典型方程和定解條件的推導(dǎo)定稿

1、典型方程和定解條件的推導(dǎo)定稿第1頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一一. 均勻弦的橫振動方程的建立二. 傳輸線方程(電報方程)的建立三. 電磁場方程的建立四. 熱傳導(dǎo)方程的建立 提要：五. 舉例第2頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)1.1 基本方程（泛定方程）的建立 物理模型（現(xiàn)象、過程） 數(shù)學(xué)形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培養(yǎng)分析、歸納、綜合、演繹、抽象、猜測、試探、估算的科學(xué)方法。 步驟：(1）確定研究對象（物理量），建立合適的坐標(biāo)系； （2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰部分間的

2、作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化簡整理，得到偏微分方程。 不含初始條件不含邊界條件第3頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一物理狀態(tài)描述: 設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動：雖然經(jīng)典，但 極具啟發(fā)性。一. 均勻弦的橫振動方程的建立第4頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一X1、建立坐標(biāo)系 選定微元uodsMNMNxx+dx2、微元ds的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）TT 隔離物體法第5頁，共79頁，2022年，5月2

3、0日，18點41分，星期一X1、建立坐標(biāo)系 選定微元uodsMNMNxx+dx2、微元ds的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）TT (1)(2)第6頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一 馬克思在數(shù)學(xué)手稿中指出：微分是“揚(yáng)棄了的或消失了的差值”。哲學(xué)上的“揚(yáng)棄”是指“既被克服又被保存”，是包含著肯定的否定。在導(dǎo)數(shù)定義中，分子y 和分母x 都被揚(yáng)棄了，就是說，它們都消失為 0 ，從而有限大小的 x 和 y 都被克服，差商 但是，它們的依賴關(guān)系（比值）卻保存下來了。我們記揚(yáng)棄了的（或消失了的）那末，導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)數(shù)第7頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一從運(yùn)動的觀

4、點看導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)關(guān)于函數(shù)的某種形式的極限 （實質(zhì)）函數(shù)在某點上的變化率 （數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）某點上切線的斜率 （幾何意義）導(dǎo)數(shù) “只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程：運(yùn)動?！?摘恩格斯.自然辯證法第8頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一3、忽略與近似(1)(2)dsTT o 對于小振動：所以有：第9頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一3、忽略與近似(1)(2)對于小振動：于是（1）式變?yōu)椋捍耄?）式變?yōu)椋阂话阏f來， ， 將 g 略去，上式變?yōu)榈?0頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第11頁，共79

5、頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一上式實際上可以明確表示為：令 ，于是有：一維波動方程4、整理化簡第12頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一L二. 傳輸線方程(電報方程)的建立 現(xiàn)在考慮電流一來一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體,每單位長導(dǎo)線所具有的電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別以 R、L、C、G 表示。 對于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的電流相等。但對于較高頻率的電流（指頻率還未高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導(dǎo)線中的自感和電容的效應(yīng)不能被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化。第13頁，共79頁，

6、2022年，5月20日，18點41分，星期一物理狀態(tài)描述: 設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻 R、電感 L、電容 C 和電導(dǎo) G 是按單位長度計算其對應(yīng)的物理量，并且在 x+dx 范圍之內(nèi)的所有元件無論布局如何，均認(rèn)為其長度為 dx.第14頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一電容元件：電感元件：換路定理:在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。電路準(zhǔn)備知識第15頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一+LLCC+-與同學(xué)們商榷的幾個問題：（P4-5）（1）設(shè)某時刻 t ，輸入與輸出端的對應(yīng)關(guān)系是否合理?（2）電流 作為初始條件，在流經(jīng)電

7、感時是否要變化？（3）按照圖示，電容與電導(dǎo)兩端的電壓如何界定（注意P5. -1.5式）？P電路的節(jié)點？”是否合理？“另外,由基爾霍夫第一定律,流入節(jié)點的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點的電流,即第16頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一梁昆淼先生的做法： “今考慮一來一往的高頻傳輸線，每單位長一來一往所具有的電阻，電感，電容，電漏分別記以 R，L，C，G。于是亦即亦即將 作用于第一式, 作用于第二式,兩結(jié)果相減,就消去了 而得 的方程同理,消去 ,得到 的方程第17頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一 設(shè)某時刻 t ，對應(yīng)關(guān)系如下：左端： ； 右端:+LLCC+

8、-輸入端輸出端第18頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一+LLCC+-由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：流入流出第19頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一+LLCC+-由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：整理后得到：略去無窮小量得：第20頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:(1.4)(1.5)聯(lián)立上述兩個方程（代入消元法），注意假定 與 都對 是二次連續(xù)可微的，即可得到：第21頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一基本電磁場

9、量 場的物質(zhì)方程 Maxwell方程電場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度介質(zhì)的介電常數(shù)導(dǎo)磁率導(dǎo)電率傳導(dǎo)電流的面密度電荷的體密度Vector difference operator三. 電磁場方程的建立第22頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第23頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第24頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一補(bǔ)充資料第25頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第26頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第27頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第28頁

