大學物理學習指導 第3章 液體的表面性質

1、26第3章體的表面性質3.1內容提要基本概念表面張力：液體的表面猶如張緊的彈性薄膜，具有收縮的趨勢，即液體表面存在著張力，稱為表面張力。它是液體表面層內分子力作用的結果。表面張力系數：用于反映液體表面性質的物理量，三種定義如下：表面張力系數表示在單位長度直線兩旁液面的相互拉力。由f=aL得a=(3.1)L在國際單位制中，a的單位用Nm-i表示。表面張力系數a等于增加單位表面積時，外力所做的功。由ZA=aAS得3.2)AAAS表面張力系數a在數值等于增大液體單位表面積所增加的表面能由厶E=AA=aAS得3.3)AEAS嚴格說來，表面能是在溫度不變的條件下可轉變?yōu)闄C械能的那部分表面能。影響表面張力

2、系數的幾個因素不同液體的表面張力系數不同，它與液體的成分有關，取決于液體分子的性質。同一種液體的表面張力系數與溫度有關。溫度越高,a就越小。液體表面張力系數的大小還與相鄰物質的化學性質有關。液體表面張力系數還與液體中的雜質有關。加入雜質能顯著改變液體的表面張力系數。表面張力的微觀本質微觀理論認為，液體的表面張力是由于液體表面層分子之間相互作用力的不對稱性引起的。所謂液體的表面層是指位于液體表面處，與表面平行、厚度等于液體分子有效作用半彳(一般不超過6xl0-7cm)的那層液體。從能量的角度出發(fā)，分子處于液體表面層時，分子的相互作用熱能要比處于液體內部的分子的相互作用熱能大，而且越靠近液面，分子

3、的相互作用熱能就越大。而液體處于穩(wěn)定平衡時，分子的相互作用熱能最小，因此，液體表面層中的分子都有擠進液體內部的趨勢，結果液體的表面就會盡量地收縮。從力的觀點來看，就是在液體表面內存在一種使其收縮的力，這種力就稱為表面張力。所謂表面張力，無論從力或是從能量的角度來解釋，都是表面層內分子相互作用的不對稱性所引起的。彎曲液面的附加壓強1附加壓強：對于彎曲液面來說，由于液體表面張力的存在，在靠近液面的內外就形成一個壓強差，稱為附加壓強。令液面內壓強為內，液面外壓強(即外界壓強)為p0,則附加壓強ps定義為ps=p內po(34)如果液面是水平的，液內壓強大于液外壓強，即內=p0,貝Vps=p內一p0=o

4、如果液面是凸形的，液內壓強大于液外壓強，即內p0,貝yps=p內一p0o。如果液面是凹形的，液內壓強小于液外壓強，即內vp0,貝yps=p內一p0vO。附加壓強的計算：球形凸液面的附加壓強“內-po2aR3.5)球形凹液面的附加壓強p二攵(3.6)sR上式表明，彎曲液面附加壓強的數值與表面張力系數成正比，與液滴曲率半徑成反比。且球形凸液面的附加壓強為正，球形凹液面其附加壓強為負。球形液泡的內外壓強差p-p=竺(3.7)cAR液體和固體接觸處的表面現(xiàn)象附著層：液體與固體接觸處，厚度很薄(等于液、固分子有效作用距離)的那層液體，和自由液體表面層一樣，也處于一種特殊狀態(tài)，這一薄層稱為附著層。內聚力與

5、附著力：在附著層內將液體分子間的相互吸引力稱為內聚力，固體與液體分子間的吸引力稱為附著力。潤濕與不潤濕現(xiàn)象：由于內聚力和附著力的大小不同，使得有些液體能潤濕固體，有些液體不能潤濕固體。在附著層中當內聚力大于附著力時,附著層收縮，液面呈現(xiàn)向下彎曲的形狀，表現(xiàn)為液體不潤濕固體。反之，在附著力大于內聚力的情況下，附著層擴展，液面呈現(xiàn)向上彎曲的形狀，表現(xiàn)為液體潤濕固體。接觸角：在液體和固體的接觸處，作液體表面的切線和固體表面的切線，這兩條切線通過液體內部所夾的角。稱為接觸角。當。為銳角時，液體潤濕固體；馬為鈍角時，液體不潤濕固體o9=0表示完全潤濕=n表示完全不潤濕。毛細現(xiàn)象：潤濕管壁的液體在細管中液

