高數(shù)下冊(cè)常用常見知識(shí)點(diǎn)

1、高數(shù)下冊(cè)常用常見知識(shí)點(diǎn)高數(shù)下冊(cè)常用常見知識(shí)點(diǎn)14/14高數(shù)下冊(cè)常用常見知識(shí)點(diǎn)高等數(shù)學(xué)下冊(cè)常用常見知識(shí)點(diǎn)第八章 空間解析幾何及向量代數(shù)向量及其線性運(yùn)算向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行, 共線, 共面；線性運(yùn)算：加減法, 數(shù)乘；空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸, 坐標(biāo)面, 卦限，向量的坐標(biāo)分解式；利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè)，則 , ； 向量的模, 方向角, 投影：向量的模：；兩點(diǎn)間的距離公式：方向角：非零向量及三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角方向余弦：投影：，其中為向量及的夾角。數(shù)量積，向量積數(shù)量積：1）2）向量積：大?。?，方向：符合右手規(guī)則1）2）運(yùn)算律：反交換律 曲面及其方程曲面方程的概念：旋轉(zhuǎn)曲面：（旋

2、轉(zhuǎn)后方程如何寫）面上曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周：繞軸旋轉(zhuǎn)一周：柱面：（特點(diǎn)）表示母線平行于軸，準(zhǔn)線為的柱面二次曲面（會(huì)畫簡(jiǎn)圖）橢圓錐面：橢球面：旋轉(zhuǎn)橢球面：*單葉雙曲面：*雙葉雙曲面：橢圓拋物面：*雙曲拋物面（馬鞍面）：橢圓柱面：雙曲柱面：拋物柱面：空間曲線及其方程一般方程：參數(shù)方程：，如螺旋線：空間曲線在坐標(biāo)面上的投影，消去，得到曲線在面上的投影平面及其方程（法向量）點(diǎn)法式方程： 法向量：，過(guò)點(diǎn)一般式方程：（某個(gè)系數(shù)為零時(shí)的特點(diǎn)）截距式方程：兩平面的夾角：，點(diǎn)到平面的距離：空間直線及其方程（方向向量）一般式方程：對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程： 方向向量：，過(guò)點(diǎn)參數(shù)式方程：兩直線的夾角：，直線及平面的夾角：直

3、線及它在平面上的投影的夾角，第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用基本概念距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無(wú)界集。多元函數(shù)：，圖形，定義域：極限：連續(xù)：偏導(dǎo)數(shù)：方向?qū)?shù)：其中為的方向角。梯度：，則。全微分：設(shè)，則性質(zhì)函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)充分條件必要條件定義12234閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）微分法定義： 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t 若，則 ，隱函數(shù)求導(dǎo)：a.兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組），b.公式法應(yīng)用極值無(wú)條件極值：求函數(shù)的極值解方程組 求出全部駐點(diǎn)，

4、對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，令，若，函數(shù)有微小值，若，函數(shù)有極大值；若，函數(shù)沒有極值；若，不定。條件極值：求函數(shù)在條件下的極值令： Lagrange函數(shù)解方程組 幾何應(yīng)用曲線的切線及法平面曲線，則上一點(diǎn)（對(duì)應(yīng)參數(shù)為）處的切線方程為：法平面方程為：曲面的切平面及法線曲面，則上一點(diǎn)處的切平面方程為： 法線方程為：第十章 重積分二重積分定義：性質(zhì)：（6條）幾何意義：曲頂柱體的體積。計(jì)算：直角坐標(biāo)X型區(qū)域：，Y型區(qū)域：，*交換積分次序（課后題）極坐標(biāo)三重積分定義： 性質(zhì)：計(jì)算：直角坐標(biāo) 投影法“先一后二” 截面法“先二后一”柱面坐標(biāo)，*球面坐標(biāo)*應(yīng)用曲面的面積：第十一章 曲線積分及曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分定義：性

5、質(zhì)：1） 2）3）在上，若，則4） ( l 為曲線弧 L的長(zhǎng)度)計(jì)算：設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義：設(shè) L 為面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧，函數(shù)，在 L 上有界，定義，.向量形式：性質(zhì)： 用表示的反向弧 , 則計(jì)算：設(shè)在有向光滑弧上有定義且連續(xù),的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則兩類曲線積分之間的關(guān)系：設(shè)平面有向曲線弧為，上點(diǎn)處的切向量的方向角為：，則.格林公式1, 格林公式：設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線L 圍成，函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則有2, 為一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則曲線

6、積分 在內(nèi)及路徑無(wú)關(guān)曲線積分在內(nèi)為某一個(gè)函數(shù)的全微分對(duì)面積的曲面積分定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)，定義 計(jì)算：“一單值顯函數(shù), 二投影, 三代入”，則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分預(yù)備知識(shí)：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量定義：設(shè)為有向光滑曲面，函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，定義 同理，性質(zhì)：1），則2）表示及取相反側(cè)的有向曲面 , 則計(jì)算：“一投二代三定號(hào)”，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則,為上側(cè)取“ + ”， 為下側(cè)取“- ”.兩類曲面積分之間的關(guān)系：其中為有向曲面在點(diǎn)處的法向量的方向角。高斯公式高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成, 的方向取外側(cè), 函數(shù)在上有連續(xù)的一

7、階偏導(dǎo)數(shù),則有或*通量及散度*通量：向量場(chǎng)通過(guò)曲面指定側(cè)的通量為：散度：*斯托克斯公式*斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S 的側(cè)及 G的正向符合右手法則, 在包含 在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:*環(huán)流量及旋度*環(huán)流量：向量場(chǎng)沿著有向閉曲線G的環(huán)流量為旋度：第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義：1）無(wú)窮級(jí)數(shù)：部分和：，正項(xiàng)級(jí)數(shù)：，交織級(jí)數(shù)：，2）級(jí)數(shù)收斂：若存在，則稱級(jí)數(shù)收斂，否則稱級(jí)數(shù)發(fā)散3）條件收斂：收斂，而發(fā)散；肯定收斂：收斂。性質(zhì)：改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的收斂性；級(jí)數(shù)，收斂，則收斂；級(jí)數(shù)收斂，則隨意加括號(hào)后仍舊收斂；必要

8、條件：級(jí)數(shù)收斂.（留意：不是充分條件?。彅糠ㄕ?xiàng)級(jí)數(shù)：，定義：存在；收斂有界；比較審斂法：，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散.比較法的推論：，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，而收斂，則收斂；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，而發(fā)散，則發(fā)散. 比較法的極限形式：，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，而收斂，則收斂；若或，而發(fā)散，則發(fā)散.比值法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.*根值法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.極限審斂法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若或，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若存在，使得，則級(jí)數(shù)收斂.交織級(jí)數(shù)：萊布尼茨審斂法：交織級(jí)數(shù)：，滿意：，且，則級(jí)數(shù)收斂。隨意項(xiàng)級(jí)數(shù)：肯定收斂，則收斂。常見典型級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)：p -級(jí)數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；冪級(jí)數(shù)：收斂半徑的求法：，則收斂半徑 泰勒級(jí)數(shù)綻開步驟：（直接綻開法）求出；求出；寫出；驗(yàn)證是否成立。間接綻開法：（利用已知函數(shù)的綻開式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）*傅里葉級(jí)數(shù)*定義：正交系：函數(shù)系中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間上積分為零。傅里葉級(jí)數(shù)：系數(shù)：收斂定理：(綻開定理)設(shè)