2023屆一輪復習北師大版 第7章 第2節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理 學案

1、 空間圖形的基本關(guān)系與公理考試要求1理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理3能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題1四個公理(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)， 那么這條直線在此平面內(nèi)(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面拓展：公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2直線與直線的

2、位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq blcrc (avs4alco1(共面直線blcrc (avs4alco1(相交直線,平行直線),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點)(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：(0，90拓展：異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線，如圖所示3空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況4等角定理空間

3、中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補常用結(jié)論唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)有三個公共點的兩個平面必重合()(2)三條兩兩相交的直線確定一個平面()(3)若Al，Bl，且A，B，則l()(4)若直線a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習題衍生1已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A一定是異面直線B一定是

4、相交直線C不可能是平行直線D不可能是相交直線C由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab，與已知a，b為異面直線相矛盾2如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A30B45C60D90C連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C603下列命題正確的是()A兩個平面如果有公共點，那么一定相交B兩個平面的公共點一定共線C兩個平面有3個公共點一定重合D過空間任意三點，一定有一個平面D如果兩個平面重合，則排除A，B兩項；兩個

5、平面相交，則有一條交線，交線上任取三個點都是兩個平面的公共點，故排除C項；而D項中的三點不論共線還是不共線，則一定能找到一個平面過這三個點4如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為菱形；(2)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為正方形 (1)ACBD(2)ACBD且ACBD(1)四邊形EFGH為菱形，EFEH，ACBD(2)四邊形EFGH為正方形，EFEH且EFEH，EFAC，EHBD，且EFeq f(1,2)AC，EHeq f(1,2)BD，ACBD且ACBD 考點一空間圖形的公理及應用共面、共線、

6、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；證兩平面重合(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；直接證明這些點都在同一條特定直線上(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點典例1如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1BE，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，EFBA1又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點共面(2)EFCD1，EFCD1

7、，CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由P直線CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD同理P平面ADD1A1又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA，CE，D1F，DA三線共點點評： 本例第(1)問的證明應用了公理2的推論，采用線線共面，則線上的點必共面的思想；本例第(2)問的證明應用了公理3，采用先證明CE與D1F相交，再證明交點在直線DA上跟進訓練1有下列四個命題：空間四點共面，則其中必有三點共線；空間四點不共面，則其中任意三點不共線；空間四點中有三點共線，則此四點共面；空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面其中真命題的所有序號有_中，對于平面四邊形來說不成立，故是假命題；中，若四點

8、中有三點共線，則根據(jù)“直線與直線外一點可以確定一個平面”知四點共面，與四點不共面矛盾，故是真命題；由的分析可知是真命題；中，平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故是假命題2如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線證明(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EFBD在BCD中，eq f(BG,GC)eq f(DH,HC)eq f(1,2)，所以GHBD，所以EFGH所以E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)因為EGFHP，PEG，E

9、G平面ABC，所以P平面ABC同理P平面ADC所以P為平面ABC與平面ADC的公共點又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三點共線 考點二判斷空間兩直線的位置關(guān)系空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法典例2(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交(2)一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：ABEF；AB與CM所成的角為60；EF與MN是異面直線；MNCD以上四個命題中，正確命題的序號是_(1)

10、D(2)(1)法一：(反證法)由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交若ll1，ll2，則l1l2，這與l1，l2是異面直線矛盾故l至少與l1，l2中的一條相交法二：(模型法)如圖，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確圖圖(2)如圖，ABEF，正確；顯然ABCM，所以不正確；EF與MN是異面直線，所以正確；MN與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是點評：在直接判斷不好處理的情況下，反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體：正方體、空間四邊形等)和特例排除

11、法等是解決此類問題的三種常用便捷方法跟進訓練如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確結(jié)論的序號為_直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以錯誤點B，B1，N在平面BB1C1C中，點M在此平面外，所以BN與MB1是異面直線同理AM與DD1也是異面直線 考點三異面直線所成的角平移法求異面直線所成角的一般步驟提醒：異面直線所成的角eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)典例3(1)在長方體ABCD

12、A1B1C1D1中，ABBC1，AA1eq r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()Aeq f(1,5)Beq f(r(5),6)Ceq f(r(5),5)Deq f(r(2),2)(2)四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點若BD，AC所成的角為60，且BDAC1，則EF的長為_(1)C(2)eq f(1,2)或eq f(r(3),2)(1)法一：(平移法)如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM易知O為BD1的中點，所以AD1OM，則MOD為異面直線AD1與DB1所成角因為在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1eq r(3)，AD

13、1eq r(AD2DDoal(2,1)2，DMeq r(AD2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)AB)eq sup12(2)eq f(r(5),2)，DB1eq r(AB2AD2DDoal(2,1)eq r(5)，所以O(shè)Meq f(1,2)AD11，ODeq f(1,2)DB1eq f(r(5),2)，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMODeq f(12blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)eq sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)eq sup12(2),21f(r(5),2)eq f(r(5),5)，即異面直線AD1與DB1

14、所成角的余弦值為eq f(r(5),5)故選C法二：(補體法)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1連接B1B，由長方體性質(zhì)可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角連接DB，由題意，得DBeq r(12112)eq r(5)，BB1eq r(12r(3)2)2，DB1eq r(1212r(3)2)eq r(5)在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBeq oal(2,1)DBeq oal(2,1)2BB1DB1cosDB1B，即54522eq r(5)cosDB1B，cosDB1Beq f(r(5),5)故選C(2

15、)如圖，取BC的中點O，連接OE，OF，因為OEAC，OFBD，所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60，所以EOF60或EOF120當EOF60時，EFOEOFeq f(1,2)當EOF120時，取EF的中點M，連接OM，則OMEF，EF2EM2eq f(r(3),4)eq f(r(3),2)點評：(1)平移法和補體法是求兩條異面直線所成角的大小的兩種常用方法，其實質(zhì)是平行移動直線，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，體現(xiàn)了化歸思想(2)要明確直線所成角的范圍，防止概念不清導致解析不全，如本例(2)跟進訓練1(2021全國卷乙)在正方體ABCDA

16、1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()Aeq f(,2)Beq f(,3)Ceq f(,4)Deq f(,6)D法一：如圖，連接C1P，因為ABCDA1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1PB1D1，又C1PBB1，所以C1P平面B1BP又BP平面B1BP，所以有C1PBP連接BC1，則AD1BC1，所以PBC1為直線PB與AD1所成的角設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則在直角三角形C1PB中，C1Peq f(1,2)B1D1eq r(2)，BC12eq r(2)，sinPBC1eq f(PC1,BC1)eq f(1,2)，所以PBC

17、1eq f(,6)，故選D法二：如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1BC1，所以直線PB與AD1所成角等于直線PB與BC1所成角根據(jù)P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，易知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點易知A1BBC1A1C1，所以A1BC1為等邊三角形，所以A1BC1eq f(,3)，又P為A1C1的中點，所以可得PBC1eq f(1,2)A1BC1eq f(,6)2已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()Aeq f(r(3),2)Beq f(r(15),5)Ceq f(r(10),5)Deq f(r(3),3)C將直三