小小值解：任取取-3x1x23 ，由由條件（1）得得f(xx2)=ff(x2-x1)+x1= ff(x2-x1)+f(x1)， ff(x22)- f(xx1) = f(x2-x1) ， x2 - x1 0 ，由條件件（2）得 ff(

8、x2-x1) 00 ， ff(x22) f(xx1) ， f(x)在在-33 ， 3上上 單調(diào)調(diào)遞減在（1）中令xx=y=0，得得f(00+0)=f(0)+f(00) ， f(0)=0再令x=-y ， 得得f(xx-x)=f(x)+f(-x) ， ff(-xx)= -f(x) ， 從而而f(xx)為奇奇函數(shù)，因此，ff(x)在-3 ， 3上的最最大值為為 f(-33)=f(3)=-f(1+22)=-f(11)-ff(2)= -f(11) -f(11) -f(11)= -3ff(1)=6最小值為為 ff(3)= -f(-3)= -66 評注： 根據(jù)題題目所給給的條件件，往往往需要探探求函數(shù)數(shù)是否

9、還還具有哪哪些特殊殊的性質(zhì)質(zhì)，比如如，函數(shù)數(shù)的單調(diào)調(diào)性、奇奇偶性、周期性性等等，本題是是運用函函數(shù)的性性質(zhì)得到到解答的的一個典典型，它它將奇偶偶性和單單調(diào)性有有機地結(jié)結(jié)合起來來，而函函數(shù)的單單調(diào)性是是解決最最值問題題和有關(guān)關(guān)不等式式問題的的常用性性質(zhì)。 5、類比比探求例5、 已已知定義義在R上上的函數(shù)數(shù)f(xx)對于于任意xx ， y R都都有f(x+yy)+ff(x-y)=2f(x)ff(y) （11） ，若存存在常數(shù)數(shù)c00，使得得f( eq f(c,2) )=00，求證證：f(x)是是周期函函數(shù)證明： 由（1）得得， ff(x+c)+f(xx)=22f(xx+eq f(c,2)f(eq

10、f(c,2)=2f(x+eq f(cc,2)0=0 ， f(xx+c)+f(x)=0 ， f(x+cc)= - f(xx) ， f(xx+2cc)=ff(xx+c)+c= - f(x+cc)= f(xx) ， 又因因為c0，所以f(x)是是周期函函數(shù)，22c是它的的一個周周期評注： 通過對對題目所所給條件件與結(jié)論論的比較較并聯(lián)想想已學(xué)過過的知識識，開拓拓思路，即可找找到解題題的關(guān)鍵鍵對于于本題，我們?nèi)羧袈?lián)想公公式coos(xx+y)+coos(xx-y)=2ccosxxcoosy ， 再類比比余弦函函數(shù)y=cossx的性性質(zhì)：ccoseq f(,2) = 00，又其其周期為為2 = eq f(

11、,2)4 ，故，從從中得到到啟示，并進(jìn)一一步探求求f(xx)的周周期是否否為 eq f(c,2)4 =2c 6、正難難則反例6、 已知知函數(shù)ff(x)在區(qū)間間（-，+）上是是增函數(shù)數(shù)，a 、bR ， （1）證證明：若若a+bb0，則f(a)+f(bb)ff(-aa)+f(-b)； （2）判判斷（11）中命命題的逆逆命題是是否正確確，并證證明你的的結(jié)論證明：（1）由由a+bb0，得 aa-b， 函數(shù)數(shù)f(xx)在區(qū)區(qū)間（-，+）上是是增函數(shù)數(shù)， f(a)f(-b)； 同理，f(bb) f(-a) ， f(aa)+f(bb)ff(-bb)+f(-a)，即f(a)+f(bb)ff(-aa)+f(-b

12、) （22）首先先， （1）中中命題的的逆命題題是： 若f(a)+f(bb)ff(-aa)+f(-b)，則a+b00 此逆命命題為真真命題現(xiàn)證明明如下： （用反證證法） 假設(shè)設(shè)a+bb0不不成立， 即有aa+b0，則則 a-b， b-a， 根據(jù)據(jù)單調(diào)性性， 得 f(a)f(-b)， f(b)f(-a)， 從而而f(aa)+f(bb)ff(-bb)+f(-a)，即f(a)+f(bb)ff(-aa)+f(-b)，這與已已知f(a)+f(bb)ff(-aa)+f(-b) 相矛盾盾故aa+b0不成成立，即即a+bb0成成立 ，因此（1）中中命題的的逆命題題是真命命題評注： 當(dāng)當(dāng)關(guān)于某某些抽象象函數(shù)的的

13、命題不不易從正正面直接接證明時時，可采采用反證證法，它它往往需需結(jié)合其其它一些些求解策策略 以上通過過實例介介紹了求求解抽象象函數(shù)問問題的幾幾種常用用策略，只有深深刻理解解概念，掌握好好一般規(guī)規(guī)律，靈靈活運用用技巧（往往還還需結(jié)合合幾種解解題策略略），才才能快速速、準(zhǔn)確確地尋找找到解題題的突破破口， 以下幾幾題供參參考對每一實實數(shù)對xx、y ，函函數(shù)f(t)滿滿足f(x+yy)=ff(x)+f(y)+xy+1，若若f(-2)=-2試求滿滿足f(a)=a的所有有整數(shù)( 答：遞推，a=11或a=-22)函數(shù)的定定義域關(guān)關(guān)于原點點對稱，且滿足足以下兩兩個條件件：()若若x1，x2 是f(x)定定義域

14、中中的數(shù)，則f(x1-x2) = eq f (f(x1)f(x2)+11, f(x2)-ff(x11) ) ;；()ff(a)=1（常數(shù)aa0）試證明：(1)ff(x)是奇函函數(shù)；(2)ff(x)是周期期函數(shù)已知函數(shù)數(shù)f(xx) 滿滿足 aaf(xx)+ff( eq f(11,x) )=ccx ，其中aa 、b 、c是不為為零的常常數(shù)，且且abb ，求求f(xx) ( 答答： ff(x)= eq f (c(ax22-b), (a2 -b2)x) ) 函數(shù)f(x)的的定義域域為R，且f(x+11) 1-ff(x)=1+f(xx)，又又知f(1)=2 + eq r(2) ，試求求f(220022)

15、 的值值 ( 答： ff(20002) = 1-22 eq r(2) )是否存在在這樣的的函數(shù)ff(x)，使下下列三個個條件：f(nn)00 ，nN；f(nn1+n2)= f(nn1)f(n2)，n1 、n2 NN ； f(2)=4 同時成立立？若存存在，求求出f(x)的的解析式式；若不不存在，說明理理由 （ 答： 存在在且f(x)=2x ， xN ）設(shè)f(xx)是定定義在RR上的函函數(shù)，其其圖像關(guān)關(guān)于x=1對稱稱，對任任意x1，x2 ，都都有f(x11+x2)= f(xx1)f(x2) ，f(1)=a () 求f( eq f(1,2) ) 和f( eq f(1,4) )； () 證明明： ff(x)是周期期函數(shù) ； () 記記an=f( 2nn + eq f(1,2n) ) ，求求 eq o(liim,sddo7(n)(llnan) （答：() 求f( eq f(1,2) ) = eq r(a) ， f( eq f(