數(shù)學分析傅立葉級數(shù) 1211

1、第十二章 傅立葉級數(shù)1 一、 歷史淵源 傅立葉(Fourier) （1768-1830） 在熱傳導研究(始于1807, 1822 年發(fā)表 熱的解析理論)中， Fourier 提出用三角級數(shù)表示周期函數(shù)：法國數(shù)學家、物理學家.2二 、 地位及發(fā)展產(chǎn)生嚴格的數(shù)學概念（函數(shù)、黎曼積分）數(shù)學理論（調和分析、微分方程求解、集合論等）工程應用 (頻譜分析，F(xiàn)FT 1960, JPEG)小波分析(1980, JPEG2000）對自然界的深入研究是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的最豐富源泉-Fourier3Fourier與小波變換發(fā)展概況1822年Fourier變換,在頻域的定位最準確，無任何時域定位能力。 函數(shù)，時域定位完全準確

2、，頻域無任何定位能力1946年Gabor變換，STFT，窗函數(shù)的大小和形狀與時間和頻率無關而保持固定不變。不構成正交基。1982年Burt提出金字塔式圖像壓縮編碼，子帶編碼(subband coding),多采樣率濾波器組(multirate sampling filter bank).1910年Harr提出規(guī)范正交基。1981年Stormberg對Harr系進行改進，證明了小波函數(shù)的存在。1984年,Morlet提出了連續(xù)小波1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出離散的小波基1986年,Meyer證明了不可能存在時域頻域同時具有正則性的正交小波基，證明了小波的自正

3、交性。1987年,Mallat統(tǒng)一了多分辨率分析和小波變換，給出了快速算法。4Fourier與小波的應用領域J.Morlet，地震信號分析。S.Mallat，二進小波用于圖像的邊緣檢測、圖像壓縮和重構Farge，連續(xù)小波用于渦流研究Wickerhauser，小波包用于圖像壓縮。Frisch噪聲的未知瞬態(tài)信號。Dutilleux語音信號處理H.Kim時頻分析Beykin正交小波用于算子和微分算子的簡化信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘探流體力學、電磁場、CT成象、機器視覺、機械故障診斷、分形、數(shù)值計算5 第一節(jié) 傅里葉級數(shù)一、 三角級數(shù)、正交函數(shù)系二、 以 為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)三、 收斂定理內容6一、三角級數(shù) 、三角函數(shù)系的正交性1. 三角級數(shù)諧波分析三角級數(shù)72.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系8正交函數(shù)系9二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:若能展開, 是什么?傅里葉系數(shù)10傅里葉系數(shù)11 解 12三、收斂定理展開的條件是什么?問題:132. 函數(shù)展開