復變函數(shù)與積分變換第七章

1、復變函數(shù)與積分變換第七章第1頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二第七章 Fourier變換7.1 Fourier變換的概念7.2 單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換7.3 Fourier變換的性質(zhì)7.4 卷積第2頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二 在自然科學和工程技術(shù)中為了把較復雜的運算轉(zhuǎn)化為較簡單的運算，人們常采用變換的方法來達到目的例如在初等數(shù)學中，數(shù)量的乘積和商可以通過對數(shù)變換化為較簡單的加法和減法運算在工程數(shù)學里積分變換能夠?qū)⒎治鲞\算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，正是積分變換的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成為重要的方法之

2、一積分變換的理論方法不僅在數(shù)學的諸多分支中得到廣泛的應用，而且在許多科學技術(shù)領(lǐng)域中，例如物理學、力學、現(xiàn)代光學、無線電技術(shù)以及信號處理等方面，作為一種研究工具發(fā)揮著十分重要的作用 第3頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二 人類視覺所感受到的是在空間域和時間域的信號. 但是，往往許多問題在頻域中討論時，有其非常方便分析的一面.例如，空間位置上的變化不改變信號的頻域特性. 首先，提出的變換必須是有好處的，換句話說，可以解決時域中解決不了的問題. 其次，變換必須是可逆的，可以通過逆變換還原回原時域中.第4頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二頻域分析：傅里葉

3、變換，自變量為 j 復頻域分析：拉氏變換, 自變量為 S = +j Z域分析：Z 變換，自變量為z 第5頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的任意一個函數(shù)，經(jīng)過某種可逆的積分方法（即為通過含參變量的積分）變?yōu)榱硪缓瘮?shù)類 B中的函數(shù) 這里 是一個確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核 稱為 的像函數(shù)或簡稱為像， 稱為 的原函數(shù)第6頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二 在這樣的積分變換下，微分運算可變?yōu)槌朔ㄟ\算，原來的偏微分方程可以減少自變量的個數(shù)，變成像函數(shù)的常微分方程；原來的常微分方程可以變?yōu)橄窈瘮?shù)的代數(shù)方程，從而容易

4、在像函數(shù)類B中找到解的像；再經(jīng)過逆變換，便可以得到原來要在A中所求的解，而且是顯式解 另外需要說明的是，當選取不同的積分區(qū)域和核函數(shù)時，就得到不同名稱的積分變換: 第7頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二（1）特別當核函數(shù) （注意已將積分參變量改寫為變量），當，則稱函數(shù) 為函數(shù) 的傅里葉（Fourier）變換，簡稱為函數(shù)的傅氏變換同時我們稱 為的傅里葉逆變換第8頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二（2）特別當核函數(shù) （注意已將積分參變量改寫為變量），當，則稱函數(shù) 為函數(shù) 的拉普拉斯 (Laplace)變換，簡稱 為函數(shù) 的拉氏變換同時我們稱 為 的拉

5、氏逆變換 第9頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二第八章 Fourier 變換8.2 單位脈沖函數(shù)8.1 Fourier 變換的概念 8.3 Fourier 變換的性質(zhì)第10頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二主 要 內(nèi) 容 Fourier變換是一種對連續(xù)時間函數(shù)的積分變換,通過特定形式的積分建立函數(shù)之間的對應關(guān)系. 它既能簡化計算(如解微分方程或化卷積為乘積等)，又具有明確的物理意義(從頻譜的角度來描述函數(shù)的特征),因而在許多領(lǐng)域被廣泛地應用.離散和快速Fourier變換在計算機時代更是特別重要 第11頁，共90頁，2022年，5月20日，22點5

6、2分，星期二傅里葉變換發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ).泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應用到電學中去，得到廣泛應用.19世紀末，人們制作出用于工程實際的電容器；進入20世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應用開辟了廣闊的前景.在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點.“FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力. 第12

7、頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二傅立葉變換的作用 （1）可以得出信號在各個頻率點上的強度.（2）可以將卷積運算化為乘積運算.（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進行圖像恢復 和重構(gòu)的重要手段.（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩 個不同的角度來看待圖像的問題，有時在 空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易 見的.第13頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二Fourier 變換是積分變換中常見的一種變換，它既能夠簡化運算 ( 如求解微分方程、化卷積為乘積等等 )，又具有非常特殊的物理意義。 的地位，而且在各種工程技術(shù)中都有著廣泛的應用。展起來的。在微積

