幾何變換講座

1、幾何變換講座第1頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 需要理解的問(wèn)題我們對(duì)幾何學(xué)的認(rèn)識(shí)：研究平面圖形的形狀、大小與位置的學(xué)科從新課標(biāo)對(duì)平面幾何的修訂中我們體會(huì)到對(duì)平面幾何的知識(shí)內(nèi)容做了較大的改動(dòng)為什么要改？這么改的道理何在？對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解與認(rèn)識(shí)關(guān)系到我們的教學(xué)我們以前說(shuō)幾何變換是一種觀點(diǎn)，處理平面幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)就要從這點(diǎn)出發(fā)，實(shí)際上也是要解決認(rèn)識(shí)問(wèn)題，可是實(shí)際上還沒(méi)有真正的解決好這個(gè)問(wèn)題第2頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一從平面幾何研究問(wèn)題的實(shí)質(zhì)看問(wèn)題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)基本不到位，把平面幾何看做是研究圖形的形狀、大小與位置的學(xué)科只是從研究圖

2、形的現(xiàn)象出發(fā)的結(jié)論實(shí)際上平面幾何研究問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是：研究圖形運(yùn)動(dòng)變換后圖形的不變性質(zhì)問(wèn)題如果這是平面幾何的實(shí)質(zhì)的話，我們談幾何變換就有了實(shí)質(zhì)的意義學(xué)習(xí)平面幾何的目的就是想解決這個(gè)根本性問(wèn)題第3頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 全等變換：是指不改變圖形形狀與大小的變換. 位似變換：是指不改變圖形形狀只改變圖形大小變換. 等積變換：是指不改變圖形大小或者還需要改變圖形形狀的變換第4頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一而在我們學(xué)習(xí)的變換中，能在圖形變換后具有不變性質(zhì)的變換，只有全等變換，即合同變換因此，我們把全等變換看作是基本的關(guān)系以及基本的問(wèn)題，這就決定了我們

3、在學(xué)習(xí)平面幾何知識(shí)時(shí)，應(yīng)有意識(shí)的從這個(gè)問(wèn)題出發(fā)研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，幫助學(xué)生建立正確的、全面的幾何觀點(diǎn)，以便形成空間感、圖形感數(shù)學(xué)教研室第5頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知：如圖，正方形ABCD中，直線m交AB、CD于E、F點(diǎn)，直線n交AD、BC于G、H，m、n直交于P點(diǎn). 觀察、猜想EF與GH的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.第6頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一我們從這個(gè)題目講起的目的實(shí)際上是想：幾何變換問(wèn)題涉及到對(duì)平面幾何解題的一些基本認(rèn)識(shí)，先解決這些基本認(rèn)識(shí)有助于我們研究后面的問(wèn)題實(shí)際上我們想解決的問(wèn)題是這樣的，希望加強(qiáng)對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)；加強(qiáng)對(duì)幾

4、何命題的認(rèn)識(shí)；加強(qiáng)對(duì)幾何命題分析的認(rèn)識(shí)；加強(qiáng)理解尋求解題方向以及解題方法的認(rèn)識(shí)；希望加強(qiáng)對(duì)不同解法的存在性的認(rèn)識(shí)第7頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一題目條件的解讀與認(rèn)識(shí)錯(cuò)位旋轉(zhuǎn)第8頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一原 題 特殊化 一般化 數(shù)量化 運(yùn) 動(dòng) 分割與組合 變 化第9頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一特殊化情況結(jié)論變化原結(jié)論（）；（）面積相等；（）（）.第10頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一一般化情況滿足垂直滿足過(guò)中點(diǎn)可證四邊形是矩形等第11頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一數(shù)量化情

5、況當(dāng)點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)時(shí)，AD4，設(shè)CF為x ，EM為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.第12頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一已知正方形ABCD，用兩條直線把它分成四個(gè)面積相等的圖形第13頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一分割與組合的情況組合分割點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的四分之一點(diǎn)，求證：DE平分ADF.以BC為直徑作半圓，AE切半圓于點(diǎn)F，第14頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一運(yùn)動(dòng)的情況若點(diǎn)P沿ED向D移動(dòng)，當(dāng)GH與線段BC沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，是否可以得到相應(yīng)的結(jié)論？請(qǐng)說(shuō)明理由.第15頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一引

