應(yīng)用隨機(jī)過程學(xué)習(xí)心得

1、竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)文檔/雙擊可除應(yīng)用隨機(jī)過程學(xué)習(xí)心得篇一：隨機(jī)過程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一早：考試范圍1.3,1.41、計(jì)算指數(shù)分布的矩母函數(shù).2、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xn(0,1)的矩母函數(shù).3、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xn(0,1)的特征函數(shù).第一早：隨機(jī)過程的均值函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)寬平穩(wěn)過程、均值遍歷性的定義及定理獨(dú)立增量過程、平穩(wěn)增量過程，獨(dú)立增量是平穩(wěn)增量 的充要條件1、設(shè)隨機(jī)過程Z(t)?x?Yt, t?.若已知一維隨機(jī)變量(x,Y)的協(xié)方差矩陣為?？12?，求Z(t)的協(xié)方差函 數(shù).?22?2、設(shè)有隨機(jī)過程x(t),t?T和常數(shù)a, Y(t)?x(t?a)?x(t) ,t?T,計(jì)算 Y(t)的

2、自相關(guān)函數(shù)(用 Rx(s,t) 表示)3、設(shè) x(t)?Z1cos?t?Z2sin?t，其中 Z1,Z2n(0,?2)是 獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，？為實(shí)數(shù)，證明x(t)是寬平穩(wěn)過程.4、設(shè)有隨機(jī)過程Z(t)?xsint?Ycost，其中x和Y是相 互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都分別以0.5和0.5的概率取值-1 和1，證明Z(t)是寬平穩(wěn)過程.第二早：泊松過程的定義(定義3.1.2)及相關(guān)概率計(jì)算與泊松過程相聯(lián)系的若干分布及其概率計(jì)算復(fù)合泊松過程和條件泊松過程的定義1、設(shè)n(t),t?0是參數(shù)?3的poisson過程，計(jì)算：(1).pn(1)?3； (2).pn(1)?1,n(3)?3； (3).pn

3、(1)?2n(1)?1.2、某商場(chǎng)為調(diào)查顧客到來的客源情況，考察了男女顧 客來商場(chǎng)的人數(shù).假設(shè)男女顧客來商場(chǎng)的人數(shù)分別獨(dú)立地服 從每分鐘2人與每分鐘3人的泊松過程.試求到某時(shí)刻t時(shí)到達(dá)商場(chǎng)的總?cè)藬?shù)的分布；.在已知t時(shí)刻有50人到達(dá)的條件下，試求其中恰 有30位女性的概率，平均有多少個(gè)女性顧客？3、某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4人/小時(shí)的poisson過程，已知商店9： 00開門，試求:.在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率；.若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在未來半小 時(shí)中，仍無顧客到來的概率。4、設(shè)有一泊松過程n(t),t?0，若有兩個(gè)時(shí)刻s,t，且 s?t，試證明 k?s?pn(s)?kn(t

4、)?n?cnt?k?s?1t?n?k k?0,1,n.5、設(shè)顧客以泊松分布抵達(dá)銀行，其到達(dá)速率為？.若已 知在第一個(gè)小時(shí)內(nèi)有兩個(gè)顧客抵達(dá)銀行，試計(jì)算：.此兩個(gè)顧客在最初的20分鐘內(nèi)抵達(dá)銀行的概率；.至少有一個(gè)顧客在最初的20分鐘內(nèi)抵達(dá)銀行的概率.第四章：更新過程、更新方程及其解得存在唯一性wald等式更新定理及其在概率計(jì)算中的應(yīng)用n121、設(shè) pxi?1?,pxi?2?，令 Tn?xi,n?1 .對(duì)于更 新過程33i?1n(t)?supn:Tn?t，計(jì)算 n(1)和 n(2)的概率分布.2、某控制器用一節(jié)電池供電，設(shè)電池壽命xi(i?1,2,?) 服從(30,60)(單位：h)內(nèi)的均勻分布，電

