高中數(shù)學(xué)人教A版高中必修5第一章解三角形-正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)富順一中胥芳

1、正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì) 富順一中 胥芳一 內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容選自人教A版必修五第一章，第一節(jié)。解三角形問題和前面所學(xué)的三角函數(shù)，三角恒等變換，向量的知識緊密相關(guān)；現(xiàn)實(shí)生活中，航海，天文測量，地理測量等科學(xué)也以解三角形作為理論基礎(chǔ)。正弦定理是對初中所學(xué)邊角關(guān)系的量化，也體現(xiàn)了幾何度量在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，在整個高初中教材編排中具有承前啟后的作用。本節(jié)課是正弦定理的第一課時，主要是讓學(xué)生對一般三角形邊角關(guān)系進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，并能運(yùn)用正弦定理解決一些簡單的解三角形問題。本節(jié)課的內(nèi)容主要分為三個部分：第一，用一首小詩引入，提出怎樣測量塔的高度這一問題。通過導(dǎo)學(xué)案引導(dǎo)學(xué)生回顧初中所學(xué)的直角三角形

2、中的邊角關(guān)系，猜想出正弦定理；第二，在導(dǎo)學(xué)案上設(shè)計(jì)一連串的問題引導(dǎo)學(xué)生小組討論，分別用“作高法”和“外接圓法”證明正弦定理，然后師生共同認(rèn)識正弦定理，總結(jié)出正弦定理可以解決的兩類解三角形問題；第三，運(yùn)用正弦定理解決簡單的解三角形問題，并且回到引入部分測量塔的高度，首位呼應(yīng)，讓學(xué)生體會到正弦定理的應(yīng)用價值。通過這三個步驟，主要讓學(xué)生來完成正弦定理的證明與應(yīng)用，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。學(xué)生通過“猜想證明應(yīng)用”這一過程，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理的一般方法，感受正弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。二 目標(biāo)和目標(biāo)解析新課標(biāo)對正弦定理的要求是：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理，并能解決一些簡單的三角形度

3、量問題，能夠運(yùn)用正弦定理的知識解決一些與測量有關(guān)和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。根據(jù)課標(biāo)要求，考慮到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征和已有的知識水平，我對本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)主要從以下三個方面進(jìn)行確定：知識與技能：（1）能準(zhǔn)確用符號寫出正弦定理； （2）能運(yùn)用正弦定理解決簡單的解三角形問題。過程與方法：學(xué)生通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理，在正弦定理的證明過程中，體會從特殊到一般，分類討論等數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價值觀：1.通過探究活動，培養(yǎng)學(xué)生探索精神和創(chuàng)新意識；2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的人文價值，美學(xué)價值。三 教學(xué)問題診斷分析 教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的證明和應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：（1）正弦定理的猜想

4、和證明；（2）已知兩邊及其中一邊所對的角，解三角形。本節(jié)課我授課的班級是理科普通班，學(xué)生的基礎(chǔ)相對較差，平時對老師的依賴性較強(qiáng)，缺乏獨(dú)立思考的能力，在定理的猜想和證明過程中，學(xué)生可能沒有思路。因此，我在導(dǎo)學(xué)案中用一些列的問題加以引導(dǎo)，在直角三角形和銳角三角形中證明了正弦定理，而鈍角三角形中的證明和外接圓證法都留給學(xué)生小組討論完成。在證明過程中，給學(xué)生滲透分類討論，轉(zhuǎn)化，從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想。從而突破本節(jié)課的難點(diǎn)。由于學(xué)生年齡，思維結(jié)構(gòu)的限制，在運(yùn)用正弦定理的過程中，對于已知兩邊及其中一邊所對的角這種情況，學(xué)生可能不會分類討論或者錯解漏解，這時應(yīng)該讓學(xué)生相互糾錯，指出錯誤原因，訓(xùn)練思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