6、面升高，而不潤濕管壁的液體在細管中液面降低的現(xiàn)象，稱為毛細現(xiàn)象。能夠產生毛細現(xiàn)象的細管稱為毛細管。當液體潤濕管壁時，毛細管內液體上升高度為h二2(XC0S(3.8)Pgr式中Q是液體的表張力系數，為接觸角，p為液體體密度，r為毛細管半徑。當液體不潤濕管壁時，由于為鈍角，故h為負值，表明毛細管內液面下降。液體與管壁的接觸角決定管中液面的升與降。氣體栓塞現(xiàn)象：當液體在細管中流動時，如果管中出現(xiàn)氣泡，液體的流動就要受到阻礙，氣泡產生的多了，就能堵住毛細管，使液體不能流動，這種現(xiàn)象稱為氣體栓塞現(xiàn)象。液體和氣體接觸處的表面現(xiàn)象1蒸發(fā)：常溫下發(fā)生在液體表面上的汽化過程。指單位時間內液體分子逸出液面的數目大

7、于蒸氣分子進入液面的數目。影響蒸發(fā)的因素主要有(對同一種液體)：表面積。表面積越大，蒸發(fā)就越快。溫度。溫度越高，蒸發(fā)越快。通風狀況。液面上通風情況好，可以促使從液體中跑出來的分子更快地向外擴散，減少它們重新返回液體的機會，因而蒸發(fā)就會加快。凝結：物質由氣態(tài)變?yōu)橐簯B(tài)的過程叫做凝結。指單位時間內離開液體的分子數小于蒸汽分子進入液體的數目。飽和蒸汽及飽和蒸汽壓：單位時間內逸出液體的分子數等于單位時間內返回液體的分子數時，這種液體上方保持動態(tài)平衡的蒸汽叫做飽和蒸汽，由它而產生的壓強叫做飽和蒸汽壓。飽和蒸汽壓具有恒定的值，與體積的大小以及有無其它氣體存在無關，但隨溫度的升高而增大，且與液面彎曲情況有關。

8、如凸液面上方飽和蒸汽壓大于平液面及凹液面時的飽和蒸汽壓。3.2學習指導3.2.1基本要求1、理解液體表面張力、表面張力系數的三個定義2、能求解彎曲液面的附加壓強、毛細管內液面上升或下降的高度3、了解液體表面張力、毛細現(xiàn)象在生物和土壤中的應用力的角度3.2.2知識結構圖（表面層三個定義V作功的角度表面張力表面張力系數Vj功能轉化的角度影響表面張力系數的因素表面張力系數的微觀本質廣三種液面附加壓強的正負液體的表面性質彎曲液面的附加壓強彎曲液面附加壓強的大?。ǜ街鴮訚櫇衽c不潤濕現(xiàn)象V內聚力與附著力接觸角毛細管與毛細現(xiàn)象I液體在毛細管內上升的高度影響蒸發(fā)的因素蒸發(fā)飽和蒸汽壓蒸發(fā)與凝結I彎曲液面處的飽和

9、蒸汽壓凝結3.3典型題解析例3.1.如何理解液體的表面張力現(xiàn)象?答：在液體表面上厚度約等于分子有效作用距離的薄層液體（稱為液體的表面層）內存在液體的表面現(xiàn)象，處在液體表面層中的分子都有向液體內部靠攏的趨勢，猶如張緊了的彈性薄膜。從力的角度看，在液體表面內形成一種向內收縮的力，這種力稱為表面張力，表面張力的存在，使得液體盡量減小它的表面積，表面張力的方向處處與液面相切。在液體內部的分子受到其周圍以分子有效距離為半徑的范圍內其它分子的引力，由于對稱性，其它分子對它的合引力為零；而對處于液體表面層內部的分子，以分子有效作用距離為半徑的范圍有一部分落在液面外側，對稱性受到破壞，故此分子受到一垂直液面并

10、指向液體內部的合引力作用。這樣，處于液體表面層內的分子都受到一垂直向下的合力，而使表面層中的分子都有向液體內部靠攏的趨勢，液體分子越靠近表面所受到的合力也越大。如果液體內部分子試圖到達表面層，則必須克服上述指向液體內部其他分子合引力作用，所消耗的功將轉變?yōu)楸砻鎸又蟹肿娱g相互作用的勢能，稱為表面能。表面張力的存在，使得液體表面積盡量減小，直至表面能為最小。表面張力的存在使液滴表面以及與固體相接觸的液面都呈彎曲形狀，同時還使液面兩側的壓強具有不同的值，引起附加壓強的產生。毛細現(xiàn)象也是由液體的表面張力所引起?！驹u注】液體的表面張力現(xiàn)象廣泛存在于氣液接觸面、液液分界面及固液接觸面上，在日常生活中處處可