8、分課程中已經(jīng)學習了Fourier 級數(shù)的有關(guān) 內(nèi)容，因此本節(jié)將先簡單地回顧一下 Fourier 級數(shù)展開。8.1 Fourier 變換的概念因此，F(xiàn)ourier 變換不僅在數(shù)學的許多分支中具有重要Fourier 變換是在周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)第14頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二8.1 Fourier 變換的概念一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)二、非周期函數(shù)的 Fourier 變換第15頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)1. 簡諧波的基本概念簡諧波為基本周期；為頻率。A 稱為振幅， 其

9、中，稱為角頻率，稱為相位，( 稱為零相位)。(單位：秒)(單位：赫茲 Hz) 補 第16頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二區(qū)間 上滿足如下條件(稱為 Dirichlet 條件)：則在 的連續(xù)點處有(1) 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；(2) 只有有限個極值點 .( Dirichlet 定理)設(shè) 是以 T 為周期的實值函數(shù)，且在定理2. Fourier 級數(shù)的三角形式一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)P120定理 7.1 在 的間斷處，上式左端為第17頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二稱之為基頻。( Dirichlet 定理)定理3. Fouri

10、er 級數(shù)的三角形式其中,(A)稱 (A) 式為 Fourier 級數(shù)的三角形式。定義一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)( Fourier級數(shù)的歷史回顧)第18頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二3. Fourier 級數(shù)的物理含義令則 (A) 式變?yōu)镺(A)改寫一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)第19頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二這些簡諧波的(角)頻率分別為一個基頻 的倍數(shù)。頻率成份，其頻率是以基頻 為間隔離散取值的。” 這是周期信號的一個非常重要的特點。3. Fourier 級數(shù)的物理含義認為 “ 一個周期為 T 的周期信號 并不包含所

11、有的意義周期信號可以分解為一系列固定頻率的簡諧波之和，表明一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)第20頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二相位反映了在信號 中頻率為 的簡諧波 這兩個指標完全定量地刻畫了信號的頻率特性。3. Fourier 級數(shù)的物理含義反映了頻率為 的簡諧波在信號 中振幅所占有的份額；沿時間軸移動的大小。一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)第21頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二4. Fourier 級數(shù)的指數(shù)形式代入 (A) 式并整理得根據(jù) Euler 公式 可得推導(A)已知一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)P120 第22頁

12、，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二4. Fourier 級數(shù)的指數(shù)形式推導則有令其中,(B)稱 (B) 式為 Fourier 級數(shù)的指數(shù)形式。定義一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)第23頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(1) 分解式是惟一的。注意(2) 計算系數(shù) 時, 其中的積分可以在任意一個長度為 T 的區(qū)間上進行。(3) 采用周期延拓技術(shù)，可以將結(jié)論應用到僅僅定義在某個有限區(qū)間上的函數(shù)。4. Fourier 級數(shù)的指數(shù)形式一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)第24頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二5. 離散頻譜與頻譜

13、圖得O分析由即 的模與輻角正好是振幅和相位。稱 為頻譜，記為稱 為振幅譜，稱 為相位譜；定義一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)第25頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二5. 離散頻譜與頻譜圖將振幅 、相位 與頻率 的關(guān)系畫成圖形。頻譜圖OO一、周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)第26頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(1) 當 n = 0 時，解基頻O第27頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二解(2) 當 時,O第28頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(3) 的 Fourier 級數(shù)為解(4) 振幅譜為

14、相位譜為O第29頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(5) 頻譜圖如下圖所示。 解1-22-1O 1-22-1O O第30頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二借助 Fourier 級數(shù)展開，使得人們能夠完全了解一個信號的頻率特性，從而認清了一個信號的本質(zhì)，這種對信號的分析手段也稱為頻譜分析(或者諧波分析)。但是，F(xiàn)ourier 級數(shù)要求被展開的函數(shù)必須是周期函數(shù)， 而在工程實際問題中， 大量遇到的是非周期函數(shù)，那么，對一個非周期函數(shù)是否也能進行頻譜分析呢?二、非周期函數(shù)的傅立葉變換第31頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二二、非

15、周期函數(shù)的傅立葉變換(1) 非周期函數(shù)可以看成是一個周期為無窮大的“周期函數(shù)”。1. 簡單分析第32頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二當 T 越來越大時，取值間隔越來越?。划?T 趨于無窮時，取值間隔趨向于零，因此，一個非周期函數(shù)將包含所有的頻率成份。其頻譜是以 為間隔離散取值的。即頻譜將連續(xù)取值。(2) 當 時，頻率特性發(fā)生了什么變化？二、非周期函數(shù)的傅立葉變換1. 簡單分析Fourier 級數(shù)表明周期函數(shù)僅包含離散的頻率成份，分析第33頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(3) 當 時，級數(shù)求和發(fā)生了什么變化？二、非周期函數(shù)的傅立葉變換1. 簡