6、申的情況 一個(gè)含30度角的三角板一邊必過(guò)點(diǎn)B，直角的頂點(diǎn)在D邊上移動(dòng)，這時(shí)圖形中有什么結(jié)論？若連結(jié)BN又有什么結(jié)論？第16頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一變更條件條件邏輯聯(lián)接詞結(jié)論弱化條件結(jié)論變化變更改變結(jié)論對(duì)命題以及命題可能變化的認(rèn)識(shí)第17頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BDAE于點(diǎn)F(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部),等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BDCD于點(diǎn)D(交點(diǎn)在三角形外部), 弱化條件的情況第18頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 變更條件第19頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分

7、，星期一 已知：如圖，正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)GDE于點(diǎn)H. 求證:FD+EG第20頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一我們對(duì)第一個(gè)問(wèn)題做了必要的解讀，希望大家能理解這個(gè)問(wèn)題我們需要解決的是幾何變換的應(yīng)用問(wèn)題，其中最重要的是對(duì)使用幾何變換條件的分析問(wèn)題，我們知道用新的觀點(diǎn)看平面幾何問(wèn)題本質(zhì)上就是研究圖形經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)變化后，圖形的不變性質(zhì)問(wèn)題從這個(gè)角度看問(wèn)題，我們主要想通過(guò)對(duì)一些問(wèn)題的分析，逐步形成基本的、正確的分析問(wèn)題的方法第21頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知梯形ABCD中，ADBC，CD=BC，C=60，若EAB=60， DAE=18.

8、求EBC的度數(shù)、數(shù)學(xué)教研室第22頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 梯形是組合圖形，要考慮它是由哪個(gè)圖形演變而來(lái)的，從條件CD=CB，C=60，可知此圖是由菱形切分而來(lái)，只要還原圖形關(guān)系即可、數(shù)學(xué)教研室第23頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知正方形ABCD中，點(diǎn)E、F是BC、AB的中點(diǎn) 求證：AG=AD第24頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一理解題意，解讀暗示，確定方向，選擇方法第25頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 如圖，已知等邊三角形ABC，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A、B、C總可以做abc如果存在一組平行線mn

9、l ，請(qǐng)你猜想是否可以做一個(gè)等邊三角形使其三個(gè)頂點(diǎn)分別在m、n、l上，如果可以作出，請(qǐng)畫出示意圖并證明你的猜想第26頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 分析：我們知道已知等邊三角形時(shí)，經(jīng)過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)是可以做一組平行線的，但是，如果把問(wèn)題逆過(guò)來(lái)，解決這個(gè)問(wèn)題就困難的多原因是因?yàn)橐阎唤M平行線可以是任意的，它需要有一個(gè)切入點(diǎn)由于每條平行線上必須有一個(gè)頂點(diǎn)，故我們可以假設(shè)圖形已經(jīng)做出，我們選一個(gè)頂點(diǎn)做為切入點(diǎn)分析作三角形問(wèn)題實(shí)際上是確定第三點(diǎn)問(wèn)題，由于其中一個(gè)點(diǎn)可以確定，那么利用關(guān)系就可確定第二點(diǎn)第27頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 作圖方法作AMn,作MA

10、N=60,過(guò)點(diǎn)N作CNl交于點(diǎn)C第28頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一作圖方法 作CNl,作MCN=60第29頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 不同類圖形的組合問(wèn)題例如，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方法把圖中的矩形ABCD拆分并拼接為一個(gè)與其面積相等的正方形, 請(qǐng)你依據(jù)此矩形畫出正方形，并根據(jù)你所畫的圖形，證明正方形面積等于矩形ABCD的面積的結(jié)論第30頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 分析：由于是一個(gè)矩形面積化為正方形面積問(wèn)題，因此我們就稱之為不同類型圖形的組合問(wèn)題同時(shí)由于面積可以利用代數(shù)式表達(dá)，故我們還可以認(rèn)為是代數(shù)幾何綜合題問(wèn)題因?yàn)椋匦蔚?/p>