11、見。表面張力現(xiàn)象在宏觀上是沿著液體表面的相互拉力，而在微觀上是分子力的作用。正確理解其內在與外在的實質，可以有效地利用或克服表面張力現(xiàn)象。例3.2.液體表面現(xiàn)象有什么應用?答：液體表面張力所引起的毛細現(xiàn)象在植物及土壤方面等領域的研究中已得到很好應用。對植物的研究表明，毛細作用是植物體內液體輸運的重要途徑之一，在植物細胞壁中含有大量的毛細管，這些毛細管是由原纖維間的細小空間形成的，它是植物長距離輸運水分、養(yǎng)料的重要途徑。毛細現(xiàn)象還對保持土壤水分起著重要的作用。在土壤內部水分的傳輸以毛細作用為主，有的土壤毛細管結構不好，植物不能很好生長，增加腐殖質不僅能增加肥料，還可以改變土壤的毛細結構，增加毛細

12、水的儲量。旱季播種后常把地表壓實，這樣可使土壤顆粒之間形成很好的毛細管，水分沿管上升到地面，浸潤種子使其發(fā)芽；而冬耕的目的之一在于破壞土壤表層的毛細管，使較深層的水分不易上升到地面而被蒸發(fā)散失掉。但在某些情況下，我們需要盡量減小表面張力所產生的影響，如在洗衣服時，由于水的表面張力，使衣服纖維和水之間不能很好的接觸；噴灑農藥時，表面張力的存在也使農藥不能均勻地展開在葉面上。這時若在水中加入一些表面活性物質來減小水的表面張力系數，就可以使衣物與水更好地接觸從而污漬易被冼凈，也可使農藥均勻的展開在植物枝葉上而易被吸收。評注】以上我們只是簡單介紹了液體表面現(xiàn)象的幾點應用，其實液體表面現(xiàn)象在醫(yī)學、生物學

13、等很多學科領域均得到了廣泛應用。圖3.1例3.3圖例3.3.如圖所示為一連通管，首先關上q，打開和C2,在A邊吹出一個大肥皂泡，再關上C,打開C,在B邊吹出一個小肥皂泡，23最后關上q，打開c2和c3，這時將會出現(xiàn)什么情形？答：對于一球形肥皂泡，其內外壓強差為p-p=竺，且壓強內夕卜R差與曲率半徑R成反比。對于圖中所示大、小肥皂泡，其外部壓強一樣，而大肥皂泡由于曲率半徑R大于小肥皂泡之曲率半徑，故小肥皂泡內氣體壓強大于大肥皂泡內氣體壓強，因此，小肥皂泡內氣體將向大肥皂泡內移動。當關上打開c2和c3后我們將會看到大肥皂泡不斷增大，小肥皂泡不斷縮小，直到最后小肥皂泡收縮到在管端僅剩下一帽頂，帽頂的

14、曲率半徑與大泡的曲率半徑相等?！驹u注】有的同學一看到連通管，便不假思索的認為大的肥皂泡變小，小的變大。理由是大的內部氣體多，因而壓強大，一旦連通，則一定是大的肥皂泡內氣體壓向小的一邊，所以出現(xiàn)大的變小，小的變大。但是若考慮到，表面張力使肥皂泡表面出現(xiàn)球形彎曲而產生附加壓強的現(xiàn)象，則分析結果正好相反。例3.4具有一可移動邊KL的框架ABCD（如圖所示）豎直放置，其上覆蓋了一層肥皂膜，試問：要保持平衡，鋼棒KL直徑應為多少？若保持溫度不變，鋼棒下移lcm需做功4.5X10J,則棒長L為多少？（已知鋼密度為p=8.5X103kg亦，肥皂水表面張力系數a=0.045Nm-i)解：分析鋼棒KL之受力可知

15、，鋼棒受本身重力和肥皂膜的表面張力,要保持KL平衡，則兩力相等。設鋼棒直徑為D、長度為L,則重力為G=mg=pn(#)2Lg表面張力為F=2aL當二力平衡時，有G=F即pn(2)2Lg=2aL故8aD=1.2mmPng由表面張力系數的第二個定義可知，表面張力系數等于增加單位表面積時，外力所需做的功。設鋼棒下移1cm所做功引起的肥皂膜表面積增加量為S=2LAx=0.02L因表面張力系數等于增加單位表面積時需作的功，即AAa=一AS將厶A=4.5X10-5J，a=0.045Nm-i代入上式，得0.045=4.5x10-50.02LL=0.05m【評注】題中所給框架上覆蓋肥皂膜后，應注意此時呈現(xiàn)上下

