抽象函數(shù)問題的處理策略

1、抽象函數(shù)問題的處理策略霍邱一中 余其權(quán)抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達式，只是給出一些特殊條件的函數(shù)，它是中學數(shù)學函數(shù)部分的難點.因為抽象，學生難以理解，接受困難；因為抽象，教師對教材難以處理，何時講授，如何講授，講授哪些內(nèi)容，采用什么方式等等，深感茫然無序.其實，大量的抽象函數(shù)都是以中學階段所學的基本函數(shù)為背景抽象而得，解題時，若能從研究抽象函數(shù)的“背景”入手，根據(jù)題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì)，通過類比、猜想出它可能為某種基本函數(shù)，?？梢挼媒忸}思路，本文就上述問題作一些探討.1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)f（x）kxx（k0）-ff（xy）f（x）f（y）例1、已已知函數(shù)數(shù)對任意意實數(shù)xx，y，均有有

2、，且當當時，求在區(qū)區(qū)間2，11上的的值域。解：設(shè)，則，當時，即，為增函函數(shù)在條件中中，令yyx，則，再再令xy0，則，故故，為奇函函數(shù)，又又，的值域域為4，22。例2、已已知函數(shù)數(shù)f（x）對任任意實數(shù)數(shù)x、y均有f（xy）22f（x）f（y），且且當x0時，f(x)22，f(3) 55，求不不等式的的解.分析：先先證明函函數(shù)f（x）在RR上是增增函數(shù)（仿例11）；再再求出ff（1）3；最后脫脫去函數(shù)數(shù)符號.2、二次次函數(shù)型型抽象函函數(shù)二次函數(shù)數(shù)型抽象象函數(shù)即即由二次次函數(shù)抽抽象而得得到的函函數(shù)若抽象函函數(shù)滿足足，總有有，則可可用二次次函數(shù)為為模型引引出解題題思路；例3、 已知知實數(shù)集集上的函函

3、數(shù)恒滿滿足,方方程=00有5個個實根,則這55個根之之和=_分析：因因為實數(shù)數(shù)集上的的函數(shù)恒恒滿足,方程=0有55個實根根，可以以將該函函數(shù)看成成是類似似于二次次函數(shù)為為模型引引出解題題思路，即函數(shù)數(shù)的對稱稱軸是，并且函函數(shù)在，其余的的四個實實數(shù)根關(guān)關(guān)于對稱稱，解：因為為實數(shù)集集上的函函數(shù)恒滿滿足,方方程=00有5個個實根，所以函函數(shù)關(guān)于于直線對對稱，所所以方程程的五個個實數(shù)根根也關(guān)于于直線對對稱，其其中有一一個實數(shù)數(shù)根為22，其它它四個實實數(shù)根位位于直線線兩側(cè)，關(guān)于直直線對稱稱，則這這5個根根之和為為103、指數(shù)數(shù)函數(shù)型型的抽象象函數(shù)f（x）ax-f（xy）f（x）f（y）；f（xy）例4、

4、設(shè)設(shè)f (x)是定定義在RR上的偶偶函數(shù)。其圖象象關(guān)于直直線yx對稱，對任意意x1，x2，都有有f (x1x2)f (x1)f (x2)，且且f (1)a0 ()求及； ()證明明f (x)是周周期函數(shù)數(shù)；()記，求求 ()解：可可以考慮慮指數(shù)函函數(shù)的模模型指導導解題的的思路，例如運運用函數(shù)數(shù)由知：0，xx0，1，f (11)aa0，()證證明：依依題設(shè)yyf (x)關(guān)于于直線xx1對對稱，故f(x)f (111x)，即即f (x)f (22x)，xR又由f (x)是偶偶函數(shù)知知f (x)f (x)，xR將上式中中x以x代換，得f (x)f (x2)，xR這表明ff (x)是R上的周周期函數(shù)數(shù)

