需求理論知識(shí)分析

1、第四章 需求理理論本章研究究消費(fèi)者者個(gè)人需需求和市市場(chǎng)總需需求的變變化規(guī)律律。對(duì)于于消費(fèi)者者個(gè)人需需求，主主要討論論價(jià)格和和收入的的變化對(duì)對(duì)需求的的影響，尤其是是要討論論收入效效應(yīng)和替替代效應(yīng)應(yīng)問(wèn)題。對(duì)于市市場(chǎng)總需需求，主主要討論論三個(gè)方方面的問(wèn)問(wèn)題：總總需求是是否還是是價(jià)格和和收入的的函數(shù)？總需求求能否揭揭示一種種消費(fèi)者者偏好？總需求求有什么么社會(huì)福福利意義義？通過(guò)過(guò)對(duì)這些些問(wèn)題的的研究，總需求求的性質(zhì)質(zhì)和變化化規(guī)律便便可可得得到揭示示。本章章的討論論仍在商商品空間間中進(jìn)行行，即假假定市場(chǎng)場(chǎng)上共有有種可供供選擇的的商品。第一節(jié) 集值值映射集值映射射是研究究需求的的基本工工具，是是經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)研究

2、中中發(fā)展起起來(lái)的一一套經(jīng)濟(jì)濟(jì)分析方方法。上上一章中中討論的的預(yù)算集集合同價(jià)價(jià)格與收收入之間間的對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)系，以及需需求集合合同價(jià)格格與收入入之間的的對(duì)應(yīng)關(guān)關(guān)系，都都是集值值映射的的典型事事例。所謂集值值映射，是指集集合與元元素(點(diǎn))之間的的某種對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系系，或者者說(shuō)是一一種取值值為集合合的映射射。具體體來(lái)說(shuō)，設(shè)和是兩個(gè)個(gè)集合，如果對(duì)對(duì)于種的的任何一一個(gè)元素素，都有有的一個(gè)個(gè)子集與與之對(duì)應(yīng)應(yīng)，則這這種對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)系就就稱為從從到的集值映映射，并并記作。為為了方便便起見(jiàn)，今后我我們把集集值映射射也簡(jiǎn)稱稱作集映映。對(duì)于這個(gè)個(gè)概念，我們可可作兩個(gè)個(gè)方面的的理解。首先，通常所所說(shuō)的映映射或函函數(shù)都是是單值映映

3、射或單單值函數(shù)數(shù)，即對(duì)對(duì)于自變變量的每每一種取取值，與與之對(duì)應(yīng)應(yīng)的因變變量的值值是唯一一的；集集值映射射則實(shí)際際上是多多值映射射，即對(duì)對(duì)于自變變量的每每一種取取值，與與之對(duì)應(yīng)應(yīng)的因變變量的值值是可能能有多個(gè)個(gè)。其次次，也可可把集值值映射這這種多值值映射看看成是一一種單值值映射，即把看看成是的的冪集的的元素，這樣一一來(lái)，就就變成了了從到的單值值映射。因此，集值映映射也可可記作。圖4-11 集值值映射的的圖像集值映射射還可看看作是乘乘積集合合的子集集。具體體來(lái)講，確定了了的一個(gè)個(gè)子集，這個(gè)子子集稱為為集值映映射的圖像(如圖44-1所所示)。顯然然，不同同集映的的圖像是是不同的的。集映映確定以以后，

4、其其圖像也也就唯一一確定下下來(lái)。反反過(guò)來(lái)，只要圖圖像得以以確定，集映也也就唯一一確定了了。因此此，可把把集映與與其圖像像等同看看待。對(duì)于集值值映射，如果對(duì)對(duì)任何，都有，則稱為為對(duì)應(yīng)。所所以，對(duì)對(duì)應(yīng)是取取值為非非空集合合的集映映，也是是人們更更為感興興趣的集集值映射射。在集值映映射下，的子集集的像集是指指集合：定義設(shè)設(shè)與都是拓拓?fù)淇臻g間，集映映叫做：(1) 閉(緊緊、凸)集值的的集映，如果對(duì)對(duì)任何,都是的閉閉(緊、凸)子子集；(2) 在點(diǎn)處上上半連續(xù)續(xù)，如果對(duì)對(duì)于中任任何包含含的開(kāi)集集，都存存在的鄰鄰域使得得；(3) 上半連連續(xù)的集集映，如果對(duì)對(duì)任何, 都在在處上半半連續(xù)；(4) 在點(diǎn)處下下半連