16、兩層薄膜，故計算肥皂膜所產生的表面張力時，每一薄層在L長度上產生表面張力為aL,則題中所給肥皂膜產生表面張力F=2aL,肥皂膜表面積增加量，也為兩層膜面積，即S=2Lxo例3.5為了估計液體表面積改變時所發(fā)生的能量變化，試求當半徑為r=2X10-3mm的許多小水滴融合成一半徑為R=2mm的大水滴時，所釋放出的能量。假設水滴呈球狀，水的表面張力系數=73X10-3Nm-1在此過程中保持不變。解：許多小水滴融合成大水滴時，所釋放出的能量來之于水滴表面積減小時所釋放的表面自由能。根據表面張力系數的定義，減小的表面自由能AE=a-AS。若設小水滴數目為n,n個小水滴的總面積為S=4nr2n則大水滴的面

17、積為S=4nR2在融合過程中，小水滴的總體積應與大水滴的體積相同，即44nr3n=nR333R3n二r3表面張力系數aAEa=AS由此，溶合過程中釋放的能量AEraS=a(4nr2n-4nR2)R=4na(-1)R2r=4x3.14x73x10-3(-1)x4x10-62x10-3=3.66x10-3J【評注】表面張力系數a有三個定義：其一是從力的角度，即f=aL；其二是從力做功的角度，即Ara；其三從能量守衡與轉化的角度，艮阪=理。題中要求能量的轉化，自然是應用第三個定義。當然它們是從不同角度求解或測定AS表面張力系數的幾種方法，應據具體情況靈活運用。例3.6今有10克酒精從一內徑為2mm垂

18、直豎立的移液管一滴一滴流出，共流出800滴，在此過程中可認為液滴呈球形，并假定滴下的酒精滴的最大直徑等于試管內徑，求酒精的表面張力系數。解：在降落瞬間，在L長度上酒精的表面張力為f=and，每滴酒精的重量為G=mg。n因為G=f所以mg=andnmgnnd10 x10-3x9.8800 x3.14x2x10-3=19.5x10-3N-m-1【評注】在降落瞬間，液滴的重量將打破長度為L=2n(d/2)的表面膜，即液滴的重量等于此長度下的表面張力f=and，每滴酒精的重量為G=mg，據此可求的表面張力系數a。本題的關鍵在于正確分析液滴下落過程的受力，n只要明白液滴之所以成球形是因為存在表面張力，當

19、重力大于或等于表面張力時，液滴下落，其球形被破壞。另外，表面張力的計算中，有時用單層膜有時是雙層膜，不可死套公式。題中這種用來測定液體表面張力系數的方法被稱為液滴測定法，在農學、植保、牧醫(yī)等專業(yè)中常采用它來測定液體的表面張力系數。例3.7將壓強為p=1.013x105Pa的空氣，等溫地壓縮進肥皂泡內，最后吹成半徑為?=2.5cm的0肥皂泡。求增大肥皂泡內外表面的面積所需做的功；設肥皂泡的脹大過程是等溫的，試求吹成這肥皂泡所需作的功。已知肥皂水的表面張力系數a=2.5x10-2N-m-1。解：應用表面張力系數的第二個定義，增加單位表面積所增加的表面能等于外力所需做的功，即a=AA。那么用于增大肥

20、皂泡內外表面積所需做的功為ASA=a-S=a-8n2=2.5x10-2x8x3.14x(2.5x10-2)2=3.93x10-4J(1)1設p表示泡內空氣的壓強，Po表示泡外的大氣壓強，則p-p04a4aP=P0+(2)TOC o 1-5 h z肥皂泡的膨脹是一等溫過程。因此，吹成這肥皂泡所需做的功應等于氣體等溫過程所做的功。從壓強為的初狀態(tài)將空氣壓縮到壓強為p的末狀態(tài)，在此壓縮過程中外界對系統(tǒng)所做的功為 HYPERLINK l bookmark95 A=-Tln厶=PVln2 HYPERLINK l bookmark97 2Mpp0將(2)式代入(3)式得26式中4ap=p+0T(-nR3V

21、=-nR3,34a、ln1+IRp丿0y4auRp0(4a)ln1+丿(Rp.丿0因竺遠小于1,所以Rp04a11+u1Rp0(4a)4(4a)A=p1+nR3ln1+20（甌丿3kRp丿404a16uPnR3-=nR2a03Rp3TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark223 202=8nR2a=A HYPERLINK l bookmark289 331吹成肥皂泡所需作的總功為25A=A+A=A+A=A=6.5x10-4J1213131【評注】此題是氣體等溫過程作功與液體表面張力系數以及彎曲液面附加壓強的綜合性問題。將氣體吹入肥皂泡內,外力所需做的功應包括兩部分：

