2022年湘教版七下《垂線》教案

1、第 1 課時(shí)垂線1理解垂線、垂直的概念；(重點(diǎn)、難點(diǎn))2掌握垂線的兩條性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用(重點(diǎn)、難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖是我們教室的一幅圖片，黑板相鄰兩邊的夾角等于多少度？這樣的兩條邊所在的直 線有什么位置關(guān)系？二、合作探究探究點(diǎn)一：垂線【類型一】 垂直與方程綜合求角的度數(shù)如圖，MONO，OG 平分MOP，PON3MOG，求GOP 的度數(shù)解析：由于PON3MOG，假設(shè)設(shè)MOGx，那么PON3x.OG 平分MOP可得POGx.又由于 MONO，利用MONMOGGOPPON360可列出關(guān) 于 x 的方程，從而求得 x 的值，進(jìn)而解決問(wèn)題解：設(shè)MOGx，那么PON3MOG3x.因?yàn)?MONO，所以MON9

2、0. 因?yàn)?OG 平分MOP，所以GOPMOGx.因?yàn)镸ONMOGGOPPON 360，所以 90 xx3x360，解得 xGOP54.方法總結(jié)：當(dāng)題目中出現(xiàn)形如“k，“k1這類等式的時(shí)候，常考慮設(shè)未知數(shù)，然后設(shè)法找出一個(gè)相等關(guān)系列出關(guān)于未知數(shù)的方程，從而解決問(wèn)題 【類型二】 利用垂線的概念判斷直線垂直如下圖，OAOC 于點(diǎn) O，AOBCOD，試判斷 OB 和 OD 的位置關(guān)系，并 說(shuō)明理由解析：由于 OAOC ，根據(jù)垂直的定義，可知 AOC 90，即 AOBBOC 90 .又AOBCOD，那么CODBOC90，即BOD90，再根據(jù)垂直的定義，得 出 OBOD.解：OBOD.理由如下：因?yàn)?O

3、AOC，所以AOC90，即AOBBOC90. 因?yàn)锳OBCOD，所以CODBOC90，所以BOD90，所以 OBOD.方法總結(jié)：由垂直這一條件可得兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角為直角，反過(guò)來(lái)，由兩條直線相交構(gòu)成的角為直角，可得這兩條直線互相垂直判斷兩條直線垂直最根本的方法就是說(shuō) 明這兩條直線的夾角等于 90.探究點(diǎn)二：垂線的性質(zhì)【類型一】 利用垂線的性質(zhì)判斷兩直線平行：如圖，CDAB 于 D，點(diǎn) E 為 BC 邊上的任意一點(diǎn)，EFAB 于 F，且12， 那么 BC 與 DG 平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由解析：要說(shuō)明 BCDG，可說(shuō)明2BCD，而12，故只需說(shuō)明1BCD， 這可由 EF 與 CD 都與 AB 垂

4、直，從而得出 EF 與 CD 平行而得到解：BCDG.理由如下：因?yàn)?CDAB，EFAB，所以 CDEF，所以1BCD(兩 直線平行，同位角相等)又因?yàn)?2()，所以2BCD，所以 BCDG(內(nèi)錯(cuò)角相等， 兩直線平行)方法總結(jié)：要說(shuō)明兩直線平行，除可根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角判定外，還可由垂 線的性質(zhì)得到平行【類型二】 利用垂線的性質(zhì)判斷兩直線垂直：如圖，DGBC，ACBC，EFAB，12，試說(shuō)明：CDAB. 性 質(zhì) 解析：由 DGBC，ACBC 可得 DGAC，再結(jié)合條件可得出 EFDC，而 EFAB， 從而有 CDAB.解：DGBC，ACBC，DGAC，23.12，13，EF DC.EF

5、AB，DCAB.方法總結(jié)：判斷兩條直線垂直的方法有兩種：根據(jù)垂直的定義，說(shuō)明相交所成四個(gè)角中有一個(gè)角為直角；利用垂線的性質(zhì)“在同一平面，如果一條直線垂直于兩條平行線中的 一條，那么這條直線垂直于另一條三、板書設(shè)計(jì)垂線的定義 在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行垂線 垂線的在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條本節(jié)課學(xué)習(xí)了垂線的概念和垂線的性質(zhì)，垂直是相交的一種特殊情況，要說(shuō)明兩條相交線的位置關(guān)系，一般都是垂直(如本節(jié)課的例 2)垂線的兩條性質(zhì)中，不要遺漏條件“在同一平面內(nèi)，以保證定理的精確性對(duì)于垂線的概念和性質(zhì)，要讓學(xué)生理解記憶 第 1 課時(shí)教學(xué)目

6、標(biāo)【知識(shí)與技能】了解勾股定理的文化背景，體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程.【過(guò)程與方法】在探索勾股定理的過(guò)程中，開展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會(huì)與人合作并能 與他人交流思維的過(guò)程和探究結(jié)果，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.【情感態(tài)度】1.通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)的文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.2.在探究活動(dòng)中，體驗(yàn)解決問(wèn)題的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識(shí)和探索精神.教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】探索和證明勾股定理.【教學(xué)難點(diǎn)】用拼圖的方法證明勾股定理.課前準(zhǔn)備無(wú)教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)2002 年在北京召開了第 24 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì) 議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì).這就是本屆