5、續(xù)續(xù)，如果對(duì)對(duì)中任何何與相交交的開(kāi)集集，都存存在的鄰鄰域使得得；(5) 下半連連續(xù)的集集映，如果對(duì)對(duì)任何, 都在在處下半半連續(xù)；(6) 在點(diǎn)處連連續(xù)，如果在點(diǎn)點(diǎn)處既上上半連續(xù)續(xù)，又下下半連續(xù)續(xù)；(7)連連續(xù)的集集映，如果對(duì)對(duì)任何, 都在在處連續(xù)續(xù)；(8) 閉集映映，如果的圖圖像是積積空間的的閉子集集；(9) 開(kāi)集映映，如果果的圖像像是積空空間的開(kāi)開(kāi)子集。集映的上上半連續(xù)續(xù)性和下下半連續(xù)續(xù)性都是是函數(shù)連連續(xù)性概概念的推推廣，上上半連續(xù)續(xù)性說(shuō)的的是不會(huì)會(huì)突然彭彭脹，下下半連續(xù)續(xù)性說(shuō)的的是不會(huì)會(huì)突然收收縮。關(guān)關(guān)于的集集映連續(xù)續(xù)性，下下面三個(gè)個(gè)定理是是基本的的和重要要的。定理1. 設(shè)和都是拓拓?fù)淇臻g間

6、，且為為Hauusdoorfff空間。又設(shè)是閉閉集值的的集映，且包含含在的某某緊子集集當(dāng)中。則上半連連續(xù)的充充分必要要條件是是為閉集集映。定理2. 設(shè)是第一一可數(shù)空空間，是是Hauusdoorfff空間，是集映映，為某某個(gè)給定定的點(diǎn)，在該點(diǎn)點(diǎn)處的值值是閉集集，且存存在的鄰鄰域使得得包含在在的某緊緊子集當(dāng)當(dāng)中。則在處上半半連續(xù)的的充分必必要條件件是：對(duì)任何何及任何何序列和和，當(dāng)且時(shí)，。定理3. 設(shè)和是第一一可數(shù)空空間，是是對(duì)應(yīng)，為給定定的點(diǎn)。則在處下半半連續(xù)的的充分必必要條件件是：對(duì)于任任何及中任何何收斂于于的序列列，存在在中收斂斂于的序序列滿足足。推論. 設(shè)和都是拓拓?fù)淇臻g間，且為為Hauus

7、doorfff空間，為閉集集值的閉閉集映，為某個(gè)個(gè)給定的的點(diǎn)。如果存存在的鄰鄰域使得得包含在在的某緊緊子集當(dāng)當(dāng)中，則則在處上半半連續(xù)。這個(gè)推論論直接從從定理11得到，它比定定理1可可能更為為有用。定理22和定理理3分別別是集值值映射的的上、下下半連續(xù)續(xù)性的極極限形式式，因而而也是很很有用的的，為研研究集值值映射提提供了極極大的便便利。第二節(jié) 需求求的連續(xù)續(xù)性根據(jù)消費(fèi)費(fèi)最優(yōu)化化確定的的需求，是由價(jià)價(jià)格因素素與收入入因素共共同決定定的。當(dāng)當(dāng)這兩個(gè)個(gè)因素發(fā)發(fā)生變化化時(shí)，需需求自然然會(huì)發(fā)生生變化。需求變變動(dòng)的第第一個(gè)規(guī)規(guī)律，就就是當(dāng)價(jià)價(jià)格和收收入變化化不大時(shí)時(shí)，需求求也不會(huì)會(huì)發(fā)生很很大的變變化，即即需