22、其一是增加液體表面能時外力所作的功；其二是氣體等溫膨脹過程所作的功。一般情況下僅計算第一部分的功值即可。例3.8求直徑d=0.01mm的空氣泡在水下深度h=20cm處的空氣壓強，設水面壓強為大氣壓P0=1.013X105Pa，已知水的密度p=103kgm-3，水的表面張力系數a=72X10-3Nm-1。解：空氣泡中的空氣壓強是由大氣壓P0、水柱的靜壓力卩（片=pgh）及氣泡彎曲面附加壓強P2所組成。由此可知，空氣泡內氣體壓強為2ap=p+p+p=p+pgh+-120R2x72x10-3=1.013x105+103x9.8x20 xlO-2+0.01x10-3/2=1.32x105Pa【評注】此

23、題中牽涉到球形液面附加壓強問題，對于球形凸液面，液體內部壓強大于外部壓強，附加壓強為正值，2a2ap=；對于球形凹液面，液體內部壓強小于外部壓強，附加壓強為負值，p=-，式中R為球形液面曲率半徑。sRsR例3.9一肥皂泡直徑為5cm，表面張力系數為25X10-3Nm-1，試求肥皂泡內計示壓強。解：肥皂泡液膜是雙層膜，但液膜很薄，故內外表面半徑可看作相等，若設肥皂膜內壓強為，泡內壓強為P，泡外壓強為P0,即1)p-p02aR2)2ap-p=-1由上面兩式得式中R=-x10-2m,24aa故計示壓強為【評注】本題考查了計示壓強和彎曲液面附加壓強的定義。由本題結論知，球形液泡內外壓強差與液泡半徑成反

24、比，液泡越小，其內部壓強越大。工廠在吹制玻璃器件時利用了這一原理，開始吹時壓強比較大，吹大后就要要減小壓強。例3.10鋼針輕放于水面上，試討論鋼針為什么不會下沉？設鋼針直徑d=1mm，長度為L=4cm,水的表面張力系數a=72.8X10-3Nm-i,鋼密度p=8.5x103kg-m-3，若鋼針所在位置處彎曲液面的切線（即表面張力f方向）與豎直方向夾角。=63。解：鋼針輕放于水面上，將水面壓下一凹面（如圖如示），故受液體的表面張力與其本身重力，且兩力平衡。已知鋼針直徑d=1mm，長度為L=4cm,水的表面張力系數a=72.8X10-3Nm-1，鋼密度p=8.5x103kg-m-3。則鋼針所受重力

25、為G=mg=pn(2)2Lg=8.5x103x3.14x(1x10-32)2x4x10-2x9.8=261.562x10-5N由于表面張力f在水平方向上分量向四周發(fā)散，彼此抵消，故在豎直方向上的合力為F=2aLcos0=2x73x10-3x4x10-2xcos63=261.513x10-5N可見，G=F，即鋼針浮于水面上而不下沉，是由于鋼針重力和表面張力在豎直方向上的合力相互相抵消所致。【評注】題中鋼針并未浸入水中，只是將水面壓下一凹面，故不受浮力，鋼針之所以能浮在水面上而不下沉，是因為鋼針所受液體的表面張力與其本身重力相平衡的結果。故正確分析物體的受力對解決問題非常重要。例3.11如圖示，試

26、求一恰在水面下氣泡內空氣的壓強，設氣泡半徑R=5X10-6m，水的表面張力系數73X10-3N*m-i,大氣壓強P0=1.013X105Pa。解：因氣泡恰在水面下，故氣泡外液體內壓強近似等于大氣壓強。設氣泡內壓強為p內，此時液面為一凹液面（如圖示），根據附加壓強內2ap0-卩內=-R的定義可有則氣泡內空氣壓強為p=p+攵=1.013x105+2x73x10-3=1.3x105Pa內0R5x10-6【評注】本題有三個易錯點：一是氣泡恰在水面下的理解。因氣泡較小，故氣泡外液體內壓強應近似等于大氣壓強；二是正確判斷液面的形狀。液面是凸面還是凹面，應站在液體內部的角度來看。三是附加壓強定義的理解。附加

27、壓強等于液體內部壓強與外部壓強之差。三方面任一含混不清均造成結果錯誤。正確清楚的理解物理概念對解題的每一步都異常的關鍵。例3.12一根內直徑為1mm的玻璃管，豎直插入盛水銀的容器里，管的下端在水銀面以下1cm處，要在管的下端吹出一半球形氣泡，管中空氣計示壓強為多少?已知水銀的表面張力系數a=465X10-3Nm-1,密度p=13.6X103kgm-3,解：此為毛細管問題。管內壓強由三部分組成，即p=p+pgh+p，由題可知，毛細管半徑R=50附加X10-4m，h=0.01m,液體的彎曲液面為凸液面，其附加壓強為2ap=附加R管內壓強為,2aP=P0+Pgh+R管內計示壓強為2a,P-P0=+P

