《高等數學專題研究》課程教學大綱

1、 高等數學專題研究課程教學大綱 一、課程信息課程代碼（COURSE CODE）316B4022課程名稱（COURSE TITLE）高等數學專題研究課程性質（COURSE CHARACTER）專業(yè)選修學分（CREDIT）3周數（WEEKS）16學時（CONTACT HOURS）32+32先修課程（PRE-COURSE）高等數學課程負責人（COURSE COORDINATOR）適用專業(yè)統(tǒng)計學課程簡介：高等數學專題研究課程是全面系統(tǒng)地研究高等數學的一門學科，是統(tǒng)計學專業(yè)的一門專業(yè)選修課.該課程根據考研大綱，結合考研真題，研究一元函數的微積分、多元函數的微積分、無窮級數及常微分方程等內容.通過本課程的

2、教學，要求學生了解考研數學的基本內容、基本范圍及基本題型；能夠加深理解高等數學中的基本概念，基本理論和基本方法，能夠運用高等數學的主要內容，研究考研真題和考研模擬題，掌握解題技巧和方法，提高計算能力和綜合運用知識的能力；對高等數學課程內容的解讀有自己的深度與廣度，提升學生的數學素養(yǎng)；不斷形成強烈的高等數學學習的愿望與興趣，自覺的數學研究的專業(yè)態(tài)度與學術熱情.二、課程目標通過本課程的學習，學生應具備以下幾方面的目標：1、通過本課程的學習，學生具有分析問題和解決問題的能力，能夠進一步提高計算能力和綜合運用知識的能力.2、通過本課程的學習，學生能夠能夠對高等數學的主要內容進行提綱挈領式的系統(tǒng)總結并加

3、以適當拓廣，以較高的起點來全面系統(tǒng)地掌握高等數學中基本概念基本理論和基本方法.3、通過本課程的學習，學生掌握高等數學中所涉及的各種數學思想和方法，具有對一些實際問題進行建模的初步能力，能夠進一步形成解決問題的思維方式和良好的思維習慣，提高數學修養(yǎng).4、通過本課程的學習，學生具有努力鉆研和勇于克服難題、自主學習、終身學習的態(tài)度和能力，能夠在學習中加強溝通與合作能力的鍛煉，為后續(xù)的進一步學習與研究打下堅實基礎.課程目標對畢業(yè)要求的支撐關系表畢業(yè)要求畢業(yè)要求指標點課程目標1課程目標2課程目標3課程目標4畢業(yè)要求3畢業(yè)要求指標點3.2HHH畢業(yè)要求7畢業(yè)要求指標點7.1M三、教學內容與預期學習成效知識

4、單元對應課程目標知識點預期學習成效實現環(huán)節(jié)學時1. 函數、極限、連續(xù)課程目標1、2、3、4、1.函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；2.復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立； 3.數列極限與函數極限的定義及其性質，函數的左極限和右極限；4.無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較;5.極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限；6.函數連續(xù)的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 1理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系；

5、2了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；3理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念；4掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念；5了解數列極限和函數極限（包括左極限與右極限）的概念；6了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法；7理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方法了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系；8理解函數連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數間斷點的類型；9了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質課堂教學

6、；課堂討論；3.課內實踐： 教師引導學生解題，教師給予歸納總結. 理論5學時+實踐5學時課程思政：函數、極限與函數連續(xù)性是微積分的理論基礎，通過求極限，無窮小量的比較及求間斷點及判別間斷點類型等考研真題的討論，掌握微積分的基本概念和基本理論，逐步建立對高等數學的濃厚興趣，增強學好數學的信心和勇氣.2. 一元函數微分學課程目標1、2、3、41.導數和微分的概念，導數的幾何意義和經濟意義，函數的可導性與連續(xù)性之間的關系， 平面曲線的切線與法線；2.導數和微分的四則運算，基本初等函數的導數，復合函數、反函數和隱函數的微分法，高階導數，一階微分形式的不變性； 3.微分中值定理，洛必達法則；4.函數單調

7、性的判別，函數的極值 函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函數圖形的描繪，函數的最大值與最小值1理解導數的概念及可導性與連續(xù)性之間的關系，了解導數的幾何意義與經濟意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程；2掌握基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則及復合函數的求導法則，會求分段函數的導數，會求反函數與隱函數的導數；3了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數；4了解微分的概念、導數與微分之間的關系以及一階微分形式的不變性，會求函數的微分；5理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解泰勒定理、柯西中值定理，掌握這四個定理的簡單應用 ；6會用洛必達法則求極限7.掌握函數單調性的判別方法，了解函數極值的概念

8、，掌握函數極值、最大值和最小值的求法及其應用； 8. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性會求函數圖形的拐點和漸近線1.課堂教學；2.課堂討論；3.課內實踐： 教師引導學生解題，教師給予歸納總結. 理論8學時+實踐8學時課程思政：導數與微分是微分學的兩個基本概念，是研究函數局部性質的基礎，微分中值定理建立了函數與導數之間的聯系，是利用導數研究函數基本性質的理論基礎，通過考研真題的討論，掌握證明函數不等式，與微分中值定理有關的證明題等題型的解題技巧和方法，逐步建立對高等數學的濃厚興趣，增強學好數學的信心和勇氣.3. 一元函數積分學課程目標1、2、3、41.原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本

