高中數(shù)學人教A版高中必修5第一章解三角形-正弦定理教學設計富順一中胥芳

1、正弦定理教學設計 富順一中 胥芳一 內容和內容解析本節(jié)內容選自人教A版必修五第一章，第一節(jié)。解三角形問題和前面所學的三角函數(shù)，三角恒等變換，向量的知識緊密相關；現(xiàn)實生活中，航海，天文測量，地理測量等科學也以解三角形作為理論基礎。正弦定理是對初中所學邊角關系的量化，也體現(xiàn)了幾何度量在現(xiàn)實生活中的應用，在整個高初中教材編排中具有承前啟后的作用。本節(jié)課是正弦定理的第一課時，主要是讓學生對一般三角形邊角關系進行探索，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，并能運用正弦定理解決一些簡單的解三角形問題。本節(jié)課的內容主要分為三個部分：第一，用一首小詩引入，提出怎樣測量塔的高度這一問題。通過導學案引導學生回顧初中所學的直角三角形

2、中的邊角關系，猜想出正弦定理；第二，在導學案上設計一連串的問題引導學生小組討論，分別用“作高法”和“外接圓法”證明正弦定理，然后師生共同認識正弦定理，總結出正弦定理可以解決的兩類解三角形問題；第三，運用正弦定理解決簡單的解三角形問題，并且回到引入部分測量塔的高度，首位呼應，讓學生體會到正弦定理的應用價值。通過這三個步驟，主要讓學生來完成正弦定理的證明與應用，體現(xiàn)學生的主體地位。學生通過“猜想證明應用”這一過程，掌握學習數(shù)學定理的一般方法，感受正弦定理在解決實際問題中的應用。二 目標和目標解析新課標對正弦定理的要求是：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理，并能解決一些簡單的三角形度

3、量問題，能夠運用正弦定理的知識解決一些與測量有關和幾何計算有關的實際問題。根據(jù)課標要求，考慮到學生的認知結構心理特征和已有的知識水平，我對本節(jié)課的教學目標主要從以下三個方面進行確定：知識與技能：（1）能準確用符號寫出正弦定理； （2）能運用正弦定理解決簡單的解三角形問題。過程與方法：學生通過對任意三角形邊角關系的探索，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理，在正弦定理的證明過程中，體會從特殊到一般，分類討論等數(shù)學思想。情感態(tài)度與價值觀：1.通過探究活動，培養(yǎng)學生探索精神和創(chuàng)新意識；2.通過本節(jié)課的學習，領會數(shù)學的人文價值，美學價值。三 教學問題診斷分析 教學重點：正弦定理的證明和應用教學難點：（1）正弦定理的猜想

4、和證明；（2）已知兩邊及其中一邊所對的角，解三角形。本節(jié)課我授課的班級是理科普通班，學生的基礎相對較差，平時對老師的依賴性較強，缺乏獨立思考的能力，在定理的猜想和證明過程中，學生可能沒有思路。因此，我在導學案中用一些列的問題加以引導，在直角三角形和銳角三角形中證明了正弦定理，而鈍角三角形中的證明和外接圓證法都留給學生小組討論完成。在證明過程中，給學生滲透分類討論，轉化，從特殊到一般等數(shù)學思想。從而突破本節(jié)課的難點。由于學生年齡，思維結構的限制，在運用正弦定理的過程中，對于已知兩邊及其中一邊所對的角這種情況，學生可能不會分類討論或者錯解漏解，這時應該讓學生相互糾錯，指出錯誤原因，訓練思維的嚴謹性

5、。教材的例題角不特殊，需要用計算器才能算出來，因此，我設計了一個例題和一個變式練習，包含了正弦定理可以解決的兩類解三角形問題，其中涉及到一些特殊角，比如：，學生可能不知其正弦，應該引導學生回顧和差角的正弦公式，準確算出其正弦值。四 教學支持條件分析本節(jié)課的授課對象是高一學生，在此之前，學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)，三角恒等變換，平明向量等知識，這為正弦定理的學習做了一些知識準備。初中時，學生也對三角形的邊角關系有一個感性認識，即“大邊對大角”,還學習了直角三角形中銳角的正弦定義。但對一般三角形中邊角關系的量化認識還不夠。根據(jù)維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，本節(jié)課應抓住學生思維的最近發(fā)展區(qū)，將正弦定理的形成