28、gh=246510+13.6x103x9.8x0.015x10-4=3193Pa【評注】此題仍是考查計示壓強與附加壓強的問題。在討論球形液面內、外附加壓強的有關問題時，應首先分清液面內與液面外，以及液面的形狀，且牢記附加壓強為液面內部壓強減去液面外部壓強，只有這樣解題才不會出錯。例3.13如圖所示，將兩個平行板插入液體中，由于毛細現(xiàn)象使兩板間的液面上升，試導出液面上升的高度公式。解：設兩板間距為d,兩玻璃板長為L,板間液面比板外高h,液體密度為p，表面張力系數為a，接觸角為0，則有2Lacos0=Ldhpg，得,2acos0h=Pgd【評注】在討論潤濕現(xiàn)象時，應能理解接觸角的定義，接觸角為液體

29、與固體接觸處，和液面相切通過液體內部與固體所夾的角。在此題中，表面張力在豎直方向上的分量2Lacos0與液塊重力平衡時，使液面上升到一穩(wěn)定高度它與毛細管內液體上升高度相同。例3.14根內直徑為1mm的玻璃管，豎直插入盛水銀的容器里，管的下端在水銀面以下lcm處，若管內空氣壓強比外界壓強低3X103Pa，水銀在管內會升到多高?設與玻璃接觸角為140，水銀表面張力系數a=465X10-3Nm-i,水銀密度p=13.6X103kgm-3。解：管內水銀柱上升應來自兩方面的原因，一是內外壓強差所致；二是液體與毛細管潤濕與不潤濕所致。由已知，4=3X103Pa，則管內液柱上升的高度片為h1二如Pg又由已知

30、0=140，水銀與毛細管不潤濕，液體在管內下降高度為acos0pgr則水銀在管內上升的高度為773x1032x465x10-3xcosl401213.6x103x9.813.6x103x9.8x5x10-4=1.18x10-2m【評注】此題為典型的毛細管現(xiàn)象。當液體潤濕毛細管時液面在管內上升，不潤濕時在管內下降。管內液面上升（下降）的高度h與表面張力系數a成正比，與毛細管半徑成反比。毛細管半徑越小，在潤濕情況下，管內液面上升得越高，在不潤濕時，管內液面下降得越多。例3.15如圖所示，U型管中注以水，設右邊毛細管的內半徑r=5.0X10-5m，左邊毛細管的內半徑R=2.0圖3.6例3.15圖X1

31、0-4m，求兩管內水面的高度差h。水的表面張力系數a=73x10-3N-m-1，接觸角0=0。解：因水與管壁的接觸角0=0。即水完全潤濕管壁，彎曲液面為凹液面。故左邊毛細管中液面下A點的壓強為h=2a右邊毛細管中液面下B點的壓強為應用靜力學原理，A、B兩點的壓強差為則有2apb=p0r役-Pb=Pgh2a2a2x73x10-3(103x9.85.0 x10-52.0加=0.22m【評注】如果不考慮毛細管現(xiàn)象，則兩點間的壓強差純屬靜力學問題。若考慮到毛細現(xiàn)象時，液體與管壁之間的潤濕與不潤濕所引起的液面上升或下降也應包含。例3.16根兩頭開口的玻璃毛細管,內直徑d=0.40mm,長l0=2Ocm。

32、水平地浸入水銀中，空氣全部留在管內。若管子浸入深度=15伽，如圖所示。求管中空氣柱的長度l。已知接觸角0=180，水銀空氣圖3.7例3.16圖a=490 x10-3N-mt,p=1atm。水銀0解：空氣柱從空氣放入水銀中，可近似看作等溫變化，若設放入水銀中空氣的壓強為P，大氣壓強為p0,貝y有pi=p0i0。因水銀與玻璃不潤濕，所以要用到附加壓強的概念。設水銀面處的壓強為p,由附加壓強的定義可知2ar4a=dP=P0+Pgh4a4x490 x10-30.40 x10-3P=P0+勁一丁=1.13xl05+13.6x103x9.8x0.15=1.28x105Pa空氣柱中氣體做等溫變化，故有pl=

33、pl00=17.6cm1.13x105x201.28x105【評注】當毛細管水平地浸入水銀中，空氣全部留在管內，且浸入的深度只有15cm,那么氣柱體積的變化是由于壓強的改變而變化。因此問題的關鍵是求出空氣柱內氣體的壓強，從而歸結為靜力學壓強和附加壓強的問題。例3.17樹干外層是由一些木質的細管子組成，假設每個細管都是均勻的圓柱體，樹液完全由毛細現(xiàn)象而上升，樹液的表面張力系數為0.05Nm-1，接觸角為45。問高為20m的樹，木質管子的最大半徑是多少？樹液密度近似取水的密度。解：樹液上升是由于毛細現(xiàn)象，根據毛細管理論，樹液在管內上升的高度為2acos0Pgr2626故毛細管的半徑為2acos02