5、池失效時(shí)需要 去倉(cāng)庫(kù)領(lǐng)取，領(lǐng)取新電池的時(shí)間Yi(i?1,2,?)服從期望為0.5 小時(shí)的均勻分布.計(jì)算長(zhǎng)時(shí)間工作時(shí)控制器更換電池的速率.3、設(shè)有一個(gè)單服務(wù)員銀行，顧客到達(dá)可看作速率為20 （人/小時(shí)）的poisson分布，服務(wù)員為每一位顧客服務(wù)的 時(shí)間是隨機(jī)變量，服從均值為2（分鐘/人）的指數(shù)分布.顧 客到達(dá)門口只有在服務(wù)員空閑時(shí)才準(zhǔn)進(jìn)來.試求：（1）.顧客進(jìn)銀行的速率；（2）.服務(wù)員工作的時(shí)間所占營(yíng)業(yè)時(shí)間的比例.AA ZT?第五早：markov鏈的定義，轉(zhuǎn)移概率矩陣，c-K方程狀態(tài)的周期，常返態(tài)、非常返態(tài)的定義及判別（定理 5.2.3，推論5.3.3， 5.3.4）極限定理及平穩(wěn)分布1、設(shè)明

6、天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的 天氣無關(guān).又設(shè)今天下雨明天也下雨的概率為0.7,而今天無 雨明天有雨的概率為04,計(jì)算星期一有雨，星期四天仍有 雨的概率.2、設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個(gè)月計(jì)）可分為三 個(gè)狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（用2表示）、暢銷（用3 表示）。若經(jīng)過對(duì)歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時(shí)刻無關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pij （pij表示從銷售狀態(tài)i經(jīng)過一個(gè)月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài)j的概 率），一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0?1/21/2?1/31/95/9?1/62/31/6試對(duì)經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間后的銷售狀況進(jìn)行分析。3、一質(zhì)點(diǎn)在1,2,3三個(gè)點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)，1和

7、3是兩個(gè) 反射壁，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處于2時(shí)，下一時(shí)刻處于1,2,3是等可能的。 寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，判斷此鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性，若有， 求出極限分布。4、設(shè)有一馬爾可夫鏈，其轉(zhuǎn)移狀態(tài)有兩種：e1、e2， 經(jīng)計(jì)算得一階轉(zhuǎn)移概率矩陣為?0.79p(1)0.59?0.21?，求證該鏈具有遍歷性，并 求出極限分布。？041?5、設(shè)I?1,2,3,4，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為?1/21/20?00?1?01/32/3?1/201/20?0?0?0?試對(duì)其狀態(tài)進(jìn)行分類，確定哪些狀態(tài)是常返態(tài)，并確定 其周期.6、設(shè)齊次markov鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為?q?q?0?p0q0?p?， p?q?1， 0?p?1，p?證明：此mar

8、kov鏈有遍歷性，并求其平穩(wěn)分布.第六早鞅及停時(shí)的定義鞅的證明1、設(shè)x1,x2,?是一族零均值的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且 e(xi)?, sn?n?xi?1i，證明：?sn?是關(guān)于Fn的鞅.2、證明brown運(yùn)動(dòng)是鞅.第七章brown運(yùn)動(dòng)的定義及相關(guān)概率計(jì)算gauss過程及相關(guān)概率計(jì)算brown的最大值變量及反正弦律1、設(shè)b(t),t?0是標(biāo)準(zhǔn)brown運(yùn)動(dòng)，計(jì)算 pb(1)?0,b(2)?0.2、設(shè)b(t),t?0是標(biāo)準(zhǔn)brown運(yùn)動(dòng)，計(jì)算 b(1)?2b(2)?3b(3)的分布.3、設(shè)b(t),t?0是標(biāo)準(zhǔn) brown 運(yùn)動(dòng)，計(jì)算 pb(t)dt?0?12.第八章考試范圍：p157性質(zhì)8.2.

9、 1第二條，伊藤公式篇二：應(yīng)用隨機(jī)過程一、隨機(jī)過程簡(jiǎn)介隨機(jī)過程這一學(xué)科最早起源于對(duì)物理學(xué)的研究，如吉布 斯(美國(guó)物理化學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家)、玻爾茲曼(奧地利 物理學(xué)家)、龐加萊(法國(guó)數(shù)學(xué)家)等人對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究， 及后來愛因斯坦、維納(wiener,美國(guó)數(shù)學(xué)家，控制論的創(chuàng) 始人)、萊維(Levy，法國(guó)數(shù)學(xué)家)等人對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的開創(chuàng)性 工作。1907年前后，馬爾可夫(markov)研究了一系列有特定 相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。1923年維納給 出布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義，直到今日這一過程仍是重要的研究 課題。隨機(jī)過程一般理論的研究通常認(rèn)為開始于20世紀(jì)30 年代。1931年，柯爾莫哥洛夫發(fā)