9、積分公式；2.定積分的概念和基本性質，定積分中值定理；3.積分上限的函數及其導數，牛頓-萊布尼茨公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法；4.反常（廣義）積分；5.定積分的應用1理解原函數與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法與分部積分法；2了解定積分的概念和基本性質，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數并會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法；3會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和函數的平均值，會利用定積分求解簡單的經濟應用問題；4了解反常積分的概念，會計算反常積分課堂教學；課堂討論；3.課內實踐：

10、教師引導學生解題，教師給予歸納總結. 理論5學時+實踐5學時課程思政：積分是研究函數整體性質的，一元函數積分學是微積分的另一個主要內容，通過變上限積分及其應用、用定積分計算幾何量等考研真題的討論，掌握相關題型的解題技巧和方法，逐步建立對高等數學的濃厚興趣，增強學好數學的信心和勇氣.4.多元函數微積分課程目標1、2、3、41.多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極限與連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質；2.多元函數偏導數的概念與計算，多元復合函數的求導法與隱函數求導法，二階偏導數，全微分；3.多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值；4.二重積分的概念、基本性質和計算，無界區(qū)域

11、上簡單的反常二重積分1了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義；2了解二元函數的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質；3了解多元函數偏導數與全微分的概念,會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分,會求多元隱函數的偏導數；4了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決簡單的應用問題；5了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），了解無界區(qū)域上較簡單的反常二重積分并會計算課堂教學；課堂討論；3.課內實踐

12、： 教師引導學生解題，教師給予歸納總結.理論6學時+實踐6學時課程思政：多元函數的微積分比一元函數的微積分復雜的多，通過考研真題的討論，掌握多元函數的偏導數、多元函數的極值及二重積分的計算等題型的解題技巧和方法，逐步建立對高等數學的濃厚興趣，增強學好數學的信心和勇氣.5.無窮級數課程目標1、2、3、41.常數項級數的收斂與發(fā)散的概念，收斂級數的和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數及級數其收斂性；2.正項級數收斂性的判別法，任意項級數的絕對收斂與條件收斂，交錯級數與萊布尼茨定理；3.冪級數及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域，冪級數的和函數，冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質，簡

13、單冪級數的和函數的求法；4.初等函數的冪級數展開式1.了解級數的收斂與發(fā)散、收斂級數的和的概念；2.了解級數的基本性質及級數收斂的必要條件，掌握幾何級數及級數的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法；3.了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系,了解交錯級數的萊布尼茨判別法;4會求冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域;5了解冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質（和函數的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求簡單冪級數在其收斂區(qū)間內的和函數;6.了解常見函數的麥克勞林展開式 1.課堂教學；2.課堂討論；3.課內實踐： 教師引導學生解題，教師給予歸納總結.理論4學時

14、+實踐4學時課程思政：通過抽象級數斂散性的判定，求冪級數的和函數等考研真題的討論，掌握相關題型的解題技巧和方法，逐步建立對高等數學的濃厚興趣，增強學好數學的信心和勇氣.6.常微分方程與差分方程課程目標1、2、3、41.常微分方程的基本概念,變量可分離的微分方程,齊次微分方程, 一階線性微分方程;2.線性微分方程解的性質及解的結構定理 二階常系數齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程3.差分與差分方程的概念,差分方程的通解與特解,一階常系數線性差分方程;4.微分方程的簡單應用.1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念;2掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的

15、求解方法;3.會解二階常系數齊次線性微分方程;4了解線性微分方程解的性質及解的結構定理，會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數的二階常系數非齊次線性微分方程;5了解差分與差分方程及其通解與特解等概念;6了解一階常系數線性差分方程的求解方法;7會用微分方程求解簡單的經濟應用問題課堂教學；課堂討論；3.課內實踐： 教師引導學生解題，教師給予歸納總結。理論4學時+實踐4學時課程思政：通過一階微分方程及二階常系數線性微分方程的求解等考研真題的討論，掌握相關題型的解題技巧和方法，逐步建立對高等數學的濃厚興趣，增強學好數學的信心和勇氣. 四、成績評定及考核方式知識單元對應課程目標考核方式成績評定

16、1. 函數、極限、連續(xù)1、2、3、4平時表現+期末考試1.出勤及課堂表現（5%），具體方案為：總分為100分，無故曠課一次扣5分，無故曠課超過學校規(guī)定次數者，按學校有關規(guī)定處理；上課睡覺、玩手機、吃零食者被老師發(fā)現一次扣5分.2.課后作業(yè)（5%），每個知識單元布置一次課后作業(yè)，評分以答題思路的規(guī)范性、整潔性、整體性為依據，每次滿分為100分，最后取平均分.3.實踐（10%），評分以實踐過程中的參與性及其解題效率、準確性，方法的簡潔性為依據，每次滿分100分，最后取平均分.4.期末考試（80%），實行綜合閉卷考試，總分為100分.2. 一元函數微分學1、2、3、4平時表現+期末考試3. 一元函數積分學1、2、