初三數(shù)學(xué)第三講勾股定理

1、個(gè)性化教案適用學(xué)科適用區(qū)域知識(shí)點(diǎn)初中數(shù)學(xué)全國1.勾股定理第03講勾股定理適用年級(jí)初中三年級(jí)課時(shí)時(shí)長（分鐘）120分鐘2.勾股定理逆定理3.直角三角形的兩個(gè)重要性質(zhì)4.特殊勾股數(shù)教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡單問題2.會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形3.會(huì)運(yùn)用勾股定理及逆定理解決綜合問題及實(shí)際問題4.培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)勾股定理的逆定理及勾股定理的應(yīng)用勾股定理的應(yīng)用教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了二次根式的內(nèi)容，接下來請(qǐng)同學(xué)們回憶一下1.平方根，算術(shù)平方根，立方根定義2.最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母（2）被開方數(shù)中不能含有開得盡方的因

2、數(shù)或因式。3.二次根式的性質(zhì)4.二次根式的加減乘除運(yùn)算1個(gè)性化教案二、知識(shí)講解1勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2cAbBaC注：勾最短的邊、股較長的直角邊、弦斜邊。2.勾股定理的證明：（1）方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形：ab2c24abS正方形ABCD12a2b2c2.（2）方法二:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形：c2=ab24abS正方形EFGH12a2b2c2.（3）方法三：“總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形。2個(gè)性化教案1ab22abc2S梯形11222a2b2c23.勾股定理的逆定理：如果三角形中

3、兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。4.勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)擴(kuò)大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù)常用勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41。（牢記）考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1沒有分析，明確哪個(gè)角是直角，盲目套用定理，出現(xiàn)錯(cuò)解，或漏解?？键c(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2在利用勾股定理計(jì)算時(shí)，誤認(rèn)為第三邊為斜邊，其實(shí)題設(shè)中并沒有說明已知的兩邊為直角邊，所以第三邊可能是斜邊，也可能是直角邊考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3常用勾股數(shù)記憶，勾股數(shù)擴(kuò)大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù).考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)4“勾三股四弦五”是直角三角形中三邊關(guān)系的一種特殊情形，并不能代

4、表一般的直角三角形的三邊關(guān)系3個(gè)性化教案三、例題精析【例題1】【題干】已知直角三角形的三邊長分別是3,4,x,則x=_.【答案】當(dāng)x為斜邊時(shí),由勾股定理,得32+42=x2,x=5.當(dāng)4為斜邊時(shí),由勾股定理,得x=4232=7,x=5或7.【解析】容易主觀確定斜邊。這種解法是將x當(dāng)成斜邊,事實(shí)上,本題沒有指明x與4的大小關(guān)系,因此長度為4的邊可能是直角邊,也可能是斜邊,應(yīng)分兩種情況討論.【例題2】【題干】在eqoac(,Rt)ABC中，B90,a=5,b=12,求c邊的長.【答案】B90,b為斜邊.由勾股定理,得a2c2b2,c=b2a2=12252=119.【解析】容易忽略題目中B90,則b

5、為斜邊這個(gè)隱含條件.【例題3】【題干】eqoac(,在)ABC中,AB=15,AC=20,BC邊上的高AD=12,求BC的長.【答案】當(dāng)高AD在ABC的內(nèi)部時(shí),如圖,由勾股定理,得BD2AB2AD2=15212292,即BD=9.ACD2AC2AD2=202122162,CD=16.BC=BD+CD=9+16=25.BD圖1C當(dāng)高ADeqoac(,在)ABC的外部時(shí),同樣由勾股定理可求得BD=9,CD=16,這時(shí)BC=CD-BD=16-9=7.BC的長是25或7.4個(gè)性化教案ACBD圖2【解析】本題滿足條件的三角形除圖外,還有圖所示的情況,即高AD在ABC的外部.【例題4】【題干】eqoac(