34、x0.05cos45o/r=3.6-7mpgh103x9.8x20【評注】樹液上升是由于毛細現(xiàn)象，毛細管內液體上升的高度與管徑成反比，管徑越小，液體在管內上升的高度則越高，而越高的樹，其樹內的木質管徑越細。例3.18一根橫截面是圓形的管子，外半徑是0.14cm,端封閉，在管的封閉端加一重物，并使管的封閉端向下豎直地浮在水里。管和重物的總質量為).2g,如果接觸角為零，問管的封閉端低于水面多少？a=73x10-3N-m-1。水解：已知管半徑R=0.14cm=1.4X10-3m，管和重物的總質量m=0.2g=2X10-4kg，設管子的封閉端沒入水面的深度為h,則管子所受浮力為/=pnR2h浮水管子

35、與表面層水之間的表面張力為f=aL=a2nR張由三力平衡得G=f+f浮張即mg=pnR2h+a2nR水mg-a2nRh=pnR2水=2x10-4x9.8一73x10-3x2x3.14x1.4x10-3=103x3.14x(1.4x10-3)2=0.214m【評注】管子在水中受三個力的作用：管子和重物的重力作用；管子深入液體內所受浮力；管子與表面層水之間存在表面張力。由三力平衡列方程求解。本題在分析受力時，易將表面張力漏掉，而且在計算其大小時，表面張力系數的三個定義要根據情況靈活運用。3.4課后習題選解3.1一矩形框被可移動的橫桿分成兩部分，這兩部分分別蒙以表面張力系數為40 x10-3和70

36、x10-3N-m-1的液膜，橫桿與框的一邊平行長度0.1m為，求橫桿所受的力。解：根據表面張力定義F=aL得f=a2Lf=a2L1122F=ff=2(aa)L=2xC。x10-340 x10-3)x0.1=6x10-3N21213.2一個毛細管，水能在管內升高到h，假如把這個毛細管插入水中，露出水面的高度h/2為，你能不能由此得到人造噴泉，為什么？水在管中上升的高度是多少這時接觸角多大？解：不能，由于水面上升到處，液面的曲率半徑增大。2ah=pgrh2acos02Pgrcos00=13.3如圖3.8，半徑為r的毛細管插入水中，圖中A、B、C、D各點的壓強是多少？解：p=pp=pp=0p=p-p

37、=p-絲=p-2acos0為接觸角。A0D0CB0S0R0r3.4等溫地吹出一個直徑d=5.0X10-2n的肥皂泡需做多少功？這時肥皂內外壓強差是多少（肥皂泡的表面張力系數為a=2.5x10-2N-m-1)?解：根據表面張力定義AW=aAS，得AW=aAS=2.5x10-2x2x4nxr2=2.5xlO-2x2x4x3.14x5.0 x10-2)=3.925x10-4J4a4x2.5x10-2P=4PasR5.0 x10-2235個人先吹起了一個半徑為的肥皂泡,接著他又在剛才那個肥皂泡內吹起了一個半徑為1的肥皂泡。試求此時外面那個肥皂泡的半徑與、r1之間的關系；（2）此人在吹第二個肥皂泡時所做

38、的功為多少？假設吹肥皂泡的過程很緩慢，周圍環(huán)境的壓強為0，溫度為肥皂泡表面張力系數加。TOC o 1-5 h z解：（1）設后來外面肥皂泡的半徑為R，則兩肥皂泡之間的壓強和體積分別為:4a4p=p+V=兀（R3-r3） HYPERLINK l bookmark291 0R31由pV=常數，得 HYPERLINK l bookmark229 4a44a4pV=(p+)x兀(R3-r3)=(p+)x兀r3220R31-”4a4tt HYPERLINK l bookmark233 由上式可得：（p+）x（R3r3）=（p+）r30R10r00（2）在吹第二個肥皂泡時液體表面增加的勢能為AE=aAS=

39、a4兀r2+4兀(R2一r2)2=8mx(r2+R2一r2)p由功能轉化原理外界做的凈功為而大氣對肥皂泡做的負功為W大氣所以人做的功為W=AE凈p4=p兀(R3一r3)0304W=AE+W=8兀a（r2+R2一r2）+兀p（R3一r3）p大氣103003.6如圖所示，在水中平行而豎直地插入兩塊間距為0.5mm玻璃板。求板間水面上升的高度？已知接觸角0=0,水的a=7.3x10-2Nm-1。解：根據題意,表面張力在豎直方向上的分量與液塊重力平衡得2lacos0=Idhpg于是2acosah=2x7.3x10-5=2.98x10一2mpgd1.0 x103x9.8x0.5x10-33.7一根內直徑

