向量在立體幾何中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESISPAGE PAGE 22編號(hào) 學(xué)士學(xué)位論文向量在立體幾何中的應(yīng)用 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS摘要在本論文中主要介紹幾種用向量法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題的方法。并說(shuō)明這中方法在解決問(wèn)題中的應(yīng)用和重要性。當(dāng)所涉及的線，面在一些特殊的幾何模型中（如以正方體，長(zhǎng)方體，正四面體為背景），往往容易建立空間直角坐標(biāo)系，仿射坐標(biāo)系。關(guān)鍵詞：線線；線面；面面 . 目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc294035334 摘要 PAGEREF _Toc294035334 h 1 HYPERLINK

2、 l _Toc294035335 引言 PAGEREF _Toc294035335 h 3 HYPERLINK l _Toc294035336 1.線線問(wèn)題的解法 PAGEREF _Toc294035336 h 3 HYPERLINK l _Toc294035337 1.1利用向量法證明線線垂直問(wèn)題 PAGEREF _Toc294035337 h 3 HYPERLINK l _Toc294035338 1.2線線角的計(jì)算 PAGEREF _Toc294035338 h 4 HYPERLINK l _Toc294035339 1.3線線距的計(jì)算 PAGEREF _Toc294035339 h 5

3、 HYPERLINK l _Toc294035340 2.線面問(wèn)題的解法 PAGEREF _Toc294035340 h 8 HYPERLINK l _Toc294035341 2.1利用向量證明線面平行問(wèn)題 PAGEREF _Toc294035341 h 8 HYPERLINK l _Toc294035342 2.2利用向量證明線面垂直問(wèn)題 PAGEREF _Toc294035342 h 10 HYPERLINK l _Toc294035343 2.3線面角的計(jì)算 PAGEREF _Toc294035343 h 11 HYPERLINK l _Toc294035344 2.4線面距的計(jì)算 P

4、AGEREF _Toc294035344 h 14 HYPERLINK l _Toc294035345 3.面面問(wèn)題的解法 PAGEREF _Toc294035345 h 15 HYPERLINK l _Toc294035346 3.1利用向量證明面面平行問(wèn)題 PAGEREF _Toc294035346 h 15 HYPERLINK l _Toc294035347 3.2利用向量證明面面垂直 PAGEREF _Toc294035347 h 17 HYPERLINK l _Toc294035348 3.3面面角的計(jì)算 PAGEREF _Toc294035348 h 19 HYPERLINK l

5、_Toc294035349 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc294035349 h 21 HYPERLINK l _Toc294035350 致謝 PAGEREF _Toc294035350 h 22引言向量在數(shù)學(xué)，力學(xué)，物理學(xué)和工程技術(shù)中應(yīng)用很廣泛的一個(gè)概念。利用向量解決一些相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題將大大減少解題步驟，大多數(shù)學(xué)，物理問(wèn)題用向量來(lái)解決往往解法簡(jiǎn)單明快，尤其是用向量法解決比較難解的空間角，距離，面面垂直，面面平行，線面垂直，線面平行等問(wèn)題比較方便?？傊?，許多幾何證明問(wèn)題用向量法來(lái)解決簡(jiǎn)單，思路清晰。線線問(wèn)題的解法1.1利用向量法證明線線垂直問(wèn)題設(shè)分別為直線的一個(gè)方向向量，那么；或，則.或，

6、則 .例1 如圖（1-1-1）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，分別為的中點(diǎn) .求證 ;解 本題就屬于證明空間異面直線垂直的問(wèn)題，取，連接因?yàn)樗郧乙驗(yàn)?，所以所以，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則所以,因?yàn)?所以.1.2線線角的計(jì)算 空間角是立體幾何題中考查的重點(diǎn)，其中兩異面直線所成的角是考查的重中之重。若用向量的數(shù)量積來(lái)處理這類(lèi)問(wèn)題，則思路簡(jiǎn)單，操作起來(lái)更為方便.求異面直線所成的角：利用直線的方向向量求異面直線所成的角，設(shè)異面直線的方向向量分別為，為異面直線所成角，則 .例2 如圖（1-2-1）在長(zhǎng)方體中，已知,分別是線段上的點(diǎn)，且.求 求直線與所成的角；解 以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正向建

