幾何變換講座

1、幾何變換講座第1頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 需要理解的問題我們對幾何學(xué)的認(rèn)識：研究平面圖形的形狀、大小與位置的學(xué)科從新課標(biāo)對平面幾何的修訂中我們體會到對平面幾何的知識內(nèi)容做了較大的改動為什么要改？這么改的道理何在？對這個問題的理解與認(rèn)識關(guān)系到我們的教學(xué)我們以前說幾何變換是一種觀點(diǎn)，處理平面幾何知識的學(xué)習(xí)就要從這點(diǎn)出發(fā)，實(shí)際上也是要解決認(rèn)識問題，可是實(shí)際上還沒有真正的解決好這個問題第2頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一從平面幾何研究問題的實(shí)質(zhì)看問題，就會發(fā)現(xiàn)我們對這個問題的認(rèn)識基本不到位，把平面幾何看做是研究圖形的形狀、大小與位置的學(xué)科只是從研究圖

2、形的現(xiàn)象出發(fā)的結(jié)論實(shí)際上平面幾何研究問題的實(shí)質(zhì)是：研究圖形運(yùn)動變換后圖形的不變性質(zhì)問題如果這是平面幾何的實(shí)質(zhì)的話，我們談幾何變換就有了實(shí)質(zhì)的意義學(xué)習(xí)平面幾何的目的就是想解決這個根本性問題第3頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 全等變換：是指不改變圖形形狀與大小的變換. 位似變換：是指不改變圖形形狀只改變圖形大小變換. 等積變換：是指不改變圖形大小或者還需要改變圖形形狀的變換第4頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一而在我們學(xué)習(xí)的變換中，能在圖形變換后具有不變性質(zhì)的變換，只有全等變換，即合同變換因此，我們把全等變換看作是基本的關(guān)系以及基本的問題，這就決定了我們

3、在學(xué)習(xí)平面幾何知識時，應(yīng)有意識的從這個問題出發(fā)研究問題、解決問題，幫助學(xué)生建立正確的、全面的幾何觀點(diǎn)，以便形成空間感、圖形感數(shù)學(xué)教研室第5頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知：如圖，正方形ABCD中，直線m交AB、CD于E、F點(diǎn)，直線n交AD、BC于G、H，m、n直交于P點(diǎn). 觀察、猜想EF與GH的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.第6頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一我們從這個題目講起的目的實(shí)際上是想：幾何變換問題涉及到對平面幾何解題的一些基本認(rèn)識，先解決這些基本認(rèn)識有助于我們研究后面的問題實(shí)際上我們想解決的問題是這樣的，希望加強(qiáng)對幾何圖形的認(rèn)識；加強(qiáng)對幾

4、何命題的認(rèn)識；加強(qiáng)對幾何命題分析的認(rèn)識；加強(qiáng)理解尋求解題方向以及解題方法的認(rèn)識；希望加強(qiáng)對不同解法的存在性的認(rèn)識第7頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一題目條件的解讀與認(rèn)識錯位旋轉(zhuǎn)第8頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一原 題 特殊化 一般化 數(shù)量化 運(yùn) 動 分割與組合 變 化第9頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一特殊化情況結(jié)論變化原結(jié)論（）；（）面積相等；（）（）.第10頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一一般化情況滿足垂直滿足過中點(diǎn)可證四邊形是矩形等第11頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一數(shù)量化情

5、況當(dāng)點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)時，AD4，設(shè)CF為x ，EM為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.第12頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一已知正方形ABCD，用兩條直線把它分成四個面積相等的圖形第13頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一分割與組合的情況組合分割點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的四分之一點(diǎn)，求證：DE平分ADF.以BC為直徑作半圓，AE切半圓于點(diǎn)F，第14頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一運(yùn)動的情況若點(diǎn)P沿ED向D移動，當(dāng)GH與線段BC沒有交點(diǎn)時，是否可以得到相應(yīng)的結(jié)論？請說明理由.第15頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一引

6、申的情況 一個含30度角的三角板一邊必過點(diǎn)B，直角的頂點(diǎn)在D邊上移動，這時圖形中有什么結(jié)論？若連結(jié)BN又有什么結(jié)論？第16頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一變更條件條件邏輯聯(lián)接詞結(jié)論弱化條件結(jié)論變化變更改變結(jié)論對命題以及命題可能變化的認(rèn)識第17頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BDAE于點(diǎn)F(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部),等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BDCD于點(diǎn)D(交點(diǎn)在三角形外部), 弱化條件的情況第18頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 變更條件第19頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分

7、，星期一 已知：如圖，正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)GDE于點(diǎn)H. 求證:FD+EG第20頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一我們對第一個問題做了必要的解讀，希望大家能理解這個問題我們需要解決的是幾何變換的應(yīng)用問題，其中最重要的是對使用幾何變換條件的分析問題，我們知道用新的觀點(diǎn)看平面幾何問題本質(zhì)上就是研究圖形經(jīng)過運(yùn)動變化后，圖形的不變性質(zhì)問題從這個角度看問題，我們主要想通過對一些問題的分析，逐步形成基本的、正確的分析問題的方法第21頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知梯形ABCD中，ADBC，CD=BC，C=60，若EAB=60， DAE=18.