8、求是是隨價(jià)格格和收入入連續(xù)變變動(dòng)的。一.預(yù)算算的連續(xù)續(xù)性預(yù)算的連連續(xù)性是是需求連連續(xù)性的的基礎(chǔ)。沒(méi)有預(yù)預(yù)算的連連續(xù)性，就很難難保證當(dāng)當(dāng)價(jià)格和和收入的的變化很很小時(shí)，需求的的變化也也很小。因此，為了考考察需求求的變動(dòng)動(dòng)規(guī)律，需要先先來(lái)考察察消費(fèi)預(yù)預(yù)算的變變化規(guī)律律。命題1. 設(shè)消消費(fèi)集合合是商品品空間的的非空閉閉子集，則預(yù)算算集映是是閉對(duì)應(yīng)應(yīng)。證明：預(yù)預(yù)算集映映是對(duì)應(yīng)應(yīng)，這是是明顯的的事實(shí)。以下來(lái)來(lái)證明是是閉集映映，即證證明的圖圖像是的閉子子集。為為此，設(shè)設(shè)為中的任任一序列列，且。為了證明明是閉集集，只需需證明(即,也即)。事實(shí)實(shí)上，從從立即可可知。在在此式兩兩邊取極極限即可可得到：。故故。命題

9、2. 設(shè)消消費(fèi)集合合是的下有有界非空空閉子集集，則預(yù)預(yù)算集映映上半連連續(xù)。證明：注注意，預(yù)預(yù)算對(duì)應(yīng)應(yīng)是閉集集值的閉閉集映。因此，可應(yīng)用用上一節(jié)節(jié)中的推推論來(lái)證證明本命命題。為為此，設(shè)設(shè)為任一一給定的的點(diǎn)。為為了說(shuō)明明在點(diǎn)處的的上半連連續(xù)性，只需要要找出的的一個(gè)鄰鄰域，使使得包含含在的某某個(gè)有界界閉子集集當(dāng)中。的下有界界性告訴訴我們，存在向向量滿足足且對(duì)一切切成立。令則是的鄰鄰域。令令，其中中定義如如下：易見(jiàn)，是是的有界界閉子集集(從而是是緊子集集)。我們指出出：。事事實(shí)上，對(duì)任何何及，注意意，我們們有：由此可知知，即，從從而。這這就證明明了。既既然任意意給出，因此。的上半半連續(xù)性性得證。命題3

10、. 設(shè)消消費(fèi)集合合是的凸子子集，則預(yù)算算集映下下半連續(xù)續(xù)。證明：任任意給定定，我們們來(lái)證明明在處下半半連續(xù)。注意，和都是第第一可數(shù)數(shù)空間，且是對(duì)對(duì)應(yīng)，因因此可應(yīng)應(yīng)用定理理3來(lái)證證明在處的下下半連續(xù)續(xù)性。為此，設(shè)設(shè)且是中任一一收斂于于的序列列。根據(jù)據(jù)定理33，我們們只需找找到中收收斂于的的序列使使得。顯顯然，。我們按按照和兩種情情形，分分別來(lái)找找這個(gè)序序列。情形1: 此時(shí)，從從及可知，存在自自然數(shù)使使得對(duì)一一切成立立。于是是，對(duì)任任何自然然數(shù), 當(dāng)時(shí)，任意取取定一點(diǎn)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令。顯顯然，且且。情形2：此時(shí)，從從知，存存在滿足足。注意意，因此，存存在自然然數(shù)使得得和對(duì)一切切成立?，F(xiàn)在，對(duì)對(duì)任何的的

11、自然數(shù)數(shù), 當(dāng)當(dāng)時(shí)，任任意取定定一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，其其中。容容易看出出：(1)對(duì)對(duì)一切成成立；(2) ；(3) 當(dāng)時(shí)，且；(4) 當(dāng)時(shí)，。可見(jiàn)，且且?？傊徊徽撌乔榍樾?還還是情形形2，我我們都在在中找到到了某個(gè)個(gè)收斂于于的序列列使得。于于是，在在處的下下半連續(xù)續(xù)性得證證。既然然是任意意給定的的，因此此是上半半連續(xù)的的集映。命題2和和命題33告訴我我們：預(yù)算集映映的連續(xù)續(xù)性.在假設(shè)設(shè)HC下，預(yù)算集集映是連連續(xù)對(duì)應(yīng)應(yīng)。這就是說(shuō)說(shuō)，消費(fèi)費(fèi)集合的的非空下下有界閉閉凸性既既保證了了消費(fèi)預(yù)預(yù)算不會(huì)會(huì)隨價(jià)格格與收入入變化而而突然彭彭脹，又又保證了了消費(fèi)預(yù)預(yù)算不會(huì)會(huì)隨價(jià)格格與收入入的變化化而突然然收縮。二需