5、。教材的例題角不特殊，需要用計(jì)算器才能算出來，因此，我設(shè)計(jì)了一個例題和一個變式練習(xí)，包含了正弦定理可以解決的兩類解三角形問題，其中涉及到一些特殊角，比如：，學(xué)生可能不知其正弦，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生回顧和差角的正弦公式，準(zhǔn)確算出其正弦值。四 教學(xué)支持條件分析本節(jié)課的授課對象是高一學(xué)生，在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，三角恒等變換，平明向量等知識，這為正弦定理的學(xué)習(xí)做了一些知識準(zhǔn)備。初中時，學(xué)生也對三角形的邊角關(guān)系有一個感性認(rèn)識，即“大邊對大角”,還學(xué)習(xí)了直角三角形中銳角的正弦定義。但對一般三角形中邊角關(guān)系的量化認(rèn)識還不夠。根據(jù)維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，本節(jié)課應(yīng)抓住學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，將正弦定理的形成

6、過程充分展示給學(xué)生，讓學(xué)生體會到從特殊到一般，從具體到抽象的知識形成過程。我校有交互式電子白板，可以播放PPT，也可以讓學(xué)生上臺講解，書寫；另外，還有視頻展臺，可以直接展示學(xué)生的作業(yè)書寫。學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和學(xué)校完善的硬件設(shè)施，都為正弦定理的教學(xué)提供了可行性。五 教學(xué)過程環(huán)節(jié)師生活動設(shè)計(jì)意圖問題引入激發(fā)興趣“近測高塔遠(yuǎn)看山，量天度海只等閑。古有九章勾股法，今看三角正余弦?！弊寣W(xué)生齊聲朗讀小詩，并提出問題：怎樣測量塔的高度？用一首小詩引入，激發(fā)學(xué)生的求知欲。寫成小詩的形式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值。建立模型，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，體現(xiàn)建模的思想。這個引入也暗含著學(xué)習(xí)正弦定理的目的解決一些實(shí)際測量問題?；仡?/p>

7、舊知猜想定理導(dǎo)學(xué)案中，呈現(xiàn)以下問題，讓學(xué)生預(yù)習(xí)填寫問題一：初中所學(xué)三角形邊角關(guān)系？ 大邊對 ，小邊對 。問題二：在中，各角正弦如何表示？= = = 問題三：能找到等量關(guān)系嗎？ = = 問題四：上面等量關(guān)系能否從統(tǒng)一形式的角度補(bǔ)充完整？,由此可得： 問題五：上述結(jié)論對銳角三角形和鈍角三角形是否成立？建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是簡單的信息積累，而是新舊知識經(jīng)驗(yàn)之間的雙向的相互作用過程。把此部分內(nèi)容設(shè)計(jì)到導(dǎo)學(xué)案上，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)填寫。幫助學(xué)生回顧初中所學(xué)的直角三角形中的邊角關(guān)系，把握學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生猜想一般三角形中的邊角關(guān)系。體現(xiàn)新舊知識的聯(lián)系。小組合作證明定理環(huán)節(jié)一 讓學(xué)生小組討論證

8、明定理，銳角三角形的情況讓學(xué)生閱讀教材，在導(dǎo)學(xué)案上完成，同時用以下問題加以引導(dǎo)。鈍角三角形和外接圓證法由學(xué)生小組討論完成。1.在銳角三角形中，如何構(gòu)建直角三角形？2.在和中，和的正弦如何表示？= ,= 3.這兩個式子能找到等量關(guān)系嗎？在中，= 在中，= ，= ，得到 4.作邊高時有何種等量關(guān)系？在中， , 從而= = 5. 為鈍角三角形，設(shè)為邊上的高，如何證明上述關(guān)系？（請同學(xué)們嘗試自己推導(dǎo)） 環(huán)節(jié)二 正弦定理的外接圓證法 學(xué)生先小組討論，找到一些思路，然后再由老師引導(dǎo)學(xué)生一起完成證明，在證明過程中，主要引導(dǎo)學(xué)生怎樣構(gòu)建直角三角形。1如圖所示，在RtABC中，斜邊c等于RtABC外接圓的直徑2