6、,已知)ABC的三邊a，b，c的長分別是6,8,10,試判斷ABC的形狀.【答案】a2b2=6282=100,c2102100,a2b2c2,由勾股定理的逆定理,eqoac(,知)ABC是直角三角形【解析】勾股定理是由直角三角形推導(dǎo)三邊的數(shù)量關(guān)系,而逆定理是由三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系推導(dǎo)三角形是直角三角形,二者不可混淆.【例題5】【題干】已知在ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，且a3，b4，且bc若c為整數(shù)，則c_.【答案】由三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，知bacab又bc，bcab，即cc為整數(shù)，c為5或者6【解析】應(yīng)用勾股定理解題的前提是在直角三角形中

7、，否則勾股定理是不適用的掌握勾股定理要注意以下三點(diǎn)：一是勾股定理所揭示的是直角三角形三邊之間平方關(guān)系的定理，它反映了直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系；二是在直角三角形中一定要分清已知的邊是直角邊還是斜邊；三是勾股定理只對(duì)直角三角形適用，而不適用于銳角三角形或鈍角三角形【例題6】【題干】已知在ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，且（ab）（ab）c，則（）AA為直角BC為直角CB為直角D不是直角三角形5個(gè)性化教案【答案】A【解析】abc，bca，a邊所對(duì)的角A為直角.我們?cè)谂袛嘀苯侨切文囊粋€(gè)角是直角的時(shí)候，不能因?yàn)樗季S定勢(shì)，看到數(shù)量之間的平方關(guān)系，就得到某個(gè)角是直角的結(jié)論，這樣很容易產(chǎn)生

8、直覺錯(cuò)誤，丟掉不該丟的分它告誡我們?cè)趯忣}時(shí)一定要仔細(xì)，防止由于思維定勢(shì)而產(chǎn)生會(huì)做卻做不對(duì)的情況【例題7】【題干】如圖是一株美麗的勾股樹,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形E的面積是.【解析】如圖,根據(jù)勾股定理的幾何意義,可得A,B的面積和為S,C,D的面積和為S,S+S=S,【答案】1012123即S3=2+5+1+2=10.【例題8】【題干】有一塊直角三角形的綠地,量得兩直角邊長分別為6m,8m.現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形,且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形,求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長.【答案】在e

9、qoac(,Rt)ABC中,ACB=90,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得AB=10m,擴(kuò)充部分為eqoac(,Rt)ACD,擴(kuò)充成等腰ABD,應(yīng)分以下三種情況:6個(gè)性化教案如圖1,當(dāng)AB=AD=10m時(shí),ACBD,CD=CB=6m,ABD的周長=10+10+26=32(m).如圖2,當(dāng)AB=BD=10m時(shí),BC=6m,CD=10-6=4(m),AD=AC2CD2錯(cuò)誤！未找到引用源。=45(m),ABD的周長=10+10+45=(20+錯(cuò)誤！未找到引用源。)m.如圖3,當(dāng)AB為底時(shí),設(shè)AD=BD=xm,則CD=x-6(m),由勾股定理得:AD=錯(cuò)誤！未找到引用源。=x,解得,x=錯(cuò)誤！未找

10、到引用源。eqoac(,m.)ABD的周長為錯(cuò)誤！未找到引用源。m.【解析】等腰三角形的分類討論，三條邊兩兩相等.四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.一直角三角形的兩邊長分別為3和4.則第三邊的長為()A.5B.7C.5D.5或7【答案】D【解析】(1)當(dāng)兩邊均為直角邊時(shí),由勾股定理得,第三邊長為5;(2)當(dāng)4為斜邊時(shí),由勾股定理得,第三邊長為錯(cuò)誤！未找到引用源。,故選D.2.如圖,有一塊直角三角形紙板ABC,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm.現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且點(diǎn)C落到點(diǎn)E處,則CD等于()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7個(gè)性化教案【答案】B【解析】由題意可知