8、求EBC的度數(shù)、數(shù)學(xué)教研室第22頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 梯形是組合圖形，要考慮它是由哪個圖形演變而來的，從條件CD=CB，C=60，可知此圖是由菱形切分而來，只要還原圖形關(guān)系即可、數(shù)學(xué)教研室第23頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知正方形ABCD中，點(diǎn)E、F是BC、AB的中點(diǎn) 求證：AG=AD第24頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一理解題意，解讀暗示，確定方向，選擇方法第25頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 如圖，已知等邊三角形ABC，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過頂點(diǎn)A、B、C總可以做abc如果存在一組平行線mn

9、l ，請你猜想是否可以做一個等邊三角形使其三個頂點(diǎn)分別在m、n、l上，如果可以作出，請畫出示意圖并證明你的猜想第26頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 分析：我們知道已知等邊三角形時，經(jīng)過三個頂點(diǎn)是可以做一組平行線的，但是，如果把問題逆過來，解決這個問題就困難的多原因是因?yàn)橐阎唤M平行線可以是任意的，它需要有一個切入點(diǎn)由于每條平行線上必須有一個頂點(diǎn)，故我們可以假設(shè)圖形已經(jīng)做出，我們選一個頂點(diǎn)做為切入點(diǎn)分析作三角形問題實(shí)際上是確定第三點(diǎn)問題，由于其中一個點(diǎn)可以確定，那么利用關(guān)系就可確定第二點(diǎn)第27頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 作圖方法作AMn,作MA

10、N=60,過點(diǎn)N作CNl交于點(diǎn)C第28頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一作圖方法 作CNl,作MCN=60第29頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 不同類圖形的組合問題例如，請?jiān)O(shè)計一種方法把圖中的矩形ABCD拆分并拼接為一個與其面積相等的正方形, 請你依據(jù)此矩形畫出正方形，并根據(jù)你所畫的圖形，證明正方形面積等于矩形ABCD的面積的結(jié)論第30頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 分析：由于是一個矩形面積化為正方形面積問題，因此我們就稱之為不同類型圖形的組合問題同時由于面積可以利用代數(shù)式表達(dá)，故我們還可以認(rèn)為是代數(shù)幾何綜合題問題因?yàn)?，矩形?/p>

11、邊長確定，因此，我們能利用的原始條件只有邊對于邊而言在解決這個問題中如何利用，就需要根據(jù)題意確定正方形的邊長了第31頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 實(shí)際上我們只需要明白正方形的面積等于矩形的兩邊的積，這樣就可以相互表示了第32頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 如果我們換個角度看這個問題會發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這個問題就是一個面積切分后圖形平移的問題在此就圖形平移提幾句：圖形的平移相對于圖形的另兩種變換而言，其實(shí)是較難的原因在于平移在移動圖形時一般講是需要同時移動兩個元素時才考慮的方法，因此，平移是較難認(rèn)識與使用的，但是就其移動圖形時的作用而言卻是十分重要的第3

12、3頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 例如，在形如ABC的一塊場地上有一條小路經(jīng)過場地，因連續(xù)下雨小路有較長的一段被雨水淹沒了由于需要測量整塊土地的面積，可測得BAC=45,又測得BD=30m，CD=20m，請你幫助求這塊土地的面積第34頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 因?yàn)槿切蔚牟豢蓽y量性，因此就需要考慮求解的方法實(shí)際上我們講這個問題就是想說一個問題，即存在45角時可以這樣思考問題：由于在角的內(nèi)部形成了兩個角，實(shí)際上在提示我們可以利用軸對稱的知識移動圖形或元素，形成新的圖形關(guān)系第35頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 利用這個關(guān)

13、系還原正方形第36頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 再例如，正方形ABCD中,點(diǎn)P是形內(nèi)一點(diǎn),若PAB=30,且AB=AP,問能否確定PB與PC的關(guān)系第37頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 如何利用角的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵30角可以在直角三角形形中形成可利用的關(guān)系第38頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 除此之外，由于可求ABP=75，而在這個角中含有15與60角,因此,可以形成等邊三角形與正方形的組合問題第39頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知ABC中，AB=AC,BAC=90，點(diǎn)P是形內(nèi)一點(diǎn)，且PC=

14、1，PA=2，PB=3，求APC第40頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 在這個問題中要求角的度數(shù)根據(jù)題意需要移動線段的位置，使之形成可以求解角度的圖形關(guān)系，因此需要利用旋轉(zhuǎn)關(guān)系第41頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 我們再舉一例與之比較，從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律已知正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長第42頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 分析：本題與我們常見的形式不同，一般講都是在圖形中存在一種圖形關(guān)系求最值問題但是，不論從哪個角度認(rèn)識這個問題都需要解決因三條線段位置上相關(guān)性不大移動圖形的問題