7、大會(huì)會(huì)徽的圖案教師出示圖片或照片.1你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎？2你聽(tīng)說(shuō)過(guò)“勾股定理嗎？【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生欣賞圖片時(shí)，教師應(yīng)對(duì)圖片中的圖案進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明：這個(gè)圖案是我國(guó) 漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，被譽(yù)為“趙爽弦圖.通過(guò)對(duì)圖片的觀察，為學(xué) 生積極主動(dòng)投入到探索活動(dòng)中創(chuàng)設(shè)情境，為探索勾股定理提供背景材料.二、思考探究，獲取新知畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家.相傳在 2500 年前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用 磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你也觀察一下類似的圖案教材 P 圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？22【教學(xué)說(shuō)明】教師與學(xué)生一道分析教材 P 圖 17.1-2，右邊的三個(gè)正方形及直角三角

8、形22是從左邊的等腰三角形的圖案中截取出來(lái)的，將大正方形沿對(duì)角線分成四個(gè)小直角三角形， 再把兩個(gè)小正方形沿豎直對(duì)角線分成兩個(gè)小直角三角形，從而可發(fā)現(xiàn)其中特征.【歸納結(jié)論】等腰直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.問(wèn)題等腰直角三角形 三邊的關(guān)系特征是否也適用于其它的直角三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察 P 圖 17.1-3，運(yùn)用23割補(bǔ)法分別計(jì)算正方形 A、B、C 和正方形 A、B、C的面積，看看它們之間有什么關(guān)系？ 【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生自主探究或相互交流探尋出正方形 C 和 C的面積，教師巡視，針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知方法引導(dǎo)學(xué)生選用不同的方法得出它們各自的面積.一方面，正方形 C 的面積為：52-41 1

9、 23=25-12=13；另一方面也有正方形 C 的面積為：4 23+1=13，而2 2這兩種方法都可以從圖中直接獲得，同樣可得到正方形 C的面積為 34.通過(guò)觀察上述問(wèn)題的探討，假設(shè)將直角三角形的兩直角邊記為a，b，斜邊為 c，那么應(yīng) 有 a2+b2=c2，即直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.上述結(jié)論我們都是通過(guò)特例 而獲得的，是否對(duì)所有的直角三角形都能成立呢？有沒(méi)有方法來(lái)證明呢？做一做將一張白紙對(duì)折，再對(duì)折，然后隨意畫一個(gè)直角三角形，用剪刀沿畫線裁出四個(gè)全等的 直角三角形，在較大直角邊處標(biāo)記 b，較短直角邊處標(biāo)記 a，斜邊標(biāo)記 c，然后按圖示方式 拼圖.梯 想一想1中間小正方形邊

10、長(zhǎng)是多少？它的面積呢？2你能由大正方形的面積的兩種不同計(jì)算方法探討出三角形三邊 a、b、c 的數(shù)量關(guān) 系嗎？不妨試試看.【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)動(dòng)手操作，可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并在解決問(wèn)題過(guò)程中體驗(yàn)探究的樂(lè) 趣和成功的快樂(lè)，在快樂(lè)中學(xué)習(xí)，增長(zhǎng)知識(shí).最后師生共同探討：S大正方形=c2=412ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2.即 a2+b2=c2.有：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.教師簡(jiǎn)要闡述：現(xiàn)有記載的證明勾股定理的方法多達(dá)數(shù)百種，前面我們利用的面積法證 明勾股定理的方法實(shí)際上是我國(guó)古人趙爽的證法，所拼成的圖案稱為“趙爽弦圖.三、運(yùn)用新知，深化理解1.你能利用如下圖的

11、圖形來(lái)證明勾股定理嗎？不妨試試看，并與同伴交流.2.你能用勾股定理解決下面的問(wèn)題嗎？1在 eq oac(,Rt)ABC 中，ACB=90，AC=7，BC=24，試求斜邊 AB 的長(zhǎng)； 2在 eq oac(,Rt)ABC 中，ACB=90，AB=10，BC=6，試求直角邊 AC 的長(zhǎng). 【教學(xué)說(shuō)明】這兩道題先由學(xué)生自主完成，然后由教師進(jìn)行評(píng)講.1 1【答案】1.解：S a+ba+b a2+b2+2ab ，2 2又 S 梯形1 1 1 1ab+ ab+ c2= 2ab+c2， 2 2 2 2綜上 a2+b2c2.有：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.解：1由勾股定理有：在 eq oac

12、(,Rt)ABC 中，AB2=AC2+BC2，即 AB25.2由勾股定理有：在 eq oac(,Rt)ABC 中，AB2=AC2+BC2，即 AC2AB2-BC2，AC8.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲？你還能想到一些證明勾股定理的方法嗎？與同伴交流. 課后作業(yè)1.請(qǐng)查閱資料或上網(wǎng)，收集一些證明勾股定理的方法，并與同伴交流.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí).教學(xué)反思新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)勾股定理這局部的教學(xué)要求與舊大綱的要求不同，新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)勾股定理 這局部的教學(xué)要求是:體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程,會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.勾股定理 是中學(xué)數(shù)學(xué)幾個(gè)重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，既是直角三角形 性質(zhì)的拓展，也是后續(xù)學(xué)習(xí)“解直角三角形數(shù)與形，能夠把形的特征三角形中一個(gè) 角是直角轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系三邊之間滿足 a2+b2=c2，堪稱數(shù)形結(jié)合的典范，在理論上占有 重要地位.另外八年級(jí)學(xué)生已具備一定的分析與歸