16、單分析記為節(jié)點將間隔記為得并由分析(C)第34頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二分析則按照積分定義，在一定條件下，(C) 式可寫為記(3) 當 時，級數(shù)求和發(fā)生了什么變化？二、非周期函數(shù)的傅立葉變換1. 簡單分析第35頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(2) 絕對可積，即上的任一有限區(qū)間內(nèi)滿足 Dirichlet 條件；(1) 在二、非周期函數(shù)的傅立葉變換定理設(shè)函數(shù) 滿足的間斷處，公式的左端應為在2. Fourier 積分公式稱 (D) 式為 Fourier 積分公式。定義則在的連續(xù)點處，有(D)P121定理 7.2 第36頁，共90頁，2022

17、年，5月20日，22點52分，星期二(2) Fourier 逆變換(簡稱傅氏逆變換)稱為傅氏變換對，記為與二、非周期函數(shù)的傅立葉變換-1(1) Fourier 正變換(簡稱傅氏變換)定義其中，稱為象原函數(shù)稱為象函數(shù)，3. Fourier 變換的定義注 上述變換中的廣義積分為柯西主值。 P124定義 7.2 第37頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二二、非周期函數(shù)的傅立葉變換4. Fourier 變換的物理意義與 Fourier 級數(shù)的物理意義一樣，F(xiàn)ourier 變換同樣稱 為振幅譜；稱 為相位譜?？坍嬃艘粋€非周期函數(shù)的頻譜特性，不同的是，非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)取值的。一

18、般為復值函數(shù)，故可表示為稱 為頻譜密度函數(shù)(簡稱為連續(xù)頻譜或者頻譜)；定義反映的是 中各頻率分量的分布密度，它第38頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二解(1)a- a1Ot第39頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(2) 振幅譜為相位譜為解2aOO主瓣旁瓣第40頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(3) 求 Fourier 逆變換，即可得到 Fourier 積分表達式。解-1可得重要積分公式 : 在上式中令注第41頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二可得重要積分公式 : 在上式中令 一般地，有 特別地，有

19、注第42頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二1Ot解(1)P124 例4改 第43頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二解振幅譜為 (2)相位譜為OO第44頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二解 -1-1 1 記為 第45頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二8.2 單位脈沖函數(shù) 二、單位脈沖函數(shù)的概念及性質(zhì) 三、單位脈沖函數(shù)的 Fourier 變換 一、為什么要引入單位脈沖函數(shù) 第46頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二一、為什么要引入單位脈沖函數(shù) 理由 (1) 在數(shù)學、物理學以及工程技

20、術(shù)中，一些常用的重要 函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、符號函數(shù)以及單位 階躍函數(shù)等等，都不能進行 Fourier 變換。 (2) 周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)與非周期函數(shù)的 Fourier 變 換都是用來對信號進行頻譜分析的，它們之間能否 統(tǒng)一起來。 (3) 在工程實際問題中，有許多瞬時物理量不能用通常 的函數(shù)形式來描述，如沖擊力、脈沖電壓、質(zhì)點的 質(zhì)量等等。 第47頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二一、為什么要引入單位脈沖函數(shù) 細桿取 的結(jié)果。 長度為 a ，質(zhì)量為 m 的均勻細桿放在 x 軸的 0 , a 區(qū)間 引例 上，則它的線密度函數(shù)為 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點放置在

21、坐標原點，則可認為它相當于 顯然 , 該密度函數(shù)并沒有反映出質(zhì)點的任何質(zhì)量信息 , 相應地，質(zhì)點的密度函數(shù)為 第48頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二P126定義7.3 二、單位脈沖函數(shù)的概念及性質(zhì) 1. 單位脈沖函數(shù)的概念 (1) 當 時， (2) 顯然，借助單位脈沖函數(shù)，前面引例中質(zhì)點的密度函數(shù) 定義 單位脈沖函數(shù) 滿足： 單位脈沖函數(shù) 又稱為 Dirac 函數(shù)或者 函數(shù)。 就可表示為 當 時， 第49頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二二、單位脈沖函數(shù)的概念及性質(zhì) 1. 單位脈沖函數(shù)的概念 (1) 單位脈沖函數(shù) 并不是經(jīng)典意義下的函數(shù)，而是一