11、邊長(zhǎng)確定，因此，我們能利用的原始條件只有邊對(duì)于邊而言在解決這個(gè)問(wèn)題中如何利用，就需要根據(jù)題意確定正方形的邊長(zhǎng)了第31頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 實(shí)際上我們只需要明白正方形的面積等于矩形的兩邊的積，這樣就可以相互表示了第32頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 如果我們換個(gè)角度看這個(gè)問(wèn)題會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這個(gè)問(wèn)題就是一個(gè)面積切分后圖形平移的問(wèn)題在此就圖形平移提幾句：圖形的平移相對(duì)于圖形的另兩種變換而言，其實(shí)是較難的原因在于平移在移動(dòng)圖形時(shí)一般講是需要同時(shí)移動(dòng)兩個(gè)元素時(shí)才考慮的方法，因此，平移是較難認(rèn)識(shí)與使用的，但是就其移動(dòng)圖形時(shí)的作用而言卻是十分重要的第3

12、3頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 例如，在形如ABC的一塊場(chǎng)地上有一條小路經(jīng)過(guò)場(chǎng)地，因連續(xù)下雨小路有較長(zhǎng)的一段被雨水淹沒(méi)了由于需要測(cè)量整塊土地的面積，可測(cè)得BAC=45,又測(cè)得BD=30m，CD=20m，請(qǐng)你幫助求這塊土地的面積第34頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 因?yàn)槿切蔚牟豢蓽y(cè)量性，因此就需要考慮求解的方法實(shí)際上我們講這個(gè)問(wèn)題就是想說(shuō)一個(gè)問(wèn)題，即存在45角時(shí)可以這樣思考問(wèn)題：由于在角的內(nèi)部形成了兩個(gè)角，實(shí)際上在提示我們可以利用軸對(duì)稱的知識(shí)移動(dòng)圖形或元素，形成新的圖形關(guān)系第35頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 利用這個(gè)關(guān)

13、系還原正方形第36頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 再例如，正方形ABCD中,點(diǎn)P是形內(nèi)一點(diǎn),若PAB=30,且AB=AP,問(wèn)能否確定PB與PC的關(guān)系第37頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 如何利用角的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵30角可以在直角三角形形中形成可利用的關(guān)系第38頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 除此之外，由于可求ABP=75，而在這個(gè)角中含有15與60角,因此,可以形成等邊三角形與正方形的組合問(wèn)題第39頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知ABC中，AB=AC,BAC=90，點(diǎn)P是形內(nèi)一點(diǎn)，且PC=

14、1，PA=2，PB=3，求APC第40頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 在這個(gè)問(wèn)題中要求角的度數(shù)根據(jù)題意需要移動(dòng)線段的位置，使之形成可以求解角度的圖形關(guān)系，因此需要利用旋轉(zhuǎn)關(guān)系第41頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 我們?cè)倥e一例與之比較，從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律已知正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長(zhǎng)第42頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 分析：本題與我們常見(jiàn)的形式不同，一般講都是在圖形中存在一種圖形關(guān)系求最值問(wèn)題但是，不論從哪個(gè)角度認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題都需要解決因三條線段位置上相關(guān)性不大移動(dòng)圖形的問(wèn)題

15、從條件出發(fā)已知中原圖形是正方形，在移動(dòng)中首先考慮借助組合關(guān)系解決圖形移動(dòng)的問(wèn)題但是，若用正方形移動(dòng)，此時(shí)線段只是從形內(nèi)移動(dòng)到了形外，不能形成最小距離問(wèn)題因此，考慮用不同圖形的組合移動(dòng)圖形，使之可以形成三線共線問(wèn)題第43頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一當(dāng)C、P、E、F四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值第44頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，點(diǎn)P是形內(nèi)一點(diǎn)，若DAB=60，且DPC=120，AC=7，求的最小值第45頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 在這個(gè)問(wèn)題中，可以肯定的是所求的元素不在一個(gè)圖形中，各自分散

16、在四個(gè)圖形里如何溝通它們之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在但是，實(shí)際上本題所給的條件又具有明顯的提示性，即給出了兩個(gè)特殊的角度，因此，如何利用這兩個(gè)角就成為解題的關(guān)鍵根據(jù)題意的提示，我們可以發(fā)現(xiàn)可以形成等邊三角形，因此可以移動(dòng)圖形第46頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 由已知中的邊相等以及所夾角為60，其實(shí)在暗示我們可以形成等邊三角形，又由另一個(gè)角為120，根據(jù)相鄰的角度為60，也可形成等邊三角形，因此，可形成旋轉(zhuǎn)形問(wèn)題第47頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一第48頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一已知等腰直角三角形ABC中，AB=BC

