高中數(shù)學(xué)人教A版高中必修5第一章解三角形-海倫和秦九韶教案

1、第一章、解三角形1.2應(yīng)用舉例（閱讀與思考）海倫和秦九韶一、教學(xué)目標(biāo)理解海倫與秦九韶面積公式的推導(dǎo)過程。會(huì)用海倫與秦九韶面積公式解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題，體會(huì)海倫與秦九韶面積公式在處理與三角形三邊有關(guān)的面積問題上的優(yōu)越性。通過介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的人文精神，增強(qiáng)學(xué)生的名族自豪感。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：（1）海倫與秦九韶面積公式的推導(dǎo)；（2）應(yīng)用海倫與秦九韶面積公式解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題。難點(diǎn)：(1)如何合理選擇海倫與秦九韶面積公式解決實(shí)際問題；(2)理解海倫與秦九韶面積公式在處理與三角形三邊有關(guān)問題上的優(yōu)越性。三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）情景引入我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約

2、1202-1261）的著作數(shù)學(xué)九章卷五“田域類”里有個(gè)題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知為幾何.”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言為下列圖形：設(shè)計(jì)意圖：從數(shù)學(xué)史角度看，用自己本民族的語言敘述數(shù)學(xué)問題能夠拉近學(xué)生的心理距離，同時(shí)讓學(xué)生了解本民族的數(shù)學(xué)名詞，增強(qiáng)對(duì)本民族數(shù)文化的認(rèn)同感，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。用符號(hào)語言表述即為：在中，已知，求三角形的面積.思考：你有哪些方法呢？設(shè)計(jì)意圖：為引入秦九韶面積公式作鋪墊。（二）問題導(dǎo)學(xué)問題1、我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在九章算術(shù)中記錄了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊邊長，求它的面積，用現(xiàn)代面積公式可以表示為：你能推導(dǎo)該公式嗎？證

3、明：由余弦定理： ，即. 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從現(xiàn)有的知識(shí)出發(fā)推導(dǎo)秦九韶面積公式，體會(huì)任何數(shù)學(xué)公式的產(chǎn)生都是有理有據(jù)的，數(shù)學(xué)是自然的。問題2、已知三角形的三邊邊長，求它的面積，還可以借助海倫公式，其中，你能借助秦九韶面積公式推導(dǎo)海倫公式嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過等式變形，學(xué)會(huì)知識(shí)間的融會(huì)貫通，感受數(shù)學(xué)變中之不變的美感，讓學(xué)生體會(huì)中西數(shù)學(xué)家的珠聯(lián)璧合，交相輝映。東西方數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)的發(fā)展都作出應(yīng)有的貢獻(xiàn)，不同的表達(dá)方式講述了相同的內(nèi)容，學(xué)生可從中感受數(shù)學(xué)統(tǒng)一美，同時(shí)也增強(qiáng)了名族自豪感。追問1：你還有其他方法推導(dǎo)秦九韶、海倫面積公式嗎？設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生的探究興趣，若學(xué)生能探討出其他方法，則可以給學(xué)生展示

4、自己的機(jī)會(huì)，若學(xué)生課堂上無法解決，教師可以引導(dǎo)學(xué)生課后專研思考。解：如圖，則，所以則所以問題3、從公式的形式來看海倫與秦九韶面積公式的共同點(diǎn)是什么？哪個(gè)更簡潔？共同點(diǎn)：都是用三角形三邊來表示面積，從公式形式來看海倫公式更簡潔。追問2：秦九韶公式的結(jié)構(gòu)形式比較復(fù)雜，是不是秦九韶面積公式?jīng)]有海倫公式好用呢？如：在三角形ABC中，求三角形ABC的面積。哪個(gè)公式用起更方便呢？（7/2）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)在應(yīng)用公式解決問題時(shí)，不同公式的結(jié)構(gòu)特征在使用過程中的不同效果。（三）典例導(dǎo)析例、我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、

5、c，面積為S，則“三斜求積”公式為若，則用“三斜求積”公式求ABC的面積.解：根據(jù)正弦定理：由得，由得，則設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生會(huì)用秦九韶面積公式去求與三角形三邊有關(guān)的面積問題。追問：如果不用秦九韶面積公式，如何求該三角形面積呢？設(shè)計(jì)意圖：為引入變式題，海倫與秦九韶面積公式在有些問題的優(yōu)越性上作鋪墊。變式1：在中，若a+b=12，c=8，請(qǐng)用海倫公式求面積的最大值.解：由已知：，.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。.追問1：試一試用秦九韶面積公式求解，運(yùn)算量怎么樣？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)在使用海倫和秦九韶面積公式時(shí)，如何選擇。追問2：如果不用海倫與秦九韶面積公式，如何求該三角形面積的最大值呢？解：由余弦定理可得：,

6、，又所以當(dāng)，則，則所以設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)使用海倫公式在處理三邊相關(guān)的三角形面積最值問題上的優(yōu)越性。變式2：在中，若，請(qǐng)用秦九韶公式（三斜求積術(shù)）求面積的最大值.解：由得，當(dāng)即時(shí)，.追問1：如果用海倫公式求解，運(yùn)算量怎么樣？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)在使用海倫和秦九韶面積公式如何選擇。追問2：如果不用海倫與秦九韶面積公式，如何求該三角形面積的最大值呢？解：由余弦定理可得：,，設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)使用秦九韶公式在處理三邊相關(guān)的三角形面積問題上的優(yōu)越性。（四）反思導(dǎo)悟1、海倫與秦九韶面積公式是如何推導(dǎo)的？2、海倫與秦九韶面積公式的共同點(diǎn)是什么？一般用于處理什么問題？3、在選擇海倫公式還是秦九韶公式時(shí)，選

7、擇的依據(jù)一般是什么？（五）反饋導(dǎo)練1.在ABC中，角A，B，C，所對(duì)邊分別為a，b，c，若a=12cm，b=14cm，c=16cm，則ABC的面積是多少？設(shè)計(jì)意圖：三條邊較大的三角形，用海倫公式便于計(jì)算2.在ABC中，角A，B，C，所對(duì)邊分別為a，b，c，若a=，b=，c=，則ABC的面積是多少？設(shè)計(jì)意圖：含根號(hào)的三條邊用“三斜求積”公式便于計(jì)算；在ABC中，角A，B，C，所對(duì)邊分別為a，b，c，若a=15，b=8，c=17，則ABC的面積是多少？60設(shè)計(jì)意圖：三邊長是三個(gè)勾股數(shù)，其意圖在于考察學(xué)生的觀察、靈活應(yīng)變的能力。4.數(shù)書九章中對(duì)已知三角形三邊長求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即.現(xiàn)有周長為的滿足，用以上給出的公式求得的面積為 .設(shè)計(jì)意圖：會(huì)用秦九韶面積公式求三角形的面積。5.定義一種四邊形，四邊長為整數(shù)，且它的面積也為整數(shù)的四邊形，稱之為海倫秦九韶四邊形下列四邊形中是海倫秦九韶四邊形的為（ A ）設(shè)