22、 個廣義函數(shù)(或者奇異函數(shù))，它不能用通常意義下的 “值的對應關(guān)系”來理解和使用，而總是通過它的性質(zhì) 注 來使用它。 (2) 單位脈沖函數(shù)有多種定義方式，前面給出的定義方式 是由 Dirac(狄拉克)給出的。 單位脈沖函數(shù)其它定義方式第50頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二二、單位脈沖函數(shù)的概念及性質(zhì) 2. 單位脈沖函數(shù)的性質(zhì) (2) 對稱性質(zhì) 函數(shù)為偶函數(shù)，即 (1) 篩選性質(zhì) 性質(zhì) 設(shè)函數(shù) 是定義在 上的有界函數(shù)， 且在 處連續(xù)， 則 一般地，若 在 點連續(xù)， 則 P127性質(zhì) 1 P127性質(zhì) 3 第51頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二

23、函數(shù)的圖形表示方式非常特別，通常采用一個從原點 出發(fā)長度為 1 的有向線段來表示， 同樣有，函數(shù) 的脈沖強度為 A。 代表 函數(shù)的積分值， 稱為脈沖強度。 二、單位脈沖函數(shù)的概念及性質(zhì) 3. 單位脈沖函數(shù)的圖形表示 t 1 t 1 t A 其中有向線段的長度 第52頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二三、單位脈沖函數(shù)的 Fourier 變換 由此可見，單位脈沖函數(shù)包含所有頻率成份，且它們具有 利用篩選性質(zhì)，可得出 函數(shù)的 Fourier 變換： 即 與 1 構(gòu)成Fourier變換對 相等的幅度，稱此為均勻頻譜或白色頻譜。 t 1 w 1 P128 第53頁，共90頁，20

24、22年，5月20日，22點52分，星期二 重要公式 稱這種方式的 Fourier 變換是一種廣義的Fourier變換。 在 函數(shù)的 Fourier 變換中，其廣義積分是根據(jù) 函數(shù)的 注 性質(zhì)直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的， 三、單位脈沖函數(shù)的 Fourier 變換 按照 Fourier 逆變換公式有 第54頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二解 (1) (2) 將等式 的兩邊對 求導，有 即得 第55頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二它是工程技術(shù)中最常用的函數(shù)之一。 解 已知 又 1 + 得 稱 為單位階躍函數(shù)，也稱為 Heavisi

25、de 函數(shù)， 注 第56頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二解 (1) (2) 由 ， 有 + w 第57頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二7.3 Fourier(逆)變換的性質(zhì)以下假定所討論的函數(shù)滿足Fourier積分定理的條件.(1) 線性性質(zhì) 設(shè)a, b 是常數(shù)， 則 第58頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(2) 位移性質(zhì)第59頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(3) 相似性質(zhì) 第60頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(4) 微分性質(zhì)設(shè) 并且 在 上存在(n為正整數(shù)).

26、 如果當 時, 則 第61頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二上面是關(guān)于時域的微分性質(zhì). 類似地也有關(guān)于頻域的微分性質(zhì): 設(shè) 并且 在 上存在(n為正整數(shù)). 如果當 時, 則 從而可知 第62頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二例1 設(shè) 求 令 于是由 可知 所以 第63頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(5) 積分性質(zhì)設(shè) 并且如果 則 第64頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二 實際上, 只要記住下面五個傅里葉變換, 則所有的傅里葉變換都無須用公式直接計算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導出.第65頁，共90頁

27、，2022年，5月20日，22點52分，星期二定義 設(shè)函數(shù) 和 都是 上的 絕對可積函數(shù), 積分稱為函數(shù) 和 在區(qū)間 上的卷積. 記為 或 , 即 7.4 卷積第66頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二如果 t0 時, 則卷積變?yōu)?這是 上的卷積公式.第67頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二卷積具有下面一些性質(zhì)(這里假定所有的廣義積分均收斂, 并且允許積分交換次序):(1) 交換律 (2) 分配律 (3) 結(jié)合律 第68頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二(4) 與單位脈沖函數(shù)的卷積設(shè) f (t)是 上的連續(xù)函數(shù), 則 例 求