9、R，故有eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，如何證明？ 2 如圖所示，銳角三角形ABC和它的外接圓O，外接圓半徑為R，怎樣證明等式eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R？3如圖所示，鈍角三角形ABC，A為鈍角，圓O是它的外接圓，半徑為R，怎樣證明等式eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R？環(huán)節(jié)三 認(rèn)識定理1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 = = = 2、一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知

10、三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做 .利用正弦定理可解決兩類解三角形問題：（1）已知 ，求其他兩邊和一角；（2）已知 ，求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊和角。 引導(dǎo)學(xué)生從文字?jǐn)⑹?，結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，方程觀點(diǎn)三個方面認(rèn)識正弦定理，并和學(xué)生一起分析出正弦定理可以解決的兩類問題。 通過層層遞進(jìn)的問題設(shè)計(jì)引導(dǎo)，小組參與討論，鼓勵學(xué)生自己證明正弦定理，體現(xiàn)從特殊到一般的思維方式，與上一環(huán)節(jié)一起，讓學(xué)生領(lǐng)悟“觀察-猜想-證明”這一學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理的方式，達(dá)到突破正弦定理證明這一難點(diǎn)的目的講解正弦定理的外接圓證法主要得到正弦定理中邊與對應(yīng)角正弦的比值是一個定值，而且這個定值與三角形外接圓有關(guān)。為以后邊角互化作準(zhǔn)備幫助

11、學(xué)生準(zhǔn)確記憶正弦定理的符號表示，深刻認(rèn)識正弦定理，分析正弦定理的應(yīng)用范圍運(yùn)用定理加深理解例1解三角形（1）小題由教師板書書寫格式，提醒學(xué)生規(guī)范書寫，（2）小題選一位同學(xué)的書寫用視頻展臺展示，請同學(xué)點(diǎn)評指正。第二小題中會出現(xiàn)兩組解，學(xué)生可能不知道如何取舍，教師應(yīng)點(diǎn)評出什么時候有兩組解，遇到兩組解得時候是否舍去，怎樣舍去。例2 回到引入部分的問題： 如果用量角儀在C,D兩點(diǎn)測得塔尖的仰角分別是 ，求塔AB 的高？變式練習(xí)：變式練習(xí)由學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，請兩位同學(xué)上黑板書寫，師生一起找出存在的問題，并規(guī)范書寫。 例1是運(yùn)用正弦定理解決簡單的解三角形問題。學(xué)生通過模仿老師書寫，小組之間互相糾錯，準(zhǔn)

12、確應(yīng)用正弦定理例2是實(shí)際應(yīng)用問題，與引入當(dāng)中的問題遙相呼應(yīng)，讓學(xué)生學(xué)以致用，體會到正弦定理確實(shí)能解決實(shí)際問題。變式練習(xí)的設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生強(qiáng)化練習(xí)，突出本節(jié)課重點(diǎn)定理的應(yīng)用。本題第二小題有兩組解，體現(xiàn)分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式和勤奮務(wù)實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度。課堂小結(jié)深化提高請學(xué)生小結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，學(xué)生談本節(jié)課的收獲，其他學(xué)生補(bǔ)充，總結(jié)出本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)。知識重點(diǎn)：正弦定理 正弦定理解決兩類解三角形問題： （1）已知兩角和一邊； （2）已知兩邊和其中一邊所對的角。思維方法：從特殊到一般 分類討論 轉(zhuǎn)化師生互動，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，改變老師總結(jié)的方法，由學(xué)生相互補(bǔ)充總結(jié)，再次讓學(xué)生在腦海中呈現(xiàn)本

13、節(jié)課的重難點(diǎn)，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)作業(yè)布置板書設(shè)計(jì)必做：教材第四頁練習(xí)，閱讀與正弦定理有關(guān)的數(shù)學(xué)史。（印出資料發(fā)給學(xué)生）選做：查找資料，找出正弦定理的其他證明方法，寫成小論文。板書設(shè)計(jì)正弦定理學(xué)生展示多媒體展示學(xué)生展示由于學(xué)生的注意力主要集中在黑板中央，所以本節(jié)課的知識主要由中間的多媒體呈現(xiàn)出來，兩邊空出的黑板留給學(xué)生展示，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位教材練習(xí)主要是正弦定理的應(yīng)用，幫助學(xué)生強(qiáng)化記憶公式，訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，閱讀正弦定理的發(fā)展史可以幫助學(xué)生了解正弦定理的由來，滲透數(shù)學(xué)文化。六 目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)一 選擇題1在ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，若A105

