幾類不同增長的函數(shù)模型二

1、幾類不同增長的函數(shù)模型二第1頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一 1859年，當(dāng)澳大利亞的一個農(nóng)夫為了打獵而從外國弄來幾只兔子后，一場可怕的生態(tài)災(zāi)難爆發(fā)了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亞它沒有天敵，數(shù)量不斷翻番。1950年，澳大利亞的兔子的數(shù)量從最初的五只增加到了五億只，這個國家絕大部分地區(qū)的莊稼或草地都遭到了極大損失。絕望之中，人們從巴西引入了多發(fā)黏液瘤病，以對付迅速繁殖的兔子。整個20世紀(jì)中期，澳大利亞的滅兔行動從未停止過。 “指數(shù)爆炸”模型生態(tài)故事：“一群兔子引發(fā)的危機(jī)”第2頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一 某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤

2、的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x (單位：萬元)的增加而增加，但資金數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求呢？ 本題中涉及了哪幾類函數(shù)模型?實質(zhì)是什么? 本例涉及了一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型,實質(zhì)是比較三個函數(shù)的增長情況。思考例第3頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一思考 怎樣才能判斷所給的獎勵模型是否符合公司的要求呢? 要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元

3、,以及獎勵比例是否超過25%進(jìn)行分析,才能做出正確選擇。 由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤。于是只需在區(qū)間10,1000上，檢驗三個模型是否符合公司的要求即可。第4頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一可以看到：在區(qū)間10,1000上只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方借助計算機(jī)作出三個函數(shù)的圖象第5頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一 對于模型y=0.25x，它在區(qū)間10,1000上遞增，當(dāng)x=20時， y=5 ，因此x(20,1000)時，y5，因此該模型不符合要求。 對于模型y=1.002x，

4、由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個點x0滿足1.002x0 =5，由于它在10,1000上遞增，因此當(dāng)xx0時，y5，因此該模型也不符合要求。通過計算確認(rèn)上述判斷第6頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一(1) 由函數(shù)圖象可以看出，它在區(qū)間10,1000上遞增，而且當(dāng)x=1000時，y=log71000+14.555,所以它符合獎金不超過5萬元的要求。對于模型y=log7x+1(2) 再計算按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x 10,1000時，是否有成立。第7頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一

5、令 f(x)= log7x+1-0.25x，x10,1000.利用計算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x) f(10) -0.31670,即 log7x+10.25x所以，當(dāng)x 10,1000，時說明按模型y=log7x+1獎勵，獎金不會超過利潤的25%.綜上所述，模型y=log7x+1確實能符合公司要求.第8頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一實際應(yīng)用問題分析、聯(lián)想、抽象、轉(zhuǎn)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解答數(shù)學(xué)問題審 題數(shù)學(xué)化尋找解題思路還原（設(shè)）（列）（解）（答） 解答例題的過程實際上就是建立函數(shù)模型的過程，建立函數(shù)模型的程序大概如下：第9頁，共34頁，202

6、2年，5月20日，9點19分，星期一比較函數(shù)的增長快慢.第10頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO第11頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO第12頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO第13頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO第14頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一比較函數(shù)的增長快慢.8642-22468xyO你能

7、分別求出使成立的x的取值范圍嗎？第15頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一30282624222018161412108642510 xyO放大后的圖象第16頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一 一般地，對于指數(shù)函數(shù)yax(a1)和冪函數(shù)yxn(n0)，在區(qū)間(0, )上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)xx0時，就會有axxn.規(guī)律總結(jié)第17頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一對于對數(shù)函數(shù)ylogax (a1)和冪函數(shù)yxn(n0)在區(qū)間(0, )上，

8、隨著x的增大，logax增長得越來越慢.在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)xx0時，就會有l(wèi)ogaxxn.規(guī)律總結(jié)第18頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一在區(qū)間(0, )上，盡管函數(shù)yax(a1)，ylogax(a1)和y = xn(n0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增長，yax(a1)的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxn(n0)的增長速度，而ylogax(a1)的增長速度則會越來越慢.因此，總會存在一個x0，當(dāng)xx0時，就有l(wèi)ogaxxnax.規(guī)律總結(jié)