28、 和 在 上的卷積. 解由 上的卷積公式第69頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二卷積定理：第70頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二Fourier變換的應用前面已經(jīng)通過一些例子介紹了Fourier 變換在頻譜分析中的應用. 下面再給出一個討論在信息傳輸中不失真問題的例子.例 任何信息的傳輸, 不論電話、電視或無線電通信, 一個基本問題是要求不失真地傳輸信號,所謂信號不失真是指輸出信號與輸入信號相比, 只 是大小和出現(xiàn)時間不同，而沒有波形上的變化. 第71頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二設(shè)輸入信號為f (t), 輸出信號為g

29、(t), 信號不失真的條件就是 其中K為常數(shù)，t0是滯后時間. 從頻率響應來看, 為了使信號不失真. 應該對電路的傳輸函數(shù)H(w)提出一定的條件. 傳輸函數(shù)H(w)f (t)g(t)第72頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二設(shè)F(w)和G(w)分別是輸入信號f (t)和輸出信號 g(t)的Fourier變換. 傳輸函數(shù)H(w)G(w)g(t)f (t)F(w)由Fourier變換的 可得 這說明, 如果要求信號通過線性電路時不產(chǎn)生任何失真, 在信號的全部通頻帶內(nèi)電路的頻率響應必須具有 故要求傳輸函數(shù)恒定的幅度特性和線性的位相特性. 第73頁，共90頁，2022年，5月20

30、日，22點52分，星期二最后介紹應用Fourier變換求解某些數(shù)學物理方程 (偏微分方程)的方法. 在應用 Fourier 變換求解偏微分方程時, 首先將未知函數(shù)看做某個自變量的一元函數(shù), 對方程兩端取Fourier變換, 把偏微分方程轉(zhuǎn)化成未知函數(shù)為像函數(shù)的常微分方程, 再利用所給的條件求常微分方程, 得到像函數(shù)后, 再求Fourier逆變換, 即得到偏微分方程的解.第74頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二Fourier變換的應用(微分、積分方程的Fourier變換解法)微分、積分方程取Fourier變換象函數(shù)的代數(shù)方程解代數(shù)方程 象函數(shù)取Fourier逆變換象原函數(shù)

31、(方程的解)第75頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二求解數(shù)學物理方程本章內(nèi)容總結(jié)線性性質(zhì)對稱性質(zhì)相似性質(zhì)翻轉(zhuǎn)性質(zhì)時移性質(zhì)頻移性質(zhì)時域微分頻域微分積分性質(zhì)卷積性質(zhì)Fourier變換d 函數(shù)的Fourier變換基本性質(zhì)時移性質(zhì)頻移性質(zhì)微分性質(zhì)反演公式第76頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二本章的重點2. 會求簡單的Fourier變換1. Fourier 變換的定義及其性質(zhì)第77頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二第七章 完第78頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二Jean le Rond DAlembert

32、(1717.11.16-1783.10.29)法國數(shù)學家和物理學家, 被一個貧窮家庭收養(yǎng)的棄嬰.他是18世紀的大數(shù)學家, 在很多領(lǐng)域取得了成就, 特別在微分方程和力學等方面的貢獻尤為突出.第79頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二歷史回顧 Fourier級數(shù) 附： 1807 年 12 月 12 日，在法國科學院舉行的一次會議上，F(xiàn)ourier 宣讀了他的一篇關(guān)于熱傳導的論文，宣稱：在有限區(qū)間上由任意圖形定義的任何函數(shù)都可以表示為單純的正弦與余弦函數(shù)之和。經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德三人(號稱 3L)審閱后，認為其推導極不嚴密，被拒(鋸)收。第80頁，共90頁，2022年，

33、5月20日，22點52分，星期二 1811 年，F(xiàn)ourier 將修改好的論文：提交給法國科學院。關(guān)于熱傳導問題的研究其新穎、實用，從而于 1812 年獲得法國科學院頒發(fā)的大獎，但仍以其不嚴密性被論文匯編拒(鋸)收。經(jīng)過評審小組( 3L )審閱后，認為歷史回顧 Fourier級數(shù) 附： 第81頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二 1822 年，F(xiàn)ourier 經(jīng)過十年的努力，終于出版了專著：熱的解析理論這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角級數(shù)方法，發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，特別是在工程應用方面顯示出巨大的價值。歷史回顧 Fourier級數(shù) 附： 第82頁，共90頁，2022年，5月20日，22點52分，星期二 1829 年，德國數(shù)學家 Dirichlet 終于對一類條件較“寬”的函數(shù)給出了嚴格的證明。時年 24 歲。 1830年 5 月 16 日，F(xiàn)ourier 在巴黎去世。啟示：(1) 有價值的東