12、求求的連續(xù)續(xù)性現(xiàn)在，我我們考察察需求的的連續(xù)性性問(wèn)題。根據(jù)第第三章第第四節(jié)關(guān)關(guān)于馬歇歇爾需求求的討論論可知，在連續(xù)續(xù)的偏好好下，需需求集映映是對(duì)應(yīng)應(yīng)。實(shí)際際上，需需求集映映還是閉閉集映，即下面面命題所所述。命題4.設(shè)消費(fèi)費(fèi)集合是是商品空空間的下下有界非非空閉凸凸子集，偏好關(guān)關(guān)系是連連續(xù)的。則需求求對(duì)應(yīng)是是閉集值值的閉集集映。證明：對(duì)對(duì)于任何何，是閉集集這一事事實(shí)是比比較容易易說(shuō)明的的，其依依據(jù)是的的閉性和和中任何何兩個(gè)方方案之間間的誤差差異性。下面來(lái)來(lái)證明是是閉集映映，即證證明是的閉子子集。為為此，設(shè)設(shè)是中的任任一序列列，并且且收斂于于某點(diǎn)。我們來(lái)來(lái)證明，即欲證證明，也也即要證證明且對(duì)一切切成

13、立。注意，并且且預(yù)算對(duì)對(duì)應(yīng)上半半連續(xù)(命題22)。因此此，。再注意，預(yù)算對(duì)對(duì)應(yīng)還是是下半連連續(xù)的(命題33)。因此此，對(duì)于于任何的的，都存存在中的的序列滿滿足且。既然然，因此此。偏好好的連續(xù)續(xù)性保證證了可在在此式兩兩邊取極極限，于于是。這這就說(shuō)明明，即?？煽梢?jiàn)，是是的閉子子集。命題5(需求集集映的連連續(xù)性). 設(shè)消消費(fèi)集合合是商品品空間的的下有界界非空閉閉凸子集集，偏好好關(guān)系是是連續(xù)的的。則需求求對(duì)應(yīng)上上半連續(xù)續(xù)。證明：由由于命題題4，我我們可應(yīng)應(yīng)用第一一節(jié)中的的推論來(lái)來(lái)證明本本命題。設(shè)任意意給定。我們?cè)谠谧C明命命題2的的時(shí)候，曾經(jīng)找找到了的的一個(gè)鄰鄰域使得得包含在在的某個(gè)個(gè)有界閉閉子集當(dāng)當(dāng)中

14、。由由于，因因此這個(gè)個(gè)鄰域也也必然使使得包含含在的這這個(gè)有界界閉子集集當(dāng)中。既然是是閉集值值的閉集集映，根根據(jù)第一一節(jié)中的的推論便便知在處上半半連續(xù)。而是任任意給定定的，于于是是上上半連續(xù)續(xù)的集映映。命題題5得證證。從上一章章的討論論可知，在連續(xù)續(xù)的嚴(yán)格格凸偏好好假設(shè)下下，理性性消費(fèi)者者的需求求映射得得到了良良好的定定義(wwelll deefinned)，即對(duì)對(duì)于任何何，需求求向量是是唯一確確定的。不僅如如此，從從命題55可知需需求映射射(需求函函數(shù))還是連連續(xù)的(即下面面的命題題6所述述)。因此此，只要要價(jià)格與與與收入入的變化化很小，需求的的變化也也就很小小。命題6(需求映映射的連連續(xù)性)