11、eqoac(,)ACD和AED關(guān)于直線AD對(duì)稱,因而ACDAED.所以AE=AC=6cm,CD=ED,EDAB,設(shè)CD=ED=xcm,則在eqoac(,Rt)ABC中,由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10cm,在eqoac(,Rt)BDE中,有x2+(10-6)2=(8-x)2.解得x=3.運(yùn)用勾股定理解決折疊問題,往往融方程與幾何圖形于一體,具有較強(qiáng)的綜合性.解決與折疊有關(guān)的問題時(shí),要尋找出折疊前后的不變量(即相等的線段、相等的角),同時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用.3.如圖,eqoac(,在)ABC中,CA=CB,ADBC,BEAC,AB=5,AD=4,則AE=.

12、【答案】3【解析】在eqoac(,Rt)ADB中,根據(jù)勾股定理,得DB=AB2AD2錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。=3.ADBC,BEAC,ADB=BEA=90CA=CB,EAB=DBA,又AB=BA,ADBBEA,AE=BD=3.4.已知,如圖,在ABC中,C=90,1=2,CD=15,BD=25,求AC的長.【答案】AC=308個(gè)性化教案【解析】過D作DEAB,垂足為E,1=2,CD=DE=15,在eqoac(,Rt)BDE中,BE=BD2DE2=錯(cuò)誤！未找到引用源。=20,CD=DE,AD=AD,eqoac(,Rt)ACDeqoac(,Rt)AED,AC=AE.在eqoac(

13、,Rt)ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2,即(AC+20)2=AC2+(15+25)2,解得AC=30.【鞏固】1.如圖,eqoac(,等腰)ABC中,AB=AC,AD是底邊上的高,若AB=5cm,BC=6cm,則AD=cm.【答案】4【解析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可得:BD=錯(cuò)誤！未找到引用源。BC=錯(cuò)誤！未找到引用源。6=3(cm),在直角三角形ABD中,由勾股定理得:AB2=BD2+AD2,所以AD=AB2BD2錯(cuò)誤！未找到引用源。=4(cm).2.如圖,每個(gè)小正方形的邊長為1,ABC的三邊a,b,c的大小關(guān)系是()9個(gè)性化教案A.acbB.abcC.cabD.cbac,即

14、cab.3.如圖所示,數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a,則a的值是.【答案】5-1.【解析】圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2,所以斜邊長為1222錯(cuò)誤！未找到引用源。=5錯(cuò)誤！未找到引用源。,所以-1到點(diǎn)A的距離是錯(cuò)誤！未找到引用源。,那么點(diǎn)A所表示的數(shù)為錯(cuò)誤！未找到引用源。.4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-6,0),(0,8).以點(diǎn)A為圓心,以AB長為半徑畫弧,交x正半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【答案】(4，0)【解析】點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-6,0),(0,8),AO=6,BO=8,AB=AO2BO2=10,10個(gè)性化教案以點(diǎn)A為圓心,以AB長為半徑畫弧,AB=AC=10,

15、OC=AC-AO=4,交x正半軸于點(diǎn)C,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0).【拔高】1.如圖,有兩棵樹,一棵高10m,另一棵高4m,兩樹相距8m.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行()A.8mB.10mC.12mD.14m【答案】B【解析】如圖,設(shè)大樹高為AB=10m,小樹高為CD=4m,過C點(diǎn)作CEAB于E,則四邊形EBDC是長方形,連接AC,EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6(m),在eqoac(,Rt)AEC中,AC=AE2EC2錯(cuò)誤！未找到引用源。=10m.2.如圖中的螺旋由一系列直角三角形組成,則第n個(gè)三角形的面積為()A.nB.錯(cuò)誤！未找到引用源。n2D