15、從條件出發(fā)已知中原圖形是正方形，在移動中首先考慮借助組合關(guān)系解決圖形移動的問題但是，若用正方形移動，此時線段只是從形內(nèi)移動到了形外，不能形成最小距離問題因此，考慮用不同圖形的組合移動圖形，使之可以形成三線共線問題第43頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一當(dāng)C、P、E、F四點(diǎn)共線時，取得最小值第44頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，點(diǎn)P是形內(nèi)一點(diǎn)，若DAB=60，且DPC=120，AC=7，求的最小值第45頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 在這個問題中，可以肯定的是所求的元素不在一個圖形中，各自分散

16、在四個圖形里如何溝通它們之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵所在但是，實(shí)際上本題所給的條件又具有明顯的提示性，即給出了兩個特殊的角度，因此，如何利用這兩個角就成為解題的關(guān)鍵根據(jù)題意的提示，我們可以發(fā)現(xiàn)可以形成等邊三角形，因此可以移動圖形第46頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 由已知中的邊相等以及所夾角為60，其實(shí)在暗示我們可以形成等邊三角形，又由另一個角為120，根據(jù)相鄰的角度為60，也可形成等邊三角形，因此，可形成旋轉(zhuǎn)形問題第47頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一第48頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一已知等腰直角三角形ABC中，AB=BC

17、，ABC=90，點(diǎn)D是形內(nèi)一點(diǎn)，AD=BD，CD=CB，若DCB=15，確定ACB=ACD的關(guān)系第49頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一當(dāng)在三角形ABC中，點(diǎn)D是形內(nèi)一點(diǎn)，AD=BD，CD=CB，且CAB=2ABC，問此時是否還存在ACB=ACD的關(guān)系第50頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一在這個問題中，第一個問題是一個常見的問題，只不過本題中把一個條件和結(jié)論兌換了一下第二個問題是第一個問題的一般化的情況，但是正是這種一般化的情況，使其后求解變的較困難這時需要我們體會在這其中誰在起關(guān)鍵性作用本題中存在兩個等腰三角形，并且這兩個三角形之間沒有什么關(guān)系，因此

18、，用好這兩個三角形就成為解題的關(guān)鍵第51頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一第52頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 再例如，點(diǎn)D是ABC的邊AC上一點(diǎn)，且AB=CD，BAC=60，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，若AE4，能否求BC的長如果能求，請求出它的長第53頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 在這個問題中，所證的結(jié)論涉及到的兩個元素分別在兩個圖形中，并且其中一條線段是三角形的中線但是，在命題的條件中，由兩條線段相等以及有角為特殊角，因此，可能會形成特殊的圖形關(guān)系，即由于線段CD在AC上沒有什么實(shí)際的作用，只有以AB為起點(diǎn)構(gòu)成與AD相等的線段關(guān)

19、系,可能就可形成新的可利用的圖形關(guān)系第54頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一第55頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 相似變換問題 由于相似的知識不是建立在以平行線為依據(jù)的前提下，所以必須理解我們對知識的認(rèn)識是建立在位似變換的基礎(chǔ)之上的，即從位似化為相似，也就是說需要先從位似的角度認(rèn)識問題. 從新課標(biāo)的角度講相似問題的知識只是要求為基本認(rèn)識，純推理的問題相對困難，所以我們對這部分知識的定位是以數(shù)量計算為主要對象的.第56頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 例 已知：如圖，直角梯形ABCD中，點(diǎn)E是AB上一個動點(diǎn)，且有DEC=90，(1

20、)問此 圖中是否存在相似形，說明理由；(2)是否存在 說明你的根據(jù).第57頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一在這個問題中，是否存在相似形的情況需要我們把問題考慮清楚我們知道相似是以對應(yīng)關(guān)系為前提的，因?yàn)樵诒绢}中只是問是否存在相似形，因此，就需要我們從對應(yīng)關(guān)系的角度看問題，即ADE與BEC；或者ADE與BCE，即對應(yīng)關(guān)系不同所以，得到的結(jié)論是不同的，所用到的知識也是不同的但是不能忽視的是對這個問題本身的認(rèn)識沒有到位而產(chǎn)生一些不應(yīng)該出現(xiàn)的問題第58頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 等積變換問題 這是新課標(biāo)在重視幾何變換的前提下與實(shí)際問題相結(jié)合而形成的問題，

21、它主要體現(xiàn)在以下問題中： 圖形在不改變大小的情況下的移動； 圖形的分割與組合； 圖形的拼接但是等積變換的問題小學(xué)學(xué)過后初中沒有完整的接觸過，或者說沒有把這個問題作為知識對象學(xué)習(xí)過，因此，就成為一個難點(diǎn)問題第59頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),若AD、CE交于點(diǎn)M，問四邊形EBDM與AMC面積的關(guān)系、 等積變換的特點(diǎn)是圖形發(fā)生變化，即圖形可以不同類、第60頁，共68頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 例 已知：如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的三分之一點(diǎn)，問陰影部分的面積與矩形面積的比值.第61頁，共68頁，2022年，5月20日