7、空間直角坐標(biāo)系，則有,于是 ，, ,設(shè)與所成角為 ,則 =即異面直線與所成角為 或 .1.3線線距的計(jì)算兩異面直線的距離是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，如果用向量的數(shù)量積來(lái)處理這類(lèi)問(wèn)題，則思路簡(jiǎn)單，解法固定 .要求兩異面直線與之間的距離最終也要轉(zhuǎn)化為線兩點(diǎn)面距.用兩種方法計(jì)算：(1) 兩異面直線間的距離等于它們公垂線的長(zhǎng).如圖（1-3-1），設(shè)兩異面直線與它們的公垂線的交點(diǎn)分別為,而與分別為直線上的任意點(diǎn)，于是公垂線的長(zhǎng)= 或 . (2)可先設(shè)、的公垂線段（、），再由垂直向量性質(zhì)得，從而得到、的坐標(biāo)，最后算出所求.例3 如圖（1-3-2），在單位正方體中，在一個(gè)平面的對(duì)角線上取點(diǎn),使;在另一對(duì)角線上取點(diǎn)，

8、使.求證 是和的公垂線，并求的長(zhǎng) ;證明 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖（5-23），則=，=，從而,因?yàn)? ,從而是,的公垂線，而且 所以異面直線與的距離為 . 例4 如圖（1-3-3）四面體 中，兩兩垂直， .求 兩斜棱間距離 ，即與間的距離 ;解 如圖所示建立直角坐標(biāo)系 ，則 ， 設(shè)，且，則得即從而和間的距離為=同理可得和間的距離為= . 2.線面問(wèn)題的解法2.1利用向量證明線面平行問(wèn)題直線與平面平行可轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來(lái)證明線面平行問(wèn)題。如（2-1-1）即，求出平面，已知,如果，則可判定面.例5 如圖（2-1-2）已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且

9、,是線段的中點(diǎn) .求證 平面 ； 證明 建立 如圖所示的空直角坐標(biāo)系，設(shè)與相交與，連結(jié)，,的坐標(biāo)分別為,有,又點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，,有,所以 ,又因?yàn)槠矫?，平?所以平面.例6 如圖(2-1-3)，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) .求證 直線；證明 作于點(diǎn)P,如圖(2-1-3)分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系則,設(shè)平面的法向量為，則,即 取,解得=0平面.2.2利用向量證明線面垂直問(wèn)題如圖（2-2-1）設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，那么；或欲證直線和平面垂直，只須求出平面的法向量，然后定是否等于，它們是否共線，如果共線的話，則可說(shuō)明平面.例7 如圖

10、(2-2-2)，正三棱柱-的所有棱長(zhǎng)都為2，D為中點(diǎn). 求證 面;證明 取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，xzABCDOFy取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則， ,. ，,，平面 2.3線面角的計(jì)算 直線與平面所成的角求法很多，下面主要講兩部分：(1)求直線與平面所成的角：已知平面，直線與平面相交，設(shè)平面的法向量為，直線的方向向量為平面所成的角為，則所求的角 .(2) 平面的法向量是向量的一個(gè)重要內(nèi)容，是求直線與平面所成角、求點(diǎn)到平面距離的必備工具.由可知，要求得法向量，只需在平面上找出兩個(gè)不共線向量、，最后通過(guò)解方程組得到.yzABCC1A1B1GDEEE例8 如圖（2-3-4

11、）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，、分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心.求 直線與平面所成角正弦值.解 題中顯然所求的角為，但在中沒(méi)有求解的條件.由題中條件，可輕易建立坐標(biāo)系（如圖），由直三棱柱只知高度為，所以設(shè)底面直角邊，從而算得立體中各點(diǎn)的坐標(biāo)， 如、，由得，得向量、 ，由數(shù)量積得與平面所成的角為.例9 如圖如圖(2-3-5),四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD.已知ABC45，AB2，BC =2，SASB.求 直線SD與平面SAB所成角的大小;解 作于E點(diǎn)，則 =又BC=2,即E點(diǎn)是BC的中點(diǎn). 又,即SE是BC的中垂線.以E為原點(diǎn),分別