10、表了概率論的解析方法， 1934年辛飲發(fā)表了平穩(wěn)過程的相關(guān)理論，這兩篇著作奠 定了馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程的理論基礎(chǔ)。1953年，杜布出 版了名著隨機(jī)過程論，系統(tǒng)且嚴(yán)格地?cái)⑹隽穗S機(jī)過程基 本理論。一般認(rèn)為，隨機(jī)過程整個(gè)學(xué)科的理論基礎(chǔ)是由柯爾 莫哥洛夫(Kolmogorov)和杜布(Doob)奠定的?？聽柲缏宸?903 年 4月25日，柯爾莫哥洛夫出生于俄羅斯的坦博 夫城。他的父親在1919年去世。他的母親出身于貴族家庭， 在他出生后10天去世。他只好由二位姨媽撫育和指導(dǎo)學(xué)習(xí)。他 5、6 歲時(shí)就歸納出了“1 =2，1+3 = 22，1+3+5=32， 1+3+5+7 = 42.”這一數(shù)學(xué)規(guī)律。1

11、4歲時(shí)他就開始自學(xué)高等數(shù)學(xué)，1920年他高中畢業(yè)， 進(jìn)入莫斯科大學(xué)，先學(xué)習(xí)冶金，后來轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)，大學(xué)三年級(jí) 時(shí)就發(fā)表了論文。1925年大學(xué)畢業(yè)后，當(dāng)研究生。1929年研究生畢業(yè)后，擔(dān)任莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)研究所 助理研究員。1935年獲得蘇聯(lián)首批博士學(xué)位。1931年起他擔(dān)任莫斯科大學(xué)教授，并指導(dǎo)研究生。1933年擔(dān)任莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)研究所所長(zhǎng)，創(chuàng)建了概 率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)理邏輯、概率統(tǒng)計(jì)方法等教研室，先后 教過數(shù)學(xué)分析、常微分方程、復(fù)變函數(shù)論、概率論、數(shù)理邏 輯和信息論等課程。1939年當(dāng)選為原蘇聯(lián)科學(xué)院院士、主席團(tuán)委員和數(shù)學(xué)研 究所所長(zhǎng)。1954年擔(dān)任莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系主任。1966 年當(dāng)選

12、為原蘇聯(lián)教育科學(xué)院院士。1987 年 10月20日在莫斯科逝世，享年84歲。研究范 圍他的研究范圍廣泛：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯、實(shí)變函數(shù)論、 微分方程、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、信息論、泛函分析力學(xué)、拓 樸學(xué)以及數(shù)學(xué)在物理、化學(xué)、生物、地質(zhì)、冶金、結(jié)品學(xué)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的廣泛應(yīng)用。他創(chuàng)建了 一些新的數(shù)學(xué)分支一一信息算法論、概率算法論和語言統(tǒng)計(jì) 學(xué)等。榮譽(yù)獎(jiǎng)項(xiàng)由于他的卓越成就，他在國(guó)內(nèi)外享有極高的聲譽(yù)。他是 美國(guó)、法國(guó)、民主德國(guó)、荷蘭、波蘭、芬蘭等20多個(gè)科學(xué) 院的外國(guó)院士，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)外國(guó)會(huì)員，他是法國(guó)巴黎大學(xué)， 波蘭華沙大學(xué)等多所大學(xué)的名譽(yù)博士。1963年獲國(guó)際巴爾桑 獎(jiǎng)，1975年獲匈牙利獎(jiǎng)?wù)拢?97