5、，且22是它的的一個周周期()解解：由()知f (x)00，x0，1f (x)的一一個周期期是2，因此此例5、設(shè)設(shè)函數(shù)ff(x)的定義義域為RR，對于于任意實實數(shù)m、n，總有有，且時。（11）證明明：f(0)=1，且且x11；（2）證明明：f(x)在在R 上單單調(diào)遞減減；（ 3 ）設(shè)，若若，確定定a 的范范圍。（1）證證明：令，已知時時，設(shè)，即當xx11（2），則f(x)在R 上單單調(diào)遞減減。（3）f(x)在R上單調(diào)調(diào)遞減（單位位圓內(nèi)部部分）（一條直直線）例6定定義在RR上的函函數(shù)滿足足：對任任意實數(shù)數(shù)，總有有，且當當時，（1）試試求的值值；（2）判判斷的單單調(diào)性并并證明你你的結(jié)論論；（3）設(shè)

6、設(shè)，若，試確確定的取取值范圍圍（4）試試舉出一一個滿足足條件的的函數(shù)解：（11）在中中，令得：因為，所所以，（2）要要判斷的的單調(diào)性性，可任任取，且且設(shè)在已知條條件中，若取，則已知知條件可可化為：由于，所所以為比較的的大小，只需考考慮的正正負即可可在中，令令，則得得時， 當時時，又，所以以，綜上上，可知知，對于于任意，均有函數(shù)數(shù)在R上上單調(diào)遞遞減（3）首首先利用用的單調(diào)調(diào)性，將將有關(guān)函函數(shù)值的的不等式式轉(zhuǎn)化為為不含的的式子，即由，所以以，直線線與圓面面無公共共點所所以，解得：（4）如如點評：根根據(jù)題意意，將一一般問題題特殊化化，也即即選取適適當?shù)奶靥刂担ㄈ缛绫绢}中中令；以以及等）是解決決有關(guān)抽

7、抽象函數(shù)數(shù)問題的的非常重重要的手手段；另另外，如如果能找找到一個個適合題題目條件件的函數(shù)數(shù)4、對數(shù)數(shù)函數(shù)型型的抽象象函數(shù)f（x）loogax（a0且且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（）f（x）f（y）例7、已已知函數(shù)數(shù)滿足定定義域在在上的函函數(shù)，對對于任意意的，都都有，當當且僅當當時，成立立，（1）設(shè)設(shè)，求證證；（2）設(shè)設(shè)，若，試試比較與與的大小??；（3）解解關(guān)于的的不等式式分析：本本題是以以對數(shù)函函數(shù)為模模型的抽抽象函數(shù)數(shù)，可以以參考對對數(shù)函數(shù)數(shù)的基本本性質(zhì)解解題證明：（1），（2），即當且僅僅當時，成立，當時，（3）令令代入得，關(guān)于的的不等式式為，由（2）可可知函數(shù)數(shù)在定義義域上是

8、是減函數(shù)數(shù)，由得，當時，此時時成立；當時，此時時成立；當，此時時成立。練習：1、函數(shù)數(shù)f(xx)的定定義域為為，對任意正正實數(shù)xx,y都都有f(xy)= ff(x)+f(y)且f(44)=22 ，則則（）2、函數(shù)數(shù)f(xx)的定定義域為為R上的的偶函數(shù)數(shù)，對都都有成立立，若，則=（ ）（B） A）20005 BB）2 C）1 DD）03、定義義在R上上的函數(shù)數(shù)Y=ff(x)有反函函數(shù)Y=f-1(xx)，又又Y=f(x)過過點（2，11），YY=f(2x)的反反函數(shù)為為Y=f-1(2x)，則則Y=f-1(16)為（）（A）A）B）C）88 D）16總之，因因為抽象象函數(shù)與與函數(shù)的的單調(diào)性性、奇偶偶性等眾眾多性質(zhì)質(zhì)聯(lián)系緊緊密，加加上本身身的抽象象性、多多變性，所以問問題類型型眾多，解題方方法復雜雜多變.盡管如如此，以以特殊模模型代替替抽象函函數(shù)幫助助解題或或理解題