6、過程充分展示給學生，讓學生體會到從特殊到一般，從具體到抽象的知識形成過程。我校有交互式電子白板，可以播放PPT，也可以讓學生上臺講解，書寫；另外，還有視頻展臺，可以直接展示學生的作業(yè)書寫。學生已有的知識基礎和學校完善的硬件設施，都為正弦定理的教學提供了可行性。五 教學過程環(huán)節(jié)師生活動設計意圖問題引入激發(fā)興趣“近測高塔遠看山，量天度海只等閑。古有九章勾股法，今看三角正余弦?！弊寣W生齊聲朗讀小詩，并提出問題：怎樣測量塔的高度？用一首小詩引入，激發(fā)學生的求知欲。寫成小詩的形式，體現(xiàn)數(shù)學的人文價值。建立模型，把實際問題數(shù)學化，體現(xiàn)建模的思想。這個引入也暗含著學習正弦定理的目的解決一些實際測量問題。回顧

7、舊知猜想定理導學案中，呈現(xiàn)以下問題，讓學生預習填寫問題一：初中所學三角形邊角關系？ 大邊對 ，小邊對 。問題二：在中，各角正弦如何表示？= = = 問題三：能找到等量關系嗎？ = = 問題四：上面等量關系能否從統(tǒng)一形式的角度補充完整？,由此可得： 問題五：上述結論對銳角三角形和鈍角三角形是否成立？建構主義的學習觀認為，學習不是簡單的信息積累，而是新舊知識經(jīng)驗之間的雙向的相互作用過程。把此部分內容設計到導學案上，讓學生提前預習填寫。幫助學生回顧初中所學的直角三角形中的邊角關系，把握學生思維最近發(fā)展區(qū)，引導學生猜想一般三角形中的邊角關系。體現(xiàn)新舊知識的聯(lián)系。小組合作證明定理環(huán)節(jié)一 讓學生小組討論證

8、明定理，銳角三角形的情況讓學生閱讀教材，在導學案上完成，同時用以下問題加以引導。鈍角三角形和外接圓證法由學生小組討論完成。1.在銳角三角形中，如何構建直角三角形？2.在和中，和的正弦如何表示？= ,= 3.這兩個式子能找到等量關系嗎？在中，= 在中，= ，= ，得到 4.作邊高時有何種等量關系？在中， , 從而= = 5. 為鈍角三角形，設為邊上的高，如何證明上述關系？（請同學們嘗試自己推導） 環(huán)節(jié)二 正弦定理的外接圓證法 學生先小組討論，找到一些思路，然后再由老師引導學生一起完成證明，在證明過程中，主要引導學生怎樣構建直角三角形。1如圖所示，在RtABC中，斜邊c等于RtABC外接圓的直徑2

9、R，故有eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，如何證明？ 2 如圖所示，銳角三角形ABC和它的外接圓O，外接圓半徑為R，怎樣證明等式eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R？3如圖所示，鈍角三角形ABC，A為鈍角，圓O是它的外接圓，半徑為R，怎樣證明等式eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R？環(huán)節(jié)三 認識定理1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 = = = 2、一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知

10、三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做 .利用正弦定理可解決兩類解三角形問題：（1）已知 ，求其他兩邊和一角；（2）已知 ，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角。 引導學生從文字敘述，結構特點，方程觀點三個方面認識正弦定理，并和學生一起分析出正弦定理可以解決的兩類問題。 通過層層遞進的問題設計引導，小組參與討論，鼓勵學生自己證明正弦定理，體現(xiàn)從特殊到一般的思維方式，與上一環(huán)節(jié)一起，讓學生領悟“觀察-猜想-證明”這一學習數(shù)學定理的方式，達到突破正弦定理證明這一難點的目的講解正弦定理的外接圓證法主要得到正弦定理中邊與對應角正弦的比值是一個定值，而且這個定值與三角形外接圓有關。為以后邊角互化作準備幫助

11、學生準確記憶正弦定理的符號表示，深刻認識正弦定理，分析正弦定理的應用范圍運用定理加深理解例1解三角形（1）小題由教師板書書寫格式，提醒學生規(guī)范書寫，（2）小題選一位同學的書寫用視頻展臺展示，請同學點評指正。第二小題中會出現(xiàn)兩組解，學生可能不知道如何取舍，教師應點評出什么時候有兩組解，遇到兩組解得時候是否舍去，怎樣舍去。例2 回到引入部分的問題： 如果用量角儀在C,D兩點測得塔尖的仰角分別是 ，求塔AB 的高？變式練習：變式練習由學生獨立完成，教師巡視，請兩位同學上黑板書寫，師生一起找出存在的問題，并規(guī)范書寫。 例1是運用正弦定理解決簡單的解三角形問題。學生通過模仿老師書寫，小組之間互相糾錯，準