40、為1.0mm上端封口的玻璃管，豎直插入水銀中，平衡后,管內氣壓比大氣壓低30X102Pa,求水銀在管內變化的高度？接觸角0=140,a=465x10-3Nm-1。解：因為管內液柱比管外高是由毛細現(xiàn)象和壓強差共同產生的7AP2acos03.0 x1022x465x10-3xcos140.“h=+=+=1.18x10-2mpgpgr13.6x103x9.81.013.6x103x9.8xx10-323.8一株高5m的樹，外層載水管子（樹液輸管）為均勻毛細管，半徑X10-4mm為；設樹液的表面張力系數a=0.05Nm-1，接觸角為45，問樹的根部最小壓強為多少時,才能使樹液上升到樹的頂端（樹液的密度

41、近似取水的密度）？解:方法與3.7同，P=-2.035x105Pa3.9在50km2的湖面上，下了一場50mm的大雨，雨滴半徑r=l.Omma=72.8x10-3Nm-1設溫度不變，求釋放出來的能量。解：在雨滴匯聚成水面過程中，體積不變得44（Sh=nnr350 x10-6x50 x10-3=nnx1.0 x10-333rn=6x1014AE=aAS=a2-S)=72.8x10-3x匸x1014x4x3.14x(.0 x10-3)-50 x10J=5.4x108J3.10深為h=2.0m的水池底部產生的直徑為d=5.0X10-5m的氣泡，等溫地上升到水面上時，直徑為多大？水的表面張力系數為a=

42、7.3x10-2N.m-1。解：設氣泡在水面處的半徑為R,壓強為P。在水面下h處的半徑為R,壓強為P根據題意4nR3匕_3P12a+Pgh+-RP=P+絲0R（1）2）3）（1）（2）（3）聯(lián)立得R=2.69x10-5m，對應的直徑d=2R=5.38x10-5m3.11半徑為1.0X10-2m的球形泡在壓強為1.136X105Pa的大氣中吹成，如泡膜的表面張力系數為a=5.0 x10-2Nm-1，問周圍的大氣壓強多大，才可能使泡的半增加為2.0 x10-2N?設這種變化是在等溫情況下進行的。解：設半徑R=1.0X10-2m時壓強為P半徑為2.0X10-2m時,壓強為PP=1136X105P=P

43、04a+R（1）2）4nR33）nR331）（2）（3）聯(lián)立求解得P0=14192.5Pa312兩個半徑為a1和的肥皂泡接觸后合并成一半徑為a的肥皂泡，設周圍環(huán)境的壓強為仏，溫度為T0，肥皂泡表面張力系數知。求半徑a1，a2和a之間的關系。解：合并前兩肥皂泡內的壓強分別為4ap=p+0a14ap=p+0a2合并后肥皂泡內的壓強為4ap=p0+0a由pV=pV+pV，及以上三式可得半徑a，a和a之間的關系為:112212pa3+4aa2=p(a3+a3)+4a(a2+a2)0012123.13有人可以吹出套在一起的肥皂泡，即在一個大的肥皂泡內套著一個小的肥皂泡，設大的肥皂泡半徑為r，小的肥皂泡半

44、徑為r。受擾動小的肥皂泡破裂，問此時大的肥皂泡半徑與r、r之間的關系。1212設周圍環(huán)境的壓強為P0,溫度為T，肥皂泡表面張力系數為x。00解：小肥皂泡破裂前兩肥皂泡內的壓強分別為P=P。+匚4x4xp=p+小肥皂泡破裂后大肥皂泡內的壓強為由pV=pV+pV，及以上三式可得半徑r與r、r之間的關系為：112212pr3+4ar2二p(r3+r3)+4a(r2+r2+2)001212r3.14一個半徑為5cm金屬圓環(huán)，從液體中剛能拉出時，測得在環(huán)的懸線上力IF=2.83X10-2N的向上的拉力，求該液體的表面張力系數(被拉出的液膜可視為很短的圓柱面。)解：根據地F=aL得F=a2nr2.83x10-2=2x2x2x3.14x5x10-2a=2.25x10-2N-m-13.15我們可以利用毛細現(xiàn)象來測定一些微管的內徑。已知在20C時，水能將玻璃完全浸潤，即水與玻璃的接觸角為0=0C,水的表面張力系數為a=0.073N/m。測得水在某一玻璃細管中的上升高度為5cm,問這一細管的內徑為多少？2acos0解：由毛細現(xiàn)象的公式h=，得2acos0r=Pgh2x0.073即管的內半徑為：0.29mm。3.16某燈芯能把水引到80mm的高度問酒精在這燈芯中可以上升多