初中數(shù)學(xué)北師大八年級(jí)上冊(cè)（2023年修訂） 勾股定理3 勾股定理的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)八年級(jí)下北師大新課標(biāo)第一章第二節(jié)勾股定理的應(yīng)用-最短距離問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)大竹縣石橋鋪中學(xué) 李圣平內(nèi)容和內(nèi)容解析：本節(jié)是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版教科書(shū)八年級(jí)（上）第一章勾股定理第三節(jié)具體內(nèi)容是運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的立體圖形上的最短距離問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。本節(jié)課是七年級(jí)圖形的展開(kāi)與折疊知識(shí)的延續(xù)，需要把立體圖形展開(kāi)成平面圖形后，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短在平面上找到最短距離，并運(yùn)用勾股定理求出最短距離。同時(shí)本節(jié)課從圓柱（側(cè)面）中來(lái)又回到圓柱（內(nèi)部）中去，最后也為九年級(jí)要學(xué)習(xí)的視圖與投影埋下伏筆。目標(biāo)和目標(biāo)解析：本節(jié)課的重點(diǎn)是利用勾股定理解決立體圖形上的最短距離問(wèn)題，難點(diǎn)是如何尋找和計(jì)算最短距離。設(shè)

2、計(jì)“螞蟻怎樣走最近？”這個(gè)有趣的實(shí)際情景，讓學(xué)生了解實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活；在經(jīng)歷尋找和計(jì)算“最短距離”的過(guò)程中，讓學(xué)生理解，為什么要把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，使學(xué)生逐漸形成思維上的轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；學(xué)生要探究并掌握立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形后，最短距離的尋找方法和利用勾股定理的計(jì)算方法，這也使學(xué)生積累利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決日常生活中實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和方法，逐步形成積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí)。教學(xué)問(wèn)題診斷分析：學(xué)情分析：學(xué)生在七年級(jí)已學(xué)習(xí)過(guò)圖形的展開(kāi)與折疊，并了解兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，有一定基礎(chǔ)。本節(jié)課要求學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中自己尋找并計(jì)算最短距離，而八年級(jí)

3、學(xué)生審題能力，審題方法，數(shù)學(xué)思維習(xí)慣已逐漸養(yǎng)成，但解決實(shí)際問(wèn)題的能力仍需培養(yǎng)；內(nèi)容預(yù)設(shè)：一，本節(jié)課學(xué)生可能遇到的第一個(gè)問(wèn)題，在尋找“最短距離”的過(guò)程中，在展開(kāi)后的平面圖形上不能準(zhǔn)確找到螞蟻或食物所在的“點(diǎn)”，而找不準(zhǔn)“關(guān)鍵點(diǎn)”的原因：缺乏空間想象能力；懶于動(dòng)手操作實(shí)踐；沒(méi)能完全感受到立體圖形展成平面圖形帶來(lái)的好處；習(xí)慣養(yǎng)成問(wèn)題（審題意識(shí)，審題方法）。二，極個(gè)別學(xué)生在計(jì)算最短距離時(shí)出問(wèn)題，究其原因：缺乏利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；對(duì)勾股定理的掌握不夠扎實(shí)；缺乏由點(diǎn)（螞蟻和食物）到線(xiàn)（最短距離）再到面（直角三角形）的意識(shí)。三，在探究長(zhǎng)方體表面的最短距離問(wèn)題時(shí)，展開(kāi)方式“找不全”，容易遺漏。究其