10、，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一補(bǔ)充資料第29頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第30頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第31頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第32頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第33頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第34頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第35頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一補(bǔ)充資料第36頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第37頁，共79

11、頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第38頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第39頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第40頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第41頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一目標(biāo): 利用上述關(guān)系,分別解出 、 。由將 代入上式，得 對上式兩邊求旋度， 得再將 代入上式，得 這是一個關(guān)于磁場強(qiáng)度的二階微分方程第42頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一為進(jìn)一步化簡，利用 Hamilton 算子的運(yùn)算性質(zhì)磁場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度為零。如法炮制，可得

12、關(guān)于電場強(qiáng)度的方程如果介質(zhì)不導(dǎo)電（=0），上述方程簡化為：三維波動方程將 代入上式，得 第43頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一目標(biāo): 建立關(guān)于電位 u 的方程 由電感應(yīng)強(qiáng)度 與電場強(qiáng)度 的定義知：（電荷體密度）而電場強(qiáng)度與電位之間的關(guān)系，由下式確定由此可得：依據(jù)Hamilton 算子的運(yùn)算性質(zhì)：這個非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程若靜電場是無源的，即 ，上式又可寫成這個齊次方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程上式可寫成第44頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一物理模型: 均勻且各向同性的導(dǎo)熱體, 在傳熱過程中所滿足的微分方程.研究對象:

13、 熱場中任一閉曲面 S ,體積為 V,熱場V(體積)S(閉曲面) t 時刻, V 內(nèi)任一點 M(x,y,z) 處 的溫度為 u(x,y,z,t).M 曲面元 ds 的法向 (從V內(nèi) V外) ds物理規(guī)律: 由熱學(xué)的(Fourier)實驗可知: dt 時間之內(nèi),流經(jīng)面元 ds 的熱量 dQ, 與時間 dt 成正比； 曲面面積 ds 成正比； 溫度 u 沿曲面法方向的方向 導(dǎo)數(shù) 成正比。數(shù)學(xué)表述為：四. 熱傳導(dǎo)方程的建立第45頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一MdsV(體積)S(閉曲面)熱場數(shù)學(xué)表述為：k=k(x,y,z). 物體的傳熱系數(shù),各向均勻且同性時為常數(shù). “”號

14、,表示熱量流動的方向,與溫度梯度的正方向(grad u) 相反.從 t1 t2 ,通過曲面元 S ,流入?yún)^(qū)域 V 的熱量為必然等于 V 內(nèi)各點所吸收的熱量(熱量守恒) 上式中的 ，在熱學(xué)中的意義？ 為何“”號又不見了？ 第46頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一數(shù)學(xué)處理：由于 S 為閉曲面，假設(shè) u(x,y,z) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 那么 依據(jù)奧斯特羅格拉德斯基公式因此有：第47頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一由于 t1 , t2 以及區(qū)域 V 的任意性 , 且被積函數(shù)為連續(xù), 因此有若令: , 那么上述方程可寫為三維熱傳導(dǎo)方程第48頁，共79

15、頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一討論:(1). 若 V 內(nèi)有熱源, 強(qiáng)度為 F(x,y,z,t) ,則熱傳導(dǎo)方程為其中(2). 若導(dǎo)熱體為一根細(xì)桿 , 則(3). 若導(dǎo)熱體為一薄片 , 則第49頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一(4). 若熱場為一穩(wěn)恒場(溫度趨于平衡狀態(tài)) , 則與之對應(yīng)有穩(wěn)恒溫度場內(nèi)的溫度滿足Laplace方程.(5). 在研究氣體、液體的擴(kuò)散過程時 , 若擴(kuò)散系數(shù)為常量，那么所導(dǎo)出的 擴(kuò)散方程，形式上與熱傳導(dǎo)方程相同。 即這里擴(kuò)散系數(shù)濃度第50頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一一. 均勻弦的橫振動方程二. 傳

16、輸線方程(電報方程) 一維波動方程 高頻傳輸線方程三. 電磁場方程 三維波動方程四. 熱傳導(dǎo)方程(場點 t 時刻的溫度分布) 三維熱傳導(dǎo)方程(振幅)(電流、電壓)第51頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一1.2 初始條件與邊界條件上一節(jié)談到：物理規(guī)律 數(shù)學(xué)表述；我們還需要將 具體條件 數(shù)學(xué)表述出來。 所提出的具體條件，應(yīng)該恰如其分地說明系統(tǒng)的初始狀態(tài)，以及邊界上的物理情況，不能提出過多的條件，也不能提出過少的條件。 從物理的角度來說，只要確定了系統(tǒng)的初始狀態(tài)、邊界上的物理情況，那末其后的發(fā)展，也必是確定的了；換言之，其相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該有唯一的解。 一、初始條件系統(tǒng)內(nèi)部

