數(shù)學(xué)因式分解的九種方法備考2022中考指導(dǎo)

1、數(shù)學(xué)因式分解的九種方法備考2021中考指導(dǎo) 我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。假如把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。下面是小偏整理的數(shù)學(xué)因式分解的九種方法備考2021中考指導(dǎo)，感謝您的每一次閱讀。 數(shù)學(xué)因式分解的九種方法備考2021中考指導(dǎo) 一、運用公式法 我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。假如把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 假如把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用公式法。 二、平方差公式 1、式子： a2-b2=(a+b)(

2、a-b) 2、語言：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。這個公式就是平方差公式。 三、因式分解 1.因式分解時，各項假如有公因式應(yīng)先提公因式，再進一步分解。 2.因式分解，必需進行到每一個多項式因式不能再分解為止。 四、完全平方公式 1、把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反過來， 就可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2 和 a2-2ab+b2=(a-b)2，這兩個公式叫完全平方公式。 這就是說，兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的

3、式子叫完全平方式。 2、完全平方式的形式和特點：項數(shù)：三項;有兩項是兩個數(shù)的的平方和，這兩項的符號相同;有一項是這兩個數(shù)的積的兩倍。 3、當(dāng)多項式中有公因式時，應(yīng)當(dāng)先提出公因式，再用公式分解。 4、完全平方公式中的a、b可表示單項式，也可以表示多項式。這里只要將多項式看成一個整體就可以了。 5、分解因式，必需分解到每一個多項式因式都不能再分解為止。 五、分組分解法 我們看多項式am+an+bm+bn，這四項中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。 假如我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式。 原式=(am+an)+

4、(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n) 做到這一步不叫把多項式分解因式，由于它不符合因式分解的意義。但不難看出這兩項還有公因式(m+n)，因此還能連續(xù)分解，所以：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.從上面的例子可以看出，假如把一個多項式的項分組并提取公因式后它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式。 六、提公因式法 1、在運用提取公因式法把一個多項式因式分解時，首先觀看多項式的結(jié)構(gòu)特點，確定多項式的公因式.當(dāng)多項式各項的公因式是一個多項式時，可以用設(shè)幫助元的方法把它

5、轉(zhuǎn)化為單項式，也可以把這個多項式因式看作一個整體，直接提取公因式;當(dāng)多項式各項的公因式是隱含的時候，要把多項式進行適當(dāng)?shù)淖冃?，或轉(zhuǎn)變符號，直到可確定多項式的公因式. 2、運用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)進行因式分解要留意： (1)必需先將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和等于一次項的系數(shù)。 (2)將常數(shù)項分解成滿意要求的兩個因數(shù)積的多次嘗試，一般步驟： 列出常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積各種可能狀況; 嘗試其中的哪兩個因數(shù)的和恰好等于一次項系數(shù)。 3、將原多項式分解成(x+q)(x+p)的形式。 七、分式的乘除法 1、把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的

6、約分。 2、分式進行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式。 3、假如分式的分子或分母是多項式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式.假如分子或分母中的多項式不能分解因式，此時就不能把分子、分母中的某些項單獨約分。 4、分式約分中留意正確運用乘方的符號法則，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2， (x-y)3=-(y-x)3。 5.分式的分子或分母帶符號的n次方，可按分式符號法則，變成整個分式的符號，然后再按-1的偶次方為正、奇次方為負來處理.當(dāng)然，簡潔的分式之分子分母可直接乘方. 6.留意混合運算中應(yīng)先算括號，再算乘方，然后乘除，最終算加減. 八、

7、分數(shù)的加減法 1、通分與約分雖都是針對分式而言，但卻是兩種相反的變形.約分是針對一個分式而言，而通分是針對多個分式而言;約分是把分式化簡，而通分是把分式化繁，從而把各分式的分母統(tǒng)一起來。 2、通分和約分都是依據(jù)分式的基本性質(zhì)進行變形，其共同點是保持分式的值不變。 3、一般地，通分結(jié)果中，分母不綻開而寫成連乘積的形式，分子則乘出來寫成多項式，為進一步運算作預(yù)備。 4、通分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)。 5、通分的關(guān)鍵：確定幾個分式的公分母。通常取各分母的全部因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。 6、類比分數(shù)的通分得到分式的通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分

8、式，叫做分式的通分。 7、同分母分式的加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。 同分母的分式加減運算，分母不變，把分子相加減，這就是把分式的運算轉(zhuǎn)化為整式運算。 8、異分母的分式加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。 9、同分母分式相加減，分母不變，只須將分子作加減運算，但留意每個分子是個整體，要適時添上括號。 10、對于整式和分式之間的加減運算，則把整式看成一個整體，即看成是分母為1的分式，以便通分。 11、異分母分式的加減運算，首先觀看每個公式是否最簡分式，能約分的先約分，使分式簡化，然后再通分，這樣可使運算簡化。 12、作為最終結(jié)果，假如