4、原因：沒(méi)有真正理解展開(kāi)的原因，展開(kāi)后的好處；考慮問(wèn)題不夠全面，急于求成；教學(xué)支持條件分析：根據(jù)教學(xué)問(wèn)題的診斷，將螞蟻的移動(dòng)路線(xiàn)；食物所在的“點(diǎn)”；由點(diǎn)到線(xiàn)生成的最短距離；以及最短距離所在的面的生成都利用多媒體演示，直觀(guān)，生動(dòng)，并將練習(xí)題用多媒體呈現(xiàn)，提高課堂效率教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖激情導(dǎo)入激情導(dǎo)入（螞蟻在圓柱體上爬行）1.引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)圓柱體的展開(kāi)圖2.演示動(dòng)畫(huà)引出3.課題板書(shū)：勾股定理的應(yīng)用最短距離）學(xué)生回顧圓柱體的展開(kāi)圖1.幫助學(xué)生溫故知新；2.通過(guò)視覺(jué)激活學(xué)生思維，生成問(wèn)題過(guò)程體驗(yàn)問(wèn)題情景一：螞蟻和食物分別在圓柱體上相對(duì)的頂點(diǎn)處，求螞蟻怎樣走最近？提問(wèn)：（回憶）怎

5、樣確定平面上兩點(diǎn)間的最短距離？立體圖形上的最短距離問(wèn)題如何解決？（強(qiáng)調(diào)螞蟻在側(cè)面爬行）學(xué)生審題，思考并作答1.由有趣的實(shí)際問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；2.解決實(shí)際問(wèn)題首先是審清題意，所以給學(xué)生留出時(shí)間審題；3.兩個(gè)問(wèn)題的提出，啟發(fā)學(xué)生把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，并用平面圖形的知識(shí)來(lái)解決立體圖形中最短距離問(wèn)題。使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活分析解決問(wèn)題情境一，尋找并計(jì)算最短距離黑板畫(huà)圓柱體及其側(cè)面展開(kāi)圖；提問(wèn)：在展開(kāi)圖上螞蟻和食物這兩個(gè)“關(guān)鍵點(diǎn)”應(yīng)標(biāo)在哪里？（教師可借助多媒體或教具引導(dǎo)學(xué)生尋找關(guān)鍵點(diǎn)）；最短距離怎么體現(xiàn)？怎樣計(jì)算最短距離？多媒體演示，（給出圓柱體的高與底面

6、半徑）思考并作答，在計(jì)算最短距離時(shí)，一名學(xué)生分析思路，指明圓柱體上的數(shù)量和展開(kāi)圖上的數(shù)量之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及如何利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算1.教師黑板畫(huà)圖，為學(xué)生在黑板上板書(shū)變式訓(xùn)練一做準(zhǔn)備；2.通過(guò)先尋找“關(guān)鍵點(diǎn)”，再找到“最短距離”，最終在直角三角形內(nèi)利用勾股計(jì)算最短距離這一過(guò)程，使學(xué)生再次領(lǐng)悟任何一個(gè)幾何圖形都是由基本元素“點(diǎn)”，“線(xiàn)”，“面”構(gòu)成，回歸幾何的本真！變式訓(xùn)練一多媒體演示（食物所在點(diǎn)B向下移動(dòng)）學(xué)生觀(guān)察思考，一名學(xué)生黑板板書(shū)該訓(xùn)練是問(wèn)題情境一的變式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的多樣性和靈活性，直接檢驗(yàn)學(xué)生是否已經(jīng)掌握剛才所學(xué)知識(shí)變式訓(xùn)練二多媒體演示（圓柱體上從A到B繞行一圈，A點(diǎn)和B點(diǎn)在圓柱同側(cè)

7、）1.學(xué)生觀(guān)察思考，一名學(xué)生分析思路2.總結(jié)立體圖形中計(jì)算最短距離三步曲：“展”（立體展平面）“找”（找最短距離“算”（算最短距離）1.該訓(xùn)練是問(wèn)題情境一的再次變式，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)正確尋找“關(guān)鍵點(diǎn)”這個(gè)最基本幾何元素的重要性，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生空間想象力2.培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力。問(wèn)題情境2：探究長(zhǎng)方體表面的最短距離問(wèn)題1.多媒體演示，教師在黑板畫(huà)圖2.提問(wèn)：長(zhǎng)方體有幾個(gè)面組成？長(zhǎng)方體怎么展開(kāi)？至少需要展開(kāi)幾個(gè)面？3.教師在黑板上標(biāo)出六個(gè)面4.教師用教具演示展開(kāi)過(guò)程并畫(huà)出第一種展開(kāi)方式，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)和最短距離5.為什么長(zhǎng)方體有六種展開(kāi)方式？（長(zhǎng)，寬，高的組合），為什么排除后只有三種？（重復(fù)）6.多媒體

