人教版數(shù)學(xué)高二《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》 測(cè)試

1、即Q(ybxa)2來(lái)刻畫(huà)出n個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差的平方和,顯打印版回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用知識(shí)梳理一線性回歸方程的確定如果一組具有相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x,y),(x,y),(x,y),作出散點(diǎn)圖大致分布在一1122nn條直線附近,那么我們稱這樣的變量之間的關(guān)系為線性相關(guān)關(guān)系(也稱一元線性相關(guān)),這條直線就是回歸直線,記為ybxa那么如何求得參數(shù)a和b使得各點(diǎn)與此直線的距離的平方和為最小,即如何求得線性回歸方程呢?在所求回歸直線方程ybxa中,當(dāng)x取x時(shí)，ybxa與實(shí)際收集到的數(shù)據(jù)y之iiii間的偏差為yyy(bxa),偏差的平方為(yy)2y(bxa)2(如圖1).iiiiiiiin

2、iii1然Q取最小值時(shí)的a,b的值就是我們所求的:(xx)(yy)xynxy(xx)xnx2bnniiiii1i1nn22ii1x,yn1y為樣本平均數(shù)，(x,y)稱為樣本點(diǎn)ni1aybx其中(x,y)為樣本數(shù)據(jù),xiii1niinii中心，且所求線性回歸直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心（如圖2所示）當(dāng)回歸直線斜率b0時(shí),為線性正相關(guān),b0時(shí)為線性負(fù)相關(guān).應(yīng)注意,這個(gè)最小距離不是通常所指的各數(shù)據(jù)的點(diǎn)(x,y)到直線的距離,而是各數(shù)ii據(jù)點(diǎn)(x,y)沿平行y軸方向到直線的距離（如圖1所示）iiyybxayiy(yy)2ybxaiiyyixoxoxix圖2Q(ybxa)2展開(kāi),再合并,然后配方整理,從而求得a,

3、b.圖1對(duì)于上面參數(shù)a和b的求法原理及方法是簡(jiǎn)單的,但是運(yùn)算量較大,需要將niii1例如,當(dāng)a,b,m,n取怎樣實(shí)數(shù)時(shí),(an)2(bm)2k的值為最小,顯然當(dāng)am,bn時(shí)最小值為k,像這樣配方求最值的方法是經(jīng)常用到的,線性回歸方程ybxa中的參數(shù)b,a就是這樣求出的.打印版Q(,)(yx)2取最小值時(shí),的值打印版教材中用了添項(xiàng)法較為簡(jiǎn)捷的求出了截距a和斜率b分別是使niii1(xx)(yy)(xx)求得ni1niii2，yx的值，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)其解法i1線性回歸方程的確定是進(jìn)行回歸分析的基礎(chǔ)二回歸分析：是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱(xx)(yy)兩個(gè)變

4、量之間線性相關(guān)關(guān)系的樣本相關(guān)系數(shù)rni1ii衡量線性相(xx)(yy)nn2ii2i1i1性關(guān)系的強(qiáng)弱，由于分子與斜率b的分子一樣，因此，當(dāng)r0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r0時(shí)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)當(dāng)r的絕對(duì)值接近，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性很強(qiáng)；當(dāng)r的絕對(duì)值接近，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系規(guī)定當(dāng)r0.75時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系解釋變量與隨機(jī)誤差對(duì)預(yù)報(bào)精度的影響以及殘差分析（1）有關(guān)概念線性回歸模型ybxae其中a和b為模型的未知參數(shù)；x稱為解釋變量，y稱為預(yù)報(bào)變量；E(e)0,D(e)2yeyyiiyiiybxae是y與ybxa之間的誤差，e叫隨機(jī)誤差。yiox（2）隨機(jī)誤差

5、的方差估計(jì)值衡量回歸方程的預(yù)報(bào)精度隨機(jī)誤差的估計(jì)值為eiyiyiyibxiaixei稱為相應(yīng)于樣本點(diǎn)(xi,yi)的殘差（如圖）圖321e0，由于隨機(jī)誤差的均值E(e)n因此，可以用隨機(jī)誤差的方差估計(jì)值121eiQ(a,b)（其中ni1i2n2n2ni1n2，殘差平方和為Q(a,b)(yy)2）衡量回歸方程的預(yù)報(bào)精度，顯然2越niii1小，預(yù)報(bào)精度越高。（3）通過(guò)殘差分析判斷模型擬合效果由eiyiyiyibxia計(jì)算出殘差e1，e2，en，然后選取橫坐標(biāo)為編號(hào)、或解釋變量或預(yù)報(bào)變量，縱坐標(biāo)為殘差作出殘差圖通過(guò)圖形分析，如果樣本打印版打印版點(diǎn)的殘差較大，就要分析樣本數(shù)據(jù)的采集是否有錯(cuò)誤；另一方面

6、，可以通過(guò)殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域的寬窄，說(shuō)明模型擬合效果，反映回歸方程的預(yù)報(bào)精度3相關(guān)指數(shù)R2反應(yīng)模型的擬合效果(yy)(yy)(yy)(yy)(yy)R21n2iii1n2iinn2iiiii1i1n2ii2i1（1）變量理解：i1(yy)nii2為總偏差平方和，表示解釋變量和隨機(jī)誤差產(chǎn)生的總的效應(yīng)；(yy)2為殘差平方和，表示了隨機(jī)誤差效應(yīng)；i1niii1(yy)(yy)nni1iiii2i12，表示了解釋變量效應(yīng)(yy)n，反映了隨機(jī)誤差對(duì)預(yù)報(bào)變量（總效應(yīng)）的貢獻(xiàn)率；（）模型擬合效果n2iii1(yy)2iii1(yy)(yy)R21n2iii1n2iii1反映了解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量（總

7、效應(yīng)）的貢獻(xiàn)率；(yy)n越接近0），表示回歸的效果越好，因此，R2越接近（即niii1(yy)2ii2i1即解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)三非線性回歸的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題（1）作散點(diǎn)圖確定曲線模型根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖（如圖），可見(jiàn)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系而是分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線ycec2x的周圍，1也可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某二次o曲線ycx2c的附近34（2）非線性轉(zhuǎn)化為線性這時(shí)通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系ycec2x1變?yōu)榫€性關(guān)系z(mì)cxlnc；通過(guò)換元把二次函數(shù)ycx2c關(guān)系變換為2134線性關(guān)系yctc在這兩種情況下就可以利用線性回歸模型，建立y和x之34間的非線性回歸方程了（3）比較兩種模型的擬合效果打印版打印版對(duì)于給定的樣本點(diǎn)(x,y),(x,y),(x,y),1122nn可以通過(guò)轉(zhuǎn)換后的對(duì)應(yīng)數(shù)表作散點(diǎn)圖來(lái)確定線性回歸的擬合情況，判斷選用哪一種曲線模