14、，B45，b2eq r(2)，則c等于()A1 B2 r(2) r(3)2在ABC中，已知A150，a3，則其外接圓的半徑R的值為 ()A3 r(3) C2 D不確定3在ABC中，sin Asin C，則ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C銳角三角形 D鈍角三角形4在ABC中，A60，a，b，則B等于( )A45或135 B60C45 D1355在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于( )A120 B105 C90 D75二 填空題6在ABC中，A60，a4eq r(3)，b4eq r(2)，則B等于 7在ABC中，若tan A，C150，BC1，

15、則AB_.8在ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若b2a，BA60，則A_.三 解答題9（1）在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形（2）在ABC中，已知a2，b6，A30，解三角形10.如圖,A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測量船于水面A處測得B、D兩點(diǎn)的仰角分別為75,30,于水面C處測得B、D兩點(diǎn)的仰角分別為60,60,AC= km,試探究圖中哪兩點(diǎn)間距離與BD相等,并求BD(計(jì)算結(jié)果精確到 km, 設(shè)計(jì)意圖：目標(biāo)檢測中的題目主要是運(yùn)用正弦定理解三角形，幫助學(xué)生準(zhǔn)確運(yùn)用定理，規(guī)范書寫，提高計(jì)算能力。個別題涉及到邊角互

16、換，在上課過程中，老師沒有指出具體怎樣邊角互換，但是正弦定理的外接圓證法引出了2R，成績相對較好的同學(xué)可以解出。最后一個題是實(shí)際應(yīng)用問題，學(xué)生可以仿照例二完成，讓學(xué)生體會到正弦定理在解決實(shí)際問題中的作用。正弦定理教案說明建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是由教師把知識簡單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己構(gòu)建知識的過程。新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動，用于探索的學(xué)習(xí)方式。基于這些理念的指導(dǎo)，考慮到教材內(nèi)容編排特點(diǎn)和學(xué)生已有的認(rèn)知水平。我設(shè)計(jì)本節(jié)課主要由教師的啟發(fā)和學(xué)生的討論組成，形成教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的課堂模式。對于本節(jié)內(nèi)容，我具體做了如下設(shè)計(jì)：（1）設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。（2）課堂中

17、，首先以一首詩引入，提出測量塔的高度這一問題，然后檢查學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，鼓勵學(xué)生從直角三角形的邊角關(guān)系出發(fā)，猜想出正弦定理。然后通過學(xué)生的小組討論，用兩種方法完成正弦定理的證明，這是本節(jié)課的難點(diǎn)。在討論證明和教師總結(jié)的過程中，教師注意滲透分類討論，轉(zhuǎn)化，從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法。（3）引導(dǎo)學(xué)生從文字?jǐn)⑹?，結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和方程的觀點(diǎn)三個方面認(rèn)識正弦定理，總結(jié)出正弦定理可以解決的兩類解三角形問題。（4）通過兩道例題和一個變式訓(xùn)練讓學(xué)生準(zhǔn)確運(yùn)用正弦定理，提高計(jì)算能力，例題中又回到引入部分，告訴具體數(shù)據(jù)，計(jì)算塔的高度，讓學(xué)生感受到正弦定理的應(yīng)用價值。本節(jié)課之前，學(xué)生不知正弦定理內(nèi)容和證明方法。通過教師的問題引導(dǎo)，學(xué)生的小組討論，課堂練習(xí)。運(yùn)用“觀察類比猜想證明應(yīng)用”這一思維方法證明并應(yīng)用正弦定理。使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的苦與樂，從而達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。正弦定理點(diǎn)評 指導(dǎo)教師 張?bào)w富正弦定理的探究證明和簡單應(yīng)用是對三角知識的應(yīng)用，同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸。本節(jié)課，教師使學(xué)生通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，感受“類比猜想證明”的科學(xué)研究問