15、. 在假假設(shè)HCC和假設(shè)設(shè)HP下，需求映映射是連連續(xù)映射射。第三節(jié) 需求求的可微微分性本節(jié)研究究需求函函數(shù)的可可微分變變化規(guī)律律，即需需求的變變化率問(wèn)問(wèn)題。我我們的討討論將在在假設(shè)HHC和HHP下進(jìn)進(jìn)行，并并且還要要使用效效用函數(shù)數(shù)。事實(shí)實(shí)上，需需求函數(shù)數(shù)的可微微分性同同效用函函數(shù)的擬擬凹性關(guān)關(guān)系密切切，因此此本節(jié)要要進(jìn)一步步討論效效用函數(shù)數(shù)的性質(zhì)質(zhì)。這里里，我們們先假定定效用函函數(shù)服從從假設(shè)HHU并且且嚴(yán)格擬擬凹。在在這些假假定下，消費(fèi)者者的需求求向量由由價(jià)格和和收入唯唯一確定定，這就就唯一確確定下來(lái)來(lái)了消費(fèi)費(fèi)者的需需求映射射。對(duì)于，。其中的的便是商商品的需需求函數(shù)數(shù)。對(duì)于，效效用函數(shù)數(shù)在處

16、的二二階偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)矩陣陣，稱為為在處的海森森(Heessiian)矩陣。在假設(shè)設(shè)HU之之下，海海森矩陣陣是對(duì)稱稱矩陣。今后，為了方方便起見(jiàn)見(jiàn)， 把把在處的梯梯度記為為。一效用用函數(shù)的的強(qiáng)擬凹凹性效用函數(shù)數(shù)的擬凹凹性蘊(yùn)含含著海森森矩陣具具有某種種良好性性質(zhì)，或或者說(shuō)，任何一一點(diǎn)處的的無(wú)差異異曲面必必然在該該點(diǎn)處的的切平面面的上方方。因此此，從切切平面上上看，切切點(diǎn)是效效用函數(shù)數(shù)在切平平面上的的最大值值點(diǎn)，即即切點(diǎn)是是切平面面上效用用最大的的點(diǎn)。這這就是下下面命題題所述的的事實(shí)。命題1. 設(shè)消消費(fèi)集合合是商品品空間的的凸子集集，效效用函數(shù)數(shù)是擬凹凹的，在在處可微微，且。對(duì)于任任何，如果，那那么；也即

17、，如果，那那么；如果, 那么；也即，如果，那那么；(3) 進(jìn)一步步，當(dāng)效效用函數(shù)數(shù)嚴(yán)格擬擬凹并且且時(shí)，如果，那那么；也即，如果，那那么。證明：任任意給定定。(1) 設(shè)。的擬凹凹性保證證了對(duì)一一切成立立，從而而即，這就就證明了了(1)。(2) 設(shè)。既然然，存在在的鄰域域使得, 從而也也存在使使得。效效用函數(shù)數(shù)的擬凹凹性保證證了，而而的連續(xù)續(xù)性又保保證了存存在的鄰鄰域（即即以為中中心的一一個(gè)開(kāi)球球）使得得且對(duì)于于任何，都有。顯然，我們可可以在中中選取一一個(gè)符合合下列條條件的點(diǎn)點(diǎn)：對(duì)每每個(gè)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)當(dāng)時(shí)，。對(duì)對(duì)于這樣樣選定的的點(diǎn)，從從可知。既既然，從從(1)的結(jié)論論可知，從而。注意，因此。而，于

18、于是。(2)得得證。(3) 設(shè)嚴(yán)格擬擬凹，且且。令。效效用函數(shù)數(shù)的嚴(yán)格格擬凹性性保證了了，于是是從(22)的結(jié)結(jié)論可知知。將代入入此式即即可得到到，(33)得證證。命題2. 設(shè)消消費(fèi)集合合是的凸子子集，效效用函數(shù)數(shù)擬凹，在點(diǎn)處處二階可可微，并并且。則對(duì)于于任何，都有。這里，“”表示矩矩陣的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置運(yùn)算算，集合合是無(wú)差差異曲面面在點(diǎn)處處的切平平面。證明：設(shè)設(shè)是命題題中給定定的點(diǎn)，這意味味著存在在正實(shí)數(shù)數(shù)滿足，其其中是以以為中心心、為半半徑的開(kāi)開(kāi)球?，F(xiàn)在，設(shè)設(shè)是切平平面上的的任一點(diǎn)點(diǎn)。如果果，那么么是明顯顯的。以以下設(shè)。于是，必然存存在一個(gè)個(gè)正實(shí)數(shù)數(shù)，使得得且。記，并對(duì)對(duì)每個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)，令令。顯然然，對(duì)