16、.nC.錯(cuò)誤！未找到引用源。n2【解析】在第一個(gè)三角形中:OA2=1+1,S=112.【答案】D11在第二個(gè)三角形中:OA2=OA2+1=1+1+1,2111個(gè)性化教案S2=OA112=11錯(cuò)誤！未找到引用源。12.在第三個(gè)三角形中:OA2=OA2+1=1+1+1+1,32S3=OA212=111錯(cuò)誤！未找到引用源。12;在第n個(gè)三角形中:Sn=n錯(cuò)誤！未找到引用源。12=錯(cuò)誤！未找到引用源。3.如圖,在高為3m,斜坡長為5m的樓梯表面鋪地毯,則地毯的長度至少需要m;若樓梯寬2m,每平方米地毯需30元,那么這塊地毯需要花元.【答案】7420【解析】在eqoac(,Rt)ABC中,AC2+BC2

17、=AB2,所以AC2=AB2-BC2=52-32=25-9=16.所以AC=4(m).所以地毯長度為AC+BC=4+3=7(m).所以地毯總面積為72=14(m2).所以需花3014=420(元).課程小結(jié)1.勾股定理2.勾股定理的證明3.勾股定理的逆定理4.常用勾股數(shù)12個(gè)性化教案課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.如圖所示,一場(chǎng)暴雨過后,垂直于地面的一棵樹在距地面1m處折斷,樹尖B恰好碰到地面,經(jīng)測(cè)量AB=2m,則樹高為()A.5錯(cuò)誤！未找到引用源。mD.3mmB.錯(cuò)誤！未找到引用源。C.51m【答案】C【解析】在eqoac(,Rt)ABC中,AC=1m,AB=2m,由勾股定理,得BC，樹的高度為AC+B

18、C;2.如圖,圖中有一長、寬、高分別為5cm,4cm,3cm的木箱,在它里面放入一根細(xì)木條(木條的粗細(xì)、變形忽略不計(jì)),要求木條不能露出木箱,請(qǐng)你算一算,能放入的細(xì)木條的最大長度是()A.41錯(cuò)誤！未找到引用源。cmB.34錯(cuò)誤！未找到引用源。cmC.52cmD.53cm【答案】C【解析】如圖,連接BC,BD,在eqoac(,Rt)ABC中,AB=5cm,AC=4cm,根據(jù)勾股定理,得BC=AB2AC2錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。cm,在eqoac(,Rt)BCD中,CD=3cm,BC=錯(cuò)誤！未找到引用源。cm,13個(gè)性化教案BD=BC2CD2錯(cuò)誤！未找到引用源。=52(cm).

19、3.如圖,要制作底邊BC的長為44cm,頂點(diǎn)A到BC的距離與BC長的比為14的等腰三角形木衣架,則腰AB的長至少需要cm.(結(jié)果保留根號(hào)的形式)【答案】115【解析】如圖,作ADBC于D,ADBC=14,且BC=44cm,AD=11cm.又AB=AC,在eqoac(,Rt)ABD中,AD=11cm,BD=錯(cuò)誤！未找到引用源。BC=22cm,AB2=AD2+BD2,AB=112222錯(cuò)誤！未找到引用源。=115(cm),AB的長至少為115cm.【鞏固】1.一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng),其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長為2m,若A=30,B=90,BC=6m.當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置,即當(dāng)AE=m時(shí),有DC2=AE2+BC2.【答案】x=錯(cuò)誤！未找到引用源?！窘馕觥緼=30,B=90,BC=6m,AC=12m,設(shè)AE=xm,可得EC=(12-x)m,14個(gè)性化教案正方形DEFH的邊長為2m,即DE=2m,DC2=DE2+EC2=4+(12-x)2,AE2+BC2=x2+36,DC2=AE2+BC2,4+(12-x)2=x2+36,x=錯(cuò)誤！未找到引用源。.2.如圖,鐵路上A,B兩點(diǎn)相距25km,C,D為兩村莊,DAAB于A,CBAB于B,已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB附近建一個(gè)土特產(chǎn)收購站E,使得C,D兩村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建在距A站多少千米