12、以向量的正方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖(2-3-5)所示，容易求得SE=1, 于是A(,0,0),B(0,0),C(0,-,0),D(,-2,0),S(0,0,1),E(0,0,0). 設(shè)平面SAB的法向量, , 令,得.又設(shè)直線SD與平面SAB所成的角為,則， .2.4線面距的計(jì)算關(guān)于線面距的問(wèn)題也是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，如果用向量的數(shù)量積來(lái)處理這類(lèi)問(wèn)題，則思路簡(jiǎn)單，解法固定 .點(diǎn)面距與線面距總是可以互轉(zhuǎn)化的，首先求斜線平面 的法向量，設(shè)線面角為,則 = ; 然后如圖（2-4-1）求直線 到平面的距離，也就是求點(diǎn)到平面的距離，即,例10 如圖(2-4-2)，在四面體

13、ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，,求 點(diǎn)E到平面ACD的距離 解 連結(jié)， 在中，由已知可得 而，, 即 從而 以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面ACD的法向量為則 ，令得是平面ACD的一個(gè)法向量又點(diǎn)E到平面ACD的距離3.面面問(wèn)題的解法3.1利用向量證明面面平行問(wèn)題如圖（3-1-1）平面與平面平行可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量平行。即，要證平面平面，求出兩平面的法向量若，則。或者把向量在平面平行定理中應(yīng)用可以解決的。比如，“若果兩平面都垂直于同一直線，那么兩平面平行”.例11 在平行六面體中.求證 平面與平面平行 ; 證明 如圖（3-1-2）設(shè) ， ， =又，所以= ,這說(shuō)明平面

14、垂直于同一直線，所以平面/平面平行 .例12 如圖（3-1-3），在正方體中，M、N分別是棱、的中點(diǎn)，E、F分別是棱、的中點(diǎn).求證 平面AMN平面BDFE;證明 以D為原點(diǎn)，DC、DA、所在的直線分別為x、y、z軸，建立如圖(3-1-3)所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 1，則A(1,0,0), (1, ,1),N(,0,1), E(,1,1), F(0, ,1)FEMzyADCBA11B11C11D11xN1, 且,即E、F、B、D四點(diǎn)共面.設(shè)是平面BDFE的一個(gè)法向量，則 可取 是平面BDFE的一個(gè)法向量.易驗(yàn)證， .即也是平面AMN的一個(gè)法向量，平面AMN平面BDFE3.2利用向量證明

15、面面垂直如圖（3-2-1）要證平面平面，求出兩平面法向量，若，（即）則平面平面.例13 如圖（3-2-2），在正方體中分別是上的點(diǎn).求明 ；證明 建立空間直角坐標(biāo)系，則并設(shè)則，如，,又設(shè)平面,的法向量分別為=， =， 即 平面平面 .3.3面面角的計(jì)算求二面角的平面角：已知二面角，設(shè)平面的法向量分別為，為二面角的平面角，則 . 例14 如圖（3-3-4）在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形平面底面.求 面與面所成的二面角的大??；解 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則,.容易可知，平面的法向量平面的法向量，,，故 ， 所以面與面所成的二面角 . 總結(jié)在本文中主要討論了

16、利用向量法來(lái)解決線線，面面，線面等立體幾何問(wèn)題，還有利用向量的數(shù)量積，向量積，等性質(zhì)來(lái)證明及計(jì)算立體幾何問(wèn)題。 由這些方法表明了向量在證明立體幾何問(wèn)題中的優(yōu)越性，操作性，穩(wěn)定性。這些問(wèn)題用向量來(lái)解決時(shí)很容易，很方便 .所以掌握好向量概念，應(yīng)用這些概念處理問(wèn)題是不錯(cuò)之選 .參考文獻(xiàn)黃懋得，鄔玉鑫，馬國(guó)強(qiáng).向量代數(shù)在幾何中的應(yīng)用（第一版）,河南大學(xué)出版社，1987年12日 . 呂林跟，許子到 .解析幾何（第四版） 數(shù)學(xué)教學(xué)研究.“一道立體幾何題的三種解法及其比較”，2005年第8期,34頁(yè) . 數(shù)學(xué)通報(bào).“例談利用向量法求解高考立幾綜合題” ，2005年第44卷第3期，39頁(yè) . 數(shù)學(xué)教學(xué)研究 .“深探教材習(xí)題功能，搞好數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué) ”，2008年10月第27卷 第10期 ，30頁(yè) . 數(shù)學(xué)教學(xué)研究 .“利用向量求解空間角” ,2005 年， 第8期 ，27頁(yè) . 數(shù)學(xué)通報(bào) .“用空間向量解立體幾何題” ，20