19、于于任何，都有成成立，從從而有成成立（因因?yàn)椋?。這說(shuō)明明，命題題1(22)的條條件得到到滿足，因此對(duì)對(duì)一切成成立。定義函數(shù)數(shù)如下：。則從從上面的的討論知知，是在上的最最大值點(diǎn)點(diǎn)，而且且在上二階階可微。根據(jù)函函數(shù)最大大值二階階必要條條件可知知，(這這是因?yàn)闉椋偃缛纾敲疵幢銥榈臉O極小值，出現(xiàn)矛矛盾)。計(jì)算可可知，結(jié)果，。命題得得證。效用函數(shù)數(shù)的擬凹凹性或嚴(yán)嚴(yán)格擬凹凹性，都都不足以以保證需需求函數(shù)數(shù)的可微微性。為為了用微微分法分分析消費(fèi)費(fèi)者需求求的變動(dòng)動(dòng)情況，需要把把上述命命題中得得到的不不等式換換為嚴(yán)格格不等式式，即提提出效用用函數(shù)的的強(qiáng)擬凹凹性概念念。定義. 設(shè)效用用函數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格擬凹凹，在內(nèi)內(nèi)

20、部二階階可微。叫做在點(diǎn)點(diǎn)處強(qiáng)擬擬凹，是是指且對(duì)對(duì)任何,，都有有。如果在內(nèi)部的的每個(gè)點(diǎn)點(diǎn)處都是是強(qiáng)擬凹凹的，則則稱是強(qiáng)擬凹凹的效用用函數(shù)。效用函數(shù)數(shù)的強(qiáng)擬擬凹性實(shí)實(shí)際上只只與消費(fèi)費(fèi)者的偏偏好有關(guān)關(guān)，而與與二階可可微效用用函數(shù)的的具體選選擇無(wú)關(guān)關(guān)。事實(shí)實(shí)上，對(duì)對(duì)于等價(jià)價(jià)的效用用函數(shù)與與來(lái)說(shuō)，從第三三章第33節(jié)的討討論可知知，存在在嚴(yán)格遞遞增可微微函數(shù)滿滿足：對(duì)任何,；對(duì)任何,。由此此可知，對(duì)任何,。注意，且且對(duì)于任任何，。這說(shuō)說(shuō)明，強(qiáng)強(qiáng)擬凹當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)強(qiáng)擬凹凹。即強(qiáng)強(qiáng)擬凹性性與效用用函數(shù)的的具體選選擇無(wú)關(guān)關(guān)，屬于于偏好關(guān)關(guān)系本身身的性質(zhì)質(zhì)。命題3. 設(shè)消消費(fèi)集合合是凸集集，效用用函數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格擬凹凹且

21、在內(nèi)內(nèi)部二階階可微，。則在處強(qiáng)擬擬凹的充充分必要要條件是是：在處的加加邊海森森矩陣非非奇異。這里，所謂效效用函數(shù)數(shù)的加邊海海森矩陣陣，是指指：證明：線線性代數(shù)數(shù)理論告告訴我們們，一個(gè)個(gè)階方陣陣非奇異異的充要要條件是是：對(duì)任任何非零零的維列列向量，都有。下面的的證明將將應(yīng)用這這一事實(shí)實(shí)。設(shè)為為命題中中給定的的點(diǎn)。必要性我們只只需證明明：對(duì)于于任何維維向量，如果，那么。為此，設(shè)滿足足的任意意一個(gè)維維向量。注意，因此，從而而。進(jìn)一步，。既然然強(qiáng)擬凹凹且，可可見(jiàn)只有有。將這這一結(jié)果果代入，可得。由于，因此。這就證證明了。的非奇奇異性得得證。充分性的非奇奇異性說(shuō)說(shuō)明，對(duì)對(duì)于任何何維向量量，如果果，那么么