12、確應用正弦定理例2是實際應用問題，與引入當中的問題遙相呼應，讓學生學以致用，體會到正弦定理確實能解決實際問題。變式練習的設計，可以讓學生強化練習，突出本節(jié)課重點定理的應用。本題第二小題有兩組解，體現(xiàn)分類討論思想，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S方式和勤奮務實的學習態(tài)度。課堂小結深化提高請學生小結本節(jié)課的主要內容，學生談本節(jié)課的收獲，其他學生補充，總結出本節(jié)課的重點與難點。知識重點：正弦定理 正弦定理解決兩類解三角形問題： （1）已知兩角和一邊； （2）已知兩邊和其中一邊所對的角。思維方法：從特殊到一般 分類討論 轉化師生互動，體現(xiàn)學生主體地位，改變老師總結的方法，由學生相互補充總結，再次讓學生在腦海中呈現(xiàn)本

13、節(jié)課的重難點，達到教學目標作業(yè)布置板書設計必做：教材第四頁練習，閱讀與正弦定理有關的數(shù)學史。（印出資料發(fā)給學生）選做：查找資料，找出正弦定理的其他證明方法，寫成小論文。板書設計正弦定理學生展示多媒體展示學生展示由于學生的注意力主要集中在黑板中央，所以本節(jié)課的知識主要由中間的多媒體呈現(xiàn)出來，兩邊空出的黑板留給學生展示，體現(xiàn)學生的主體地位教材練習主要是正弦定理的應用，幫助學生強化記憶公式，訓練學生的計算能力。高中數(shù)學課程標準要求體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，閱讀正弦定理的發(fā)展史可以幫助學生了解正弦定理的由來，滲透數(shù)學文化。六 目標檢測設計一 選擇題1在ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，若A105

14、，B45，b2eq r(2)，則c等于()A1 B2 r(2) r(3)2在ABC中，已知A150，a3，則其外接圓的半徑R的值為 ()A3 r(3) C2 D不確定3在ABC中，sin Asin C，則ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C銳角三角形 D鈍角三角形4在ABC中，A60，a，b，則B等于( )A45或135 B60C45 D1355在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于( )A120 B105 C90 D75二 填空題6在ABC中，A60，a4eq r(3)，b4eq r(2)，則B等于 7在ABC中，若tan A，C150，BC1，

15、則AB_.8在ABC中，已知a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若b2a，BA60，則A_.三 解答題9（1）在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形（2）在ABC中，已知a2，b6，A30，解三角形10.如圖,A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內,B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測量船于水面A處測得B、D兩點的仰角分別為75,30,于水面C處測得B、D兩點的仰角分別為60,60,AC= km,試探究圖中哪兩點間距離與BD相等,并求BD(計算結果精確到 km, 設計意圖：目標檢測中的題目主要是運用正弦定理解三角形，幫助學生準確運用定理，規(guī)范書寫，提高計算能力。個別題涉及到邊角互

16、換，在上課過程中，老師沒有指出具體怎樣邊角互換，但是正弦定理的外接圓證法引出了2R，成績相對較好的同學可以解出。最后一個題是實際應用問題，學生可以仿照例二完成，讓學生體會到正弦定理在解決實際問題中的作用。正弦定理教案說明建構主義學習觀認為，學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自己構建知識的過程。新課標倡導積極主動，用于探索的學習方式?；谶@些理念的指導，考慮到教材內容編排特點和學生已有的認知水平。我設計本節(jié)課主要由教師的啟發(fā)和學生的討論組成，形成教師為主導，學生為主體的課堂模式。對于本節(jié)內容，我具體做了如下設計：（1）設計導學案，讓學生提前預習，培養(yǎng)學生的自主學習能力。（2）課堂中

17、，首先以一首詩引入，提出測量塔的高度這一問題，然后檢查學生的預習情況，鼓勵學生從直角三角形的邊角關系出發(fā)，猜想出正弦定理。然后通過學生的小組討論，用兩種方法完成正弦定理的證明，這是本節(jié)課的難點。在討論證明和教師總結的過程中，教師注意滲透分類討論，轉化，從特殊到一般等數(shù)學思想方法。（3）引導學生從文字敘述，結構特點和方程的觀點三個方面認識正弦定理，總結出正弦定理可以解決的兩類解三角形問題。（4）通過兩道例題和一個變式訓練讓學生準確運用正弦定理，提高計算能力，例題中又回到引入部分，告訴具體數(shù)據(jù)，計算塔的高度，讓學生感受到正弦定理的應用價值。本節(jié)課之前，學生不知正弦定理內容和證明方法。通過教師的問題引導，學生的小組討論，課堂練習。運用“觀察類比猜想證明應用”這一思維方法證明并應用正弦定理。使學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，感受到數(shù)學學習的苦與樂，從而達到本節(jié)課的教學目標。正弦定理點評 指導教師 張體富正弦定理的探究證明和簡單應用是對三角知識的應用，同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內容的直接延伸。本節(jié)課，教師使學生通過對任意三角形邊角關系的探索，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，感受“類比猜想證明”的科學研究問