8、展示三種展開(kāi)方式的計(jì)算結(jié)果1.審題2.學(xué)生回答第一種展開(kāi)方式3.小組合作，交流討論其它展開(kāi)方式，并上黑板展示交流結(jié)果4.在教師引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)六種展開(kāi)方式分析排除，最終歸納出三種方式5.計(jì)算比較得出最短距離1.本環(huán)節(jié)在圓柱體的基礎(chǔ)上提升難度，變?yōu)殚L(zhǎng)方體，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，由圓柱體側(cè)面展開(kāi)一個(gè)面上的最短距離，到長(zhǎng)方體展開(kāi)兩個(gè)面才能找到最短距離；2.教師利用多媒體，動(dòng)態(tài)展示第一個(gè)展開(kāi)圖，起到示范作用，使學(xué)生上黑板有的放矢；3.引導(dǎo)學(xué)生理解有六種展開(kāi)方式的原因（源于長(zhǎng)，寬，高的組合）4.通過(guò)計(jì)算比較得出最短距離。本環(huán)節(jié)很好的滲透了分類(lèi)討論思想。變式練習(xí)多媒體演示提問(wèn)：如何最快找出長(zhǎng)方體上最短距離？1.

9、審題，思考，作答（一名學(xué)生黑板板書(shū)）2.在教師引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)最快找到最短距離的方式（當(dāng)組合成的直角邊最小時(shí)，所求距離最短）本環(huán)節(jié)是對(duì)問(wèn)題情境二的鞏固和提高，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的最佳方案。拓展延伸1.多媒體演示（圓柱體內(nèi)的最短距離問(wèn)題）2.提問(wèn)：該圓柱需要展開(kāi)嗎？3.教師引導(dǎo)1.審題，思考，回答（該圓柱不需要展開(kāi)）2.小組討論3.學(xué)生分析思路4.引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注并總結(jié)立體圖形“表面”的最短距離問(wèn)題才需要展開(kāi)，而“內(nèi)部”的問(wèn)題不需要展開(kāi)本題是本節(jié)課的拓展延伸，由前面兩個(gè)情境中立體圖形的“表面”最短距離問(wèn)題轉(zhuǎn)變成為立體圖形“內(nèi)部”的最短距離問(wèn)題，這也為九年級(jí)的視圖學(xué)習(xí)埋下伏筆。同時(shí)，該環(huán)節(jié)也使整節(jié)課從

10、圓柱中來(lái)又回圓柱中去，首尾呼應(yīng)，畫(huà)上了圓滿(mǎn)的句號(hào)。目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)：1.如圖,一圓柱高8cm,底面半徑為cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食,要爬行的最短路程是_cm.設(shè)計(jì)目的：本題檢測(cè)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)圖形的掌握 2.如圖：是一圓柱玻璃杯，從內(nèi)部測(cè)得底面半徑為6cm,高為16cm，現(xiàn)有一根長(zhǎng)為22cm的吸管任意放入杯中，則吸管露在杯口外的長(zhǎng)度最少為 cm設(shè)計(jì)目的：本題針對(duì)本節(jié)課的拓展延伸，檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握立體圖形 內(nèi)部的最短距離問(wèn)題，也為以后要學(xué)習(xí)的視圖打基礎(chǔ)。3.如圖，在棱長(zhǎng)為1 cm的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，現(xiàn)沿著表面要向頂點(diǎn)B處爬行的最短距離是（ ）BA B. 根號(hào)5 C.2 設(shè)計(jì)目的：本題由正方體開(kāi)始，過(guò)渡到下一題的長(zhǎng)方體，由特殊到一般。4.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15 cm，寬為10 cm