22、。對(duì)應(yīng)用用這一結(jié)結(jié)論，便便可知。對(duì)于每個(gè)個(gè)，令。則則對(duì)于任任何的，都有的擬凹性性保證了了對(duì)于任任何的，都有。令，并取取定一個(gè)個(gè)。我們們斷定：是非奇奇異的、半負(fù)定定的，從從而是負(fù)負(fù)定的。的非奇異異性的證證明：設(shè)設(shè)任意給給出且。如果，則從的的非奇異異性可知知，即，從從而。以以下設(shè)，并令，則。假若，則則，從而而，這與與發(fā)生矛矛盾?？煽梢?jiàn)，不不成立。這樣，?？傊?，對(duì)對(duì)任何，都成成立。這這說(shuō)明是是非奇異異的。的半負(fù)定定性的證證明：設(shè)設(shè)任意給給定。如如果，則則根據(jù)的的擬凹性性和命題題2可知知，。以以下設(shè)。令，則。注意,因此，即即，從而而。總之，對(duì)對(duì)任何的的，都有有。這說(shuō)說(shuō)明是半半負(fù)定的的。由于非奇奇異的半

23、半負(fù)定矩矩陣必是是負(fù)定的的，因此此是負(fù)定定矩陣，即對(duì)于于任何，只要，就有?？梢?jiàn)對(duì)對(duì)于任何何,，都有有。這說(shuō)說(shuō)明是強(qiáng)強(qiáng)擬凹的的。充分分性得證證。二需求求函數(shù)的的可微分分性現(xiàn)在考察察需求函函數(shù)的可可微分變變化規(guī)律律。設(shè)消消費(fèi)集合合滿足假假設(shè)HCC；效用用函數(shù)強(qiáng)強(qiáng)擬凹、在內(nèi)部部二階可可微，并并且無(wú)最最大值；均衡在在消費(fèi)集集合內(nèi)部部實(shí)現(xiàn)，即對(duì)一一切成立立。在這這些假設(shè)設(shè)之下，對(duì)于任任何，邊邊際方程程確定了消消費(fèi)者的的唯一需需求向量量及拉格格朗日乘乘數(shù)。確定了了消費(fèi)者者對(duì)商品品的需求求函數(shù)。將這些些需求函函數(shù)代入入邊際方方程，則則邊際方方程就變變成為恒恒等式，稱為邊邊際等式式。現(xiàn)在假定定價(jià)格和和收入都都

24、發(fā)生了了微小變變化，從從而引起起了需求求發(fā)生變變化。設(shè)設(shè)商品的的價(jià)格變變化為，消費(fèi)者者收入的的變化為為，消費(fèi)費(fèi)者對(duì)商商品的需需求的變變化為。這些變變化之間間的關(guān)系系，可通通過(guò)在邊邊際等式式兩邊求求微分加加以確定定：記，則上式式可改寫(xiě)寫(xiě)為。用用表示階單單位方陣陣，則此此式又可可改寫(xiě)成成： 此式稱為為消費(fèi)者者需求的的基本矩矩陣方程程或者稱稱為基本本矩陣等等式。命題4. 設(shè)消消費(fèi)集合合滿足假假設(shè)HCC，效用用函數(shù)強(qiáng)強(qiáng)擬凹、在內(nèi)部部二階可可微、且且無(wú)最大大值，。則矩陣陣非奇異異，并且且需求函函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)附近連連續(xù)可微微。證明： 我們先先來(lái)證明明矩陣的的非奇異異性，即即證明對(duì)對(duì)于任意意的，只只要，就就有。

25、為為此，設(shè)設(shè)任意給給出，且且。計(jì)算算一下這這里的矩矩陣乘積積，我們們得到：根據(jù)是否否為零，我們分分兩種情情況進(jìn)行行討論。情形1. ，即即。由于，因因此，即即。如果果，則根根據(jù)的強(qiáng)強(qiáng)擬凹性性可知。注意，。這說(shuō)說(shuō)明，從從而。如如果，則則，從而而?？傊?，不論論是否為為零向量量，我們們總有。情形2. 。此時(shí)，顯顯然有?？偠灾?，不論論是否為為零，都都有?？煽梢?jiàn)矩陣陣必然是是非奇異異的。我們?cè)賮?lái)來(lái)說(shuō)明各各個(gè)需求求函數(shù)的的可微性性。首先先，需求求函數(shù)由由邊際等等式確定定這一事事實(shí)以及及隱函數(shù)數(shù)存在定定理告訴訴我們，只要邊邊際方程程的雅可可比(JJacccobii)矩陣陣非奇異異，邊際際方程就就確定了了