13、6年獲美國(guó)氣象學(xué)會(huì)獎(jiǎng)?wù)隆?民主德國(guó)赫姆霍茲獎(jiǎng)?wù)拢?980年獲世界最著名的沃爾夫獎(jiǎng)。 在國(guó)內(nèi)，1941年獲國(guó)家獎(jiǎng)，1951年獲蘇聯(lián)科學(xué)院車貝雪夫 獎(jiǎng)，1963年獲蘇維埃英雄稱號(hào)，1965年獲列寧獎(jiǎng)，1940年 獲勞動(dòng)紅旗勛章，19441979 年獲7枚列寧勛章、金星獎(jiǎng)?wù)?及“在偉大的愛國(guó)戰(zhàn)爭(zhēng)中英勇勞動(dòng)”獎(jiǎng)?wù)拢?983年獲十月革 命勛章，1986年獲蘇聯(lián)科學(xué)院羅巴切夫斯基獎(jiǎng)。杜布杜布是美國(guó)數(shù)學(xué)家，1910年10月27日生于辛辛那提， 20XX 年 6月7日卒于伊利諾伊。杜布畢業(yè)于哈佛大學(xué)，1932 年獲博士學(xué)位。他是美國(guó)國(guó)家科學(xué)院和美國(guó)科學(xué)藝術(shù)研究院 院士，伊利諾伊大學(xué)教授。杜布的主要貢獻(xiàn)是概率論

14、。他深入研究了隨機(jī)過程理論， 得出了任意的隨機(jī)過程都具有可分修正，建立了隨機(jī)函數(shù)理 論的公理結(jié)構(gòu)。他是鞅論的奠基人，雖然萊維等人早在1935 年發(fā)表了一些孕育著鞅論的工作，1939年萊維引進(jìn)“鞅” (martingale)這個(gè)名稱，但對(duì)鞅進(jìn)行系統(tǒng)研究并使之成為隨 機(jī)過程論的一個(gè)重要分支的，則應(yīng)歸功于杜布。他還引進(jìn)了 半鞅的概念。在鞅論中有以他的姓氏命名的著名的杜布停止 定理、杜布邁耶上鞅分解定理等。鞅論使隨機(jī)過程的研 究進(jìn)一步抽象化，不僅豐富了概率論的內(nèi)容，而且為其它數(shù) 學(xué)分支如調(diào)和分析、復(fù)變函數(shù)、位勢(shì)理論等提供了有力的工 具。對(duì)馬爾可夫過程，杜布關(guān)于軌道的嚴(yán)密處理進(jìn)行了系統(tǒng) 的研究。?一、隨

15、機(jī)過程的概念?二、poisson過程三、馬爾可夫鏈主要內(nèi)容？?四、更新過程?五、布朗運(yùn)動(dòng)六、鞅4課時(shí)（1周）12課時(shí)（3周）24課時(shí)（6周）12課時(shí)（3周）12課時(shí)（3周）8課時(shí)（2周）主要內(nèi)容：poisson過程、馬爾可夫鏈、更新過程、布 朗運(yùn)動(dòng)問題：隨機(jī)變量的定義？定義：設(shè)（?,？,p）是概率空間，x是定義在?上取值于實(shí) 數(shù)集R的函數(shù)，如果?x?R,?:x（?）?x?，則稱x是?上的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱為隨機(jī)變量。函數(shù)x稱為隨機(jī)變量x的分布函數(shù)。F（x）?p?:x（?）?x,第一章隨機(jī)過程的基本概念一、隨機(jī)過程的定義例1：醫(yī)院登記新生兒性別，0表示男，1表示女，xn 表示第n次登記的數(shù)字，得到一

16、個(gè)序列x1,x2, ,己為xn, n=1,2, ,則 xn 是隨機(jī)變量，而xn, n=1,2, 是隨 機(jī)過程。例2：在地震預(yù)報(bào)中，若每半年統(tǒng)計(jì)一次發(fā)生在某區(qū)域 的地震的最大震級(jí)。令xn表示第n次統(tǒng)計(jì)所得的值，則xn 是隨機(jī)變量。為了預(yù)測(cè)該區(qū)域未來地震的強(qiáng)度，我們就要研 究隨機(jī)過程xn, n=1,2, 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例3： 一個(gè)醉漢在路上行走，以概率p前進(jìn)一步，以概 率1-p后退一步(假設(shè)步長(zhǎng)相同)。以x(t)己他t時(shí)刻在路 上的位置，則x(t),t?0就是(直線上的)隨機(jī)游動(dòng)。例4：乘客到火車站買票，當(dāng)所有售票窗口都在忙碌時(shí)， 來到的乘客就要排隊(duì)等候。乘客的到來和每個(gè)乘客所需的服 務(wù)時(shí)間都是隨