9、這一結(jié)論充分體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的爆炸式增長。第19頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一例1 同一坐標(biāo)系中，函數(shù)yx27和y2x的圖象如圖.試比較x27與2x的大小.5040302010510yx27y2xxyO第20頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一例2 已知函數(shù)yx2和ylog2(x1)的圖象如圖，試比較x2與log2(x1)的大小.4321-124xyOyx2ylog2(x1)第21頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一想一想：當(dāng)0a1，n0時，yax，yxn，ylogax為減函數(shù)，其“衰減”速度如何？你能借助圖象，類比分析嗎？提示：

10、如下圖所示：對于函數(shù)yax(0a1)，yxn(n0)，ylogax(0a1)盡管都是減函數(shù)，但它們的衰減速度不同，而且不在同一“檔次”上，隨著x的增大，yax(0a1)的衰減速度越來越慢，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于yxn(n0)的衰減速度，而ylogax(0ax0時，就有l(wèi)ogaxxnax.第22頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一1. 下列說法不正確的是 ( ) A. 函數(shù)y2x在(0，)上是增函數(shù) B. 函數(shù)yx2在(0，)上是增函數(shù)C. 存在x0，當(dāng)xx0時，x22x恒成立 D. 存在x0，當(dāng)xx0時，2xx2恒成立練習(xí)第23頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一1

11、. 下列說法不正確的是 ( C ) A. 函數(shù)y2x在(0，)上是增函數(shù) B. 函數(shù)yx2在(0，)上是增函數(shù)C. 存在x0，當(dāng)xx0時，x22x恒成立 D. 存在x0，當(dāng)xx0時，2xx2恒成立練習(xí)第24頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一2.比較函數(shù)yxn(n0)和yax(a0)，下列說法正確的是 ( ) A. 函數(shù)yxn比yax的增長速度快 B. 函數(shù)yxn比yax的增長速度慢C. 因a, n沒有大小確定, 故無法比較函數(shù) yxn與yax的增長速度D. 以上都不正確 練習(xí)第25頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一2.比較函數(shù)yxn(n0)和yax(

12、a0)，下列說法正確的是 ( B ) A. 函數(shù)yxn比yax的增長速度快 B. 函數(shù)yxn比yax的增長速度慢C. 因a, n沒有大小確定, 故無法比較函數(shù) yxn與yax的增長速度D. 以上都不正確 練習(xí)第26頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一3. 函數(shù)ylogax(a1)、ybx(b1)和yxc(c0)中增長速度最快的是( )A. ylogax(a1) B. ybx(b1)C. yxc(c0) D. 無法確定練習(xí)第27頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一3. 函數(shù)ylogax(a1)、ybx(b1)和yxc(c0)中增長速度最快的是( B )A.

13、 ylogax(a1) B. ybx(b1)C. yxc(c0) D. 無法確定練習(xí)第28頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一4已知冪函數(shù)yx1.4、指數(shù)y2x和對數(shù)函數(shù)ylnx的圖象.如圖，則A表示函數(shù) 的圖象，B表示函數(shù) .的圖象，C表示函數(shù) 的圖象.5432124xyOABC練習(xí)第29頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一y2x5432124xyOABC練習(xí)4已知冪函數(shù)yx1.4、指數(shù)y2x和對數(shù)函數(shù)ylnx的圖象.如圖，則A表示函數(shù) 的圖象，B表示函數(shù) .的圖象，C表示函數(shù) 的圖象.第30頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一5432124xyOABC練習(xí)4已知冪函數(shù)yx1.4、指數(shù)y2x和對數(shù)函數(shù)ylnx的圖象.如圖，則A表示函數(shù) 的圖象，B表示函數(shù) .的圖象，C表示函數(shù) 的圖象.y2xyx1.4第31頁，共34頁，2022年，5月20日，9點19分，星期一y2xyx1.45432124xyOABCylnx練習(xí)4已知冪函數(shù)yx1.4、指數(shù)y2x和對數(shù)函數(shù)ylnx的圖象.如圖，則A表