17、，ABC=90，點(diǎn)D是形內(nèi)一點(diǎn)，AD=BD，CD=CB，若DCB=15，確定ACB=ACD的關(guān)系第49頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一當(dāng)在三角形ABC中，點(diǎn)D是形內(nèi)一點(diǎn)，AD=BD，CD=CB，且CAB=2ABC，問(wèn)此時(shí)是否還存在ACB=ACD的關(guān)系第50頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一在這個(gè)問(wèn)題中，第一個(gè)問(wèn)題是一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題，只不過(guò)本題中把一個(gè)條件和結(jié)論兌換了一下第二個(gè)問(wèn)題是第一個(gè)問(wèn)題的一般化的情況，但是正是這種一般化的情況，使其后求解變的較困難這時(shí)需要我們體會(huì)在這其中誰(shuí)在起關(guān)鍵性作用本題中存在兩個(gè)等腰三角形，并且這兩個(gè)三角形之間沒(méi)有什么關(guān)系，因此

18、，用好這兩個(gè)三角形就成為解題的關(guān)鍵第51頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一第52頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 再例如，點(diǎn)D是ABC的邊AC上一點(diǎn)，且AB=CD，BAC=60，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，若AE4，能否求BC的長(zhǎng)如果能求，請(qǐng)求出它的長(zhǎng)第53頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 在這個(gè)問(wèn)題中，所證的結(jié)論涉及到的兩個(gè)元素分別在兩個(gè)圖形中，并且其中一條線段是三角形的中線但是，在命題的條件中，由兩條線段相等以及有角為特殊角，因此，可能會(huì)形成特殊的圖形關(guān)系，即由于線段CD在AC上沒(méi)有什么實(shí)際的作用，只有以AB為起點(diǎn)構(gòu)成與AD相等的線段關(guān)

19、系,可能就可形成新的可利用的圖形關(guān)系第54頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一第55頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 相似變換問(wèn)題 由于相似的知識(shí)不是建立在以平行線為依據(jù)的前提下，所以必須理解我們對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)是建立在位似變換的基礎(chǔ)之上的，即從位似化為相似，也就是說(shuō)需要先從位似的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題. 從新課標(biāo)的角度講相似問(wèn)題的知識(shí)只是要求為基本認(rèn)識(shí)，純推理的問(wèn)題相對(duì)困難，所以我們對(duì)這部分知識(shí)的定位是以數(shù)量計(jì)算為主要對(duì)象的.第56頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 例 已知：如圖，直角梯形ABCD中，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有DEC=90，(1

20、)問(wèn)此 圖中是否存在相似形，說(shuō)明理由；(2)是否存在 說(shuō)明你的根據(jù).第57頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一在這個(gè)問(wèn)題中，是否存在相似形的情況需要我們把問(wèn)題考慮清楚我們知道相似是以對(duì)應(yīng)關(guān)系為前提的，因?yàn)樵诒绢}中只是問(wèn)是否存在相似形，因此，就需要我們從對(duì)應(yīng)關(guān)系的角度看問(wèn)題，即ADE與BEC；或者ADE與BCE，即對(duì)應(yīng)關(guān)系不同所以，得到的結(jié)論是不同的，所用到的知識(shí)也是不同的但是不能忽視的是對(duì)這個(gè)問(wèn)題本身的認(rèn)識(shí)沒(méi)有到位而產(chǎn)生一些不應(yīng)該出現(xiàn)的問(wèn)題第58頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 等積變換問(wèn)題 這是新課標(biāo)在重視幾何變換的前提下與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合而形成的問(wèn)題，

21、它主要體現(xiàn)在以下問(wèn)題中： 圖形在不改變大小的情況下的移動(dòng)； 圖形的分割與組合； 圖形的拼接但是等積變換的問(wèn)題小學(xué)學(xué)過(guò)后初中沒(méi)有完整的接觸過(guò)，或者說(shuō)沒(méi)有把這個(gè)問(wèn)題作為知識(shí)對(duì)象學(xué)習(xí)過(guò)，因此，就成為一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題第59頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 已知ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),若AD、CE交于點(diǎn)M，問(wèn)四邊形EBDM與AMC面積的關(guān)系、 等積變換的特點(diǎn)是圖形發(fā)生變化，即圖形可以不同類、第60頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)8分，星期一 例 已知：如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的三分之一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分的面積與矩形面積的比值.第61頁(yè)，共68頁(yè)，2022年，5月20日