高中數(shù)學(xué)必修二 9.2.4 總體離散程度的估計(jì) 導(dǎo)學(xué)案

1、9.2.4 總體離散程度的估計(jì)1.會(huì)用樣本的極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體。2. 通過(guò)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的研究，滲透統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想和方法。3.培養(yǎng)學(xué)生收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、歸納和整理數(shù)據(jù)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。重點(diǎn)：方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。 難點(diǎn)：如何利用樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)總體數(shù)據(jù)作出分析及判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。一、溫故知新(1)眾數(shù)定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè),也可能沒(méi)有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(2)中位數(shù)定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)

2、是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.(3)平均數(shù)定義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商.數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)為xn=x1+x2+xnn.特征:平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的平均水平,任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái),平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)的可靠性降低.1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率

3、分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).2、在樣本中，有50的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50的個(gè)體大于或等于中位數(shù)， 因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以 估計(jì)中位數(shù)的值。3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點(diǎn).頻率直方圖中每個(gè)小長(zhǎng) 方形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn) 名稱(chēng)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn);容易得到它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;無(wú)法客觀地反映總體特征中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極

4、端數(shù)據(jù),即排序靠前或靠后的幾個(gè)數(shù)據(jù)的影響;容易得到,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對(duì)極端值不敏感平均數(shù)能反映出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)越“離群”,對(duì)平均數(shù)的影響越大一、情境與問(wèn)題樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息. 平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，很多時(shí)候還不能使我們做出有

5、效決策. 因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度. 方差、標(biāo)準(zhǔn)差1.思考(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時(shí)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷,因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).例如:有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下: 甲:78795491074 乙:9578768677如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?甲、乙兩人本次射擊的平均成績(jī)分別為多少環(huán)?他們的平均成績(jī)一樣嗎?提示:經(jīng)計(jì)算得x甲=110(7+8

6、+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得x乙=7.他們的平均成績(jī)一樣.難道這兩個(gè)人的水平就沒(méi)有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績(jī)的頻率分布條形圖來(lái)說(shuō)明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績(jī)比較分散,乙成績(jī)相對(duì)集中.(2)現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的. 如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來(lái)近似地代替總體分布是類(lèi)似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.(3)考慮一個(gè)容量為2的樣本:x

7、1s乙2.這說(shuō)明甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員的最大速度的平均值相同,但乙比甲更穩(wěn)定,故乙比甲更優(yōu)秀.跟蹤訓(xùn)練2.答案:118解析:因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)x=5,所以樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2xn+1的平均數(shù)為2x +1=25+1=11.方差為22s2=42=8.例1 解：把男生樣本記為x1,x2,，x23,其平均數(shù)記為 ，方差記為 ;把女生樣本記為y1,y2,.y27,其平均數(shù)記為 ,方差記為 ;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ，方差記為 .根據(jù)方差的定義，總樣本方差為男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59, 女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生

8、、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得1 所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6達(dá)標(biāo)檢測(cè)1. 答案:B解析:在A中,平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo),故A不可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在B中,標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,故B可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在C中,最大值是一組數(shù)據(jù)中最大的量,故C不可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在D中,中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分,用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”,故D不可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度,故選B.2解析:由平均值為1可得a+0+1+2+35=1,解得a=

9、-1,所以樣本方差s2=(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)25=2,故選D.答案:D3.(多選)解析:由題意可知,甲的成績(jī)?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績(jī)?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績(jī)的平均數(shù)均為6,A錯(cuò);甲、乙的成績(jī)的中位數(shù)分別為6,5,B錯(cuò);甲、乙的成績(jī)的方差分別為15(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2=2,15(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2=125,C對(duì);甲、乙的成績(jī)的極差均為4,D錯(cuò).答案:ABD4. 答案:丙解析:分析表格數(shù)據(jù)可知,乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多,又丙的方差比乙小,說(shuō)

10、明丙成績(jī)發(fā)揮得較為穩(wěn)定,所以最佳人選為丙.5.分析可以根據(jù)簡(jiǎn)化公式進(jìn)行計(jì)算,也可以把每個(gè)數(shù)據(jù)減去一個(gè)數(shù),用找齊法計(jì)算.解:(解法一)x2=542+552+532+562+572+58263 083.17,x=55.5,故s2=3 083.17-55.52=2.92.(解法二)每個(gè)數(shù)據(jù)減去55得到新的數(shù)據(jù)組-1,0,-2,1,2,3,該組數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)組的方差相等,且x2=1+0+4+1+4+963.17,x=-1+0-2+1+2+36=0.5,故s2=3.17-0.52=2.92.6.解(1)甲組成績(jī)的眾數(shù)為90，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70，從成績(jī)的眾數(shù)比較看，甲組成績(jī)好些(2)eq xto(x

11、)甲eq f(1,251013146)(5026057010801390141006)eq f(1,50)4 00080，eq xto(x)乙eq f(1,441621212)(5046047016802901210012)eq f(1,50)4 00080.seq oal(2,甲)eq f(1,251013146)2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，seq oal(2,乙)eq f(1,441621212)4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.eq xto(x)甲eq xto(x)乙，seq oal(2,甲)seq oal(2,乙)，甲組成績(jī)較乙組成績(jī)穩(wěn)定，故甲組好些(3)甲、乙