17、描述與時間有關(guān)的初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)表述。（1）弦振動第52頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一（2）熱傳導(dǎo)特別說明：Poisson 方程，Laplace 方程，都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始條件無關(guān)，可不 提初始條件。列出初始條件，一般都不至于感到困難，不過有一點必須強(qiáng)調(diào)：初始條件應(yīng)當(dāng)說明整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別地點的初始狀態(tài)！因為e 是桿右端的初始位移，并不是桿上各處的初始位移?？紤]到桿的初始伸長是均勻的，t=0 時桿被拉長了e ，故單位長度被拉長 ,于是有第53頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一 二、邊界條件具體物理問題的邊界約束狀態(tài)。以弦

18、振動為例，弦振動時，其端點（以 x=a 表示這個端點）所受到的約束情況，通常有以下三類右端點在振動過程中始終保持不動。（1）固定端（右端）（2）自由端（右端）右端點在振動過程中不受 u 方向的外力，從而這個端點在位移方向上的張力為 0。第54頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一（3）彈性支承端第55頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一又如熱傳導(dǎo)問題：V(體積)S(閉曲面)Mds第56頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第57頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一本課程內(nèi)容，只涉及線性邊界條件，且僅包括以下三類

19、。第一類邊界條件：物理條件直接規(guī)定了 u 在邊界上的值，如第二類邊界條件：物理條件并不直接規(guī)定了 u 在邊界上的值，而是規(guī)定了u 的法向微商在 邊界上的值，如第三類邊界條件：物理條件規(guī)定了 u 與un 在邊界上值之間的某個線性關(guān)系，如第58頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一1.3 定解問題的提法1. 二階線性偏微分方程的解二階線性偏微分方程的最一般形式為（n 個自變量）對于只有兩 個自變量的情況，上式則變化為（1.33）（1.34）線性偏微分方程（1.33）的重要特征之一，就是從本身的形式上，將疊加原理表現(xiàn)得淋漓盡致。第59頁，共79頁，2022年，5月20日，18點4

20、1分，星期一第60頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一結(jié)論：如果一個函數(shù) u ，具有某個偏微分方程中所要求的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并代入該方程， 使其變成為恒等式，則此函數(shù)被稱為該方程的解（古典解）。2. 幾個名詞簡介第61頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一3. 定解問題的穩(wěn)定性與適定性物理問題“翻譯”為數(shù)學(xué)問題，是否符合客觀實際，尚須加以驗證?。?）解的存在性定解問題是否有解。（2）解的唯一性是否只有一個解。（3）解的穩(wěn)定性定解條件發(fā)生微小變化，解亦只有微小變化。方法：試算+實驗本書所涉及的定解問題，都是古典的，適定的。“+”擬合上述：解的存在性、唯一

21、性、穩(wěn)定性，被通稱為適定性。第62頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一例. 設(shè)長為 的均勻細(xì)弦，兩端固定，初始位移為 0 。開始時，在 處受到?jīng)_量為 的作用，試寫出其定解問題。 解：建立坐標(biāo)系，并選取研究對象如圖示。 其一維波動方程為：泛定方程（1）由兩端固定，知：邊界條件（2）為了導(dǎo)出初始條件，考慮：由初始位移為 0，知由開初時，在 處受到?jīng)_量 的作用知上的動量改變，即為沖量，于是有對于 點周圍足夠小的 ，弦段 第63頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一為了導(dǎo)出初始條件，考慮：由初始位移為 0，知由開初時，在 處受到?jīng)_量 的作用知上的動量改變，即為

22、沖量，于是有對于 點周圍足夠小的 ，弦段 質(zhì)量速度由此可見：初始條件（3）沖量：力的時間作用效應(yīng) 。動量定理：動量的改變=沖量的作用。受沖擊時的初位移受沖擊時的初速度第64頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一最后可得定解問題泛定方程（1）邊界條件（2）初始條件（3）第65頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一例 有一均勻桿，只要桿中任一小段有縱向位移或速度，必定引致鄰段的壓縮或伸 長，這種伸縮傳開了去，就有縱波沿著桿傳播。試導(dǎo)出它的振動方程。分析：第66頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一第67頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一解 泛定方程的推導(dǎo)，設(shè)桿的橫截面積為 S ，楊氏模量為 E，密度為 。第68頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一解 泛定方程的推導(dǎo)，設(shè)桿的橫截面積為 S ，楊氏模量為 E，密度為 。如圖建立坐標(biāo)系，并選取任意微元。由Hooke 定律，微元所受到的彈性力為依據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得第69頁，共79頁，2022年，5月20日，18點41分，星期一這就是桿在平衡位置，具有橫坐標(biāo)為 的橫截面上的縱向位移量 所滿足的偏微分方程。它是一維齊次波動方程。（1）泛定方程（2）初始條件第70頁，共79頁，2022年，5月20日，18點4