幅值裕量和相位裕量

1、Negative Gain MarginNegativePhase MarginPositiveGain MarginStable System一般來說，G(j )的軌跡越接近與包圍-1+jo i jo點，系統(tǒng)響應(yīng)的震蕩性越大。因 此，G(j加勺軌跡對i jo點的靠近程度，可以用來度量穩(wěn) 定裕量(對條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適 用)。在實際系統(tǒng)中常用相位裕量和增益裕量表示。Phase MarginUnstable System190180270PositivePhase MarginNegative Phase MarginStable SystemUn stableSystem64圖1穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系

2、統(tǒng)的相位裕度和幅值裕度相位裕度、相角裕度(Phase Margin)設(shè)系統(tǒng)的截止頻率(Gain cross-over frequency)為 P cA(j c) |G(j QH(j j 1定義相角裕度為180 G(j JH(j J相角裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。當(dāng)0時，相位裕量相位裕度為正值；當(dāng)0時，相位裕度為負(fù)值。為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕度必須為正。在極坐標(biāo)圖上的臨界點為0分貝和-180度。180增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h設(shè)系統(tǒng)的穿越頻率(Phase cross-over frequency)(x) G(j x)

3、 H(j x)(2k 1), k 0, 1,定義幅值裕度為1G(j x)H(j幅值裕度h的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大h倍，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。若以分貝表示，則有h(dB) 20logG(j x)H(j x)當(dāng)增益裕度以分貝表示時，如果h 1,則h(dB) 0增益裕度為正值；如果h 1,則h(dB) 0增益裕度為負(fù)值。正增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是 穩(wěn)定的；負(fù)增益裕度(以 分貝表示)表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng) 當(dāng)較少多少。一階或二階系統(tǒng)的增益裕

4、度為無窮大，因為這類系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負(fù)實軸不相交。因此，理論上一階或二階系統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意 義上說只能是近似的，因為在推導(dǎo)系統(tǒng)方程時，忽略了一些小的時間滯后，因此它們不 是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果計及 這些小的滯后，貝y所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是 不穩(wěn)定的。關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點說明控制系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對-1+jO點靠近程度的度量。因此，這兩個裕度可以用來作為涉及準(zhǔn)則。只用增益裕度和相位裕度，都不足以說明系統(tǒng)的的相對穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時給出這兩個量。對于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)相位裕度和增益裕度都是正值時，系統(tǒng)才

5、是穩(wěn)定的。負(fù)的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成的影響，并且指明了頻率值。為了得到滿意的性能，相位裕度應(yīng)當(dāng)在30與60之間，增益裕度應(yīng)當(dāng)大于6分貝。例1已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)一s(1 0.2s)(1 0.05s)試求：K=1時系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度要求通過增益K的調(diào)整,使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度40。解：(x) G(j x)H(j x)180 G(j c)H(jc)1(x)90 arctg 0.2 x arctg 0.05 x 180即 arctg 0.2 x arctg 0.05 x 90tg(tg itg 21

6、 tg itg 21 0.2 x 0.05100.2 x 0.051 0.2 x 0.05 x在x處的開環(huán)對數(shù)幅值為h(dB) 20logG(j x)H(j x)20logjx(1j0.2 x)(1j0.05 x)20log10 20log . 120 7 1 28dB(0.2 10)22 20log 1(0.05 10)1040.1 10 140.25 2.5根據(jù)K=1時的開環(huán)傳遞函數(shù)，可以求出截止頻率(Gain cross-over frequency)G(j c)H(j c)G(j c)cjc(1j.2c)(1j0.05c) TOC o 1-5 h z c,1 0.04 2)(1 0.0

7、025 o)1(c)90 arctg 0.2 c arctg 0.05180(c)18010476由題意知h 10G(j x)0.1=0.1xV(10.04 x) (1 0.0025 x)驗證是否滿足相位裕度的要求。根據(jù)40的要求，則得:(c)90 arctg0.2c arctg 0.05 c 180arctg 0.2 c arctg 0.05 c 50401400.20.05c c 1.21 0.2 cc0.05 cKc4c,1 0.04 c)(1 0.0025 2)K 4 1.28 1.02 5.2不難看出，K 2.5就能同時滿足相位裕度和增益裕度的要求Frequency (rad/sec

8、)Ik I nD aD aOMeBode DiagramFrequency (rad/sec)pWW e J9 s e aa n T圖2幅值裕度和相位裕度示意圖例2設(shè)一單位反饋系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖3所示(最小相位系統(tǒng))。寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳 遞函數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求r(t) t時的穩(wěn)態(tài)誤差。806040202040 L10-310-210-110010110圖3最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性 解：由圖得ckJ_G(J ) J (1 J )(1iR)0.01 J5)I 20 lg K 20lg 1J)0 10.01F20lg .1 J)20lg 1k2 1 (近似計算)100 1K 10G(s) WWS)s(1 1