9、是分式則應(yīng)當(dāng)是最簡分式。 九、含有字母系數(shù)的一元一次方程 引例：一數(shù)的a倍(a0)等于b，求這個數(shù)。用x表示這個數(shù)，依據(jù)題意，可得方程 ax=b(a0) 在這個方程中，x是未知數(shù)，a和b是用字母表示的已知數(shù)。對x來說，字母a是x的系數(shù)，b是常數(shù)項。這個方程就是一個含有字母系數(shù)的一元一次方程。含有字母系數(shù)的方程的解法與以前學(xué)過的只含有數(shù)字系數(shù)的方程的解法相同，但必需特殊留意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零。 幫助線的九種添加方法 1添幫助線有二種狀況 1按定義添幫助線： 如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90;證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍;證角的

10、倍半關(guān)系也可類似添幫助線。 2按基本圖形添幫助線： 每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添幫助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)當(dāng)叫做“補圖”!這樣可防止亂添線，添幫助線也有規(guī)律可循。舉例如下： (1)平行線是個基本圖形： 當(dāng)幾何中消失平行線時添幫助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線 (2)等腰三角形是個簡潔的基本圖形： 當(dāng)幾何問題中消失一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。消失角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形： 消失等腰三角形底邊

11、上的中點添底邊上的中線;消失角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。 (4)直角三角形斜邊上中線基本圖形 消失直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。消失線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。 (5)三角形中位線基本圖形 幾何問題中消失多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當(dāng)有中點沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補完整三角形; 當(dāng)消失線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形;當(dāng)消失線段倍半關(guān)系且與半線段的端點

12、是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。 (6)全等三角形： 全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等;假如消失兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某始終線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。 當(dāng)幾何問題中消失一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成始終線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行線 (7)相像三角形： 相像三角形有平行線型(帶平行線的相像三角形)，相交線型，旋轉(zhuǎn)型;當(dāng)消失相比線段重疊在始終線上時(中點可看成比為1)可添加平行線得平行線型相像三角形。若平行線過

13、端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。 (8)特別角直角三角形 當(dāng)消失30，45，60，135，150度特別角時可添加特別角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：2;30度角直角三角形三邊比為1：2：3進行證明 (9)半圓上的圓周角 消失直徑與半圓上的點，添90度的圓周角;消失90度的圓周角則添它所對弦-直徑;平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。 2基本圖形的幫助線的畫法 1.三角形問題添加幫助線方法 方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，經(jīng)常利用三角形的中位線，通過這種方法，把

14、要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很簡單地解決了問題。 方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的學(xué)問解決問題。 方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫幫助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。 方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采納截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于其次條線段。 2.平行四邊形中常用幫助線的添法 平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添幫助線方法上也有共同之處，目的都

15、是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相像，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下： (1)連對角線或平移對角線： (2)過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形 (3)連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線 (4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相像或等積三角形。 (5)過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等. 3.梯形中常用幫助線的添法 梯形是一種特別的四邊形。它是平行四邊形、三角形學(xué)問的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)膸椭€將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。幫助線的添加成為

16、問題解決的橋梁，梯形中常用到的幫助線有： (1)在梯形內(nèi)部平移一腰。 (2)梯形外平移一腰 (3)梯形內(nèi)平移兩腰 (4)延長兩腰 (5)過梯形上底的兩端點向下底作高 (6)平移對角線 (7)連接梯形一頂點及一腰的中點。 (8)過一腰的中點作另一腰的平行線。 (9)作中位線 當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的幫助線并不肯定是固定不變的、單一的。通過幫助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。 4.圓中常用幫助線的添法 在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，經(jīng)常需要添加適當(dāng)?shù)膸椭€，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，敏捷

17、把握作幫助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高同學(xué)分析問題和解決問題的力量是大有關(guān)心的。 (1)見弦作弦心距 有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時還須作出相應(yīng)的半徑)，通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。 (2)見直徑作圓周角 在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用直徑所對的圓周角是直角這一特征來證明問題。 (3)見切線作半徑 命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用切線與半徑垂直這一性質(zhì)來證明問題。 (4)兩圓相切作公切線 對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。 (5)兩圓相交作公共弦 對兩圓相交的問

18、題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。 3作幫助線的方法 1中點、中位線，延線，平行線。 如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作幫助線，使延長的某一段等于中線或中位線;另一種幫助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應(yīng)用某個定理或造成全等的目的。 2垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。 如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時幫助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。 3邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做試驗。 如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角相互協(xié)作，然后把圖形旋轉(zhuǎn)肯定的角度，就可以得到全等形，這時幫助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。 4造角、平、相像，和、差、積、商見。 如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相像形有關(guān)。在制造兩個三角形相像時，一般地，有兩種方法：第一，造一個幫助角等于已知角;其次，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相像，和差積商見。” 托列米定理和梅葉勞定理的證明幫助線分別是造角和平移的