17、機(jī)的，所以如果用x(t)表示t時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng)，用 Y(t)表示t時(shí)刻到來的顧客所需等待的時(shí)間，則x(t),t?T 和Y(t),t?T都是隨機(jī)過程。定義：設(shè)給定參數(shù)集合T,若對(duì)每個(gè)t?T,x(t)是概率空 間(?,？,p)上的隨機(jī)變量，則稱x(t),t?T為隨機(jī)過程，其 中T為指標(biāo)集或參數(shù)集。xt(?):?e, e稱為狀態(tài)空間，即x(t)的所有可能狀態(tài)構(gòu)成的 集合。例 1： e 為0,1例 2： e 為0,10例 3： e 為0,1,?1,2,?2,?例 4： e 都為0,?)注：(1)根據(jù)狀態(tài)空間e的不同，過程可分為連續(xù)狀態(tài) 和離散狀態(tài)，例1，例3為離散狀態(tài)，其他為連續(xù)狀態(tài)。參數(shù)集T通常代表時(shí)間，

18、當(dāng)T取R,R,a,b時(shí)，稱 x(t),t?T為連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程；當(dāng)T取Z,Z時(shí)，稱 x(t),t?T為離散參數(shù)的隨機(jī)過程。例1為離散狀態(tài)離散參數(shù)的隨機(jī)過程，例2為連 續(xù)狀態(tài)離散參數(shù)的隨機(jī)過程，例3為離散狀態(tài)連續(xù)參數(shù)的隨 機(jī)過程，例4為連續(xù)狀態(tài)連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程。+二、有限維分布與Kolmogorov定理隨機(jī)過程的一維分布：F(t,x)?px(t)?x隨機(jī)過程的Ft1,t2(x1,x2)?px(t1)?x1,x(t2)?x2,t1,t2?T隨機(jī)過程的n維分布：Ft1,t2,?tn(x1,x2,?xn)?px(t1)?x1,x(t2)?x2,?x(tn)?xn,t1,t2,?tn?T1、有限維分

19、布族：隨機(jī)過程的所有一維分布，二維分 布，n維分布等的全體Ft1,t2,?tn(x1,x2,?xn),t1,t2,?tn?T,n?1稱為x(t),t?T的有限維分布族。2、有限維分布族的性質(zhì)：對(duì)稱性：對(duì)(1,2, n)的任一排列(j1,j2,?jn)，有Ftj1,tj2,?tjn(xj1,xj2,?xjn)?Ft1,t2,?tn(x1,x2,?xn)相容性：對(duì)于mFt1,?tm,tm?1?tn(x1,?xm,)?Ft1,?tm(x1,?xm)3、Kolmogorov定理定理：設(shè)分布函數(shù)族Ft,t2,?tn1(x1,x2,?xn),t1,t2,?tn?T,n?1滿足上述的對(duì)稱性和相容性，則必存在

20、一個(gè)隨機(jī)過程x(t),Ft1,t2,?tn(x1,x2,?xn),t?T，使t1,t2,?tn?T,n?1恰好是x(t),t?T的有限維分布族。定義：設(shè)x(t),t?T是一隨機(jī)過程：稱x(t)的期望?x(t)?ex(t)(如果存在)為過程 的均值函數(shù)。2如果?t?T，ex(t)存在，則稱隨機(jī)過程x(t),t?T 為二階矩過程。此時(shí)，稱函數(shù)?(t1,t2)?e(x(t1)?x(t1)(x(t2)?x(t2)， t1,t2?T為過程的協(xié)方差函數(shù)；稱Varx(t)?(t,t)為過程 的方差函數(shù);稱Rx(s,t)?ex(s)x(t),s,t?T為自相關(guān)函數(shù)。例：x(t)?x0?tV(a?t?b)，其中x0和V是相互獨(dú)立的且 均服從n(0,1)分布的隨機(jī)變量，求?x(t)和？ (t1,t2)。三、隨機(jī)過程的基本類型獨(dú)立增量過程：如果對(duì)任意t1,t2,tn?T,t1?t2?tn,隨機(jī)變量 x(t2)?x(t1),x(tn)?x(tn?1)是相互獨(dú)立的，則稱x(t),t?T是獨(dú)立 增量過程。平穩(wěn)增量過程：如果對(duì)任意t1,t2,有 x(t1+h)-x(t1)dx(t2+h)-x(t2)，則稱x(t),t?T是平穩(wěn)增 量過程。平穩(wěn)獨(dú)立增量過程：兼有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過程稱 為平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，例如