26、在附近近連續(xù)可可微的需需求函數(shù)數(shù)。計(jì)算算關(guān)于的的雅可比比矩陣，不難發(fā)發(fā)現(xiàn)：于是，根根據(jù)上面面的分析析論證，雅可比比矩陣是是非奇異異的。這這就證明明了各個(gè)個(gè)需求函函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)附近的的連續(xù)可可微性。命題44得證。命題4表表明，當(dāng)當(dāng)價(jià)格與與收入的的變化都都很微小小時(shí)，需需求的變變化也很很微小，并且基基本上與與價(jià)格和和收入的的微小變變化呈線線性關(guān)系系，這種種線性關(guān)關(guān)系可通通過(guò)需求求的基本本矩陣方方程來(lái)求求解：第四節(jié)替替代效應(yīng)應(yīng)與收入入效應(yīng)本節(jié)從需需求的基基本矩陣陣方程出出發(fā)，分分析價(jià)格格與收入入的變化化所引起起的需求求的變動(dòng)動(dòng)?，F(xiàn)實(shí)實(shí)經(jīng)濟(jì)生生活中，我們常常常會(huì)看看到這樣樣的情況況，某種種商品的的價(jià)格并并

27、未發(fā)生生變化，消費(fèi)者者的收入入也沒(méi)有有變化，然而消消費(fèi)者對(duì)對(duì)該種商商品的需需求量卻卻發(fā)生了了變化。這是為為什么呢呢？實(shí)際際上，這這種需求求變動(dòng)來(lái)來(lái)自于其其他商品品價(jià)格的的變化而而引起的的商品之之間的替替代。本本節(jié)要研研究這種種替代效效應(yīng)，即即要分析析一種商商品的價(jià)價(jià)格變化化對(duì)另一一種商品品的需求求量的影影響。另另一方面面，當(dāng)商商品自身身的價(jià)格格發(fā)生變變化時(shí)，該商品品的需求求量會(huì)發(fā)發(fā)生變化化，這就就是所謂謂的自身身效應(yīng)，本節(jié)也也要加以以研究，即要分分析商品品價(jià)格的的變化對(duì)對(duì)商品自自身需求求量的影影響。當(dāng)當(dāng)消費(fèi)者者收入發(fā)發(fā)生變化化時(shí)，商商品的需需求量明明顯地要要受到影影響，這這則是收收入效應(yīng)應(yīng)。因

28、此此，本節(jié)節(jié)還要分分析收入入的變化化對(duì)需求求的影響響。我們將用用總效應(yīng)應(yīng)一詞來(lái)來(lái)表達(dá)價(jià)價(jià)格與收收入的變變化所引引起的需需求的變變動(dòng)。對(duì)對(duì)于總效效應(yīng)的研研究，其其依據(jù)是是上一節(jié)節(jié)最后對(duì)對(duì)命題44作說(shuō)明明時(shí)，所所改寫(xiě)的的需求基基本矩陣陣方程：這個(gè)矩陣陣等式準(zhǔn)準(zhǔn)確地表表達(dá)了價(jià)價(jià)格和收收入的變變化對(duì)需需求的影影響。但但是，我我們希望望知道一一些更加加具體、更加明明確的需需求變動(dòng)動(dòng)規(guī)律，因而需需要對(duì)如如上方程程進(jìn)行深深入分析析。為了了方便起起見(jiàn)，令令則。進(jìn)一一步，令令。這個(gè)個(gè)矩陣稱稱為斯勒勒茨基矩矩陣(SSluttskyys mattrixx)，其其元素稱稱為斯勒勒茨基系系數(shù)(SSluttskyys c

29、oeeficciennts)。我們們有：稱此方稱稱為修正正的需求求基本矩矩陣方程程。一替代代效應(yīng)與與收入效效應(yīng)的含含義首先，我我們來(lái)解解釋替代代效應(yīng)與與收入效效應(yīng)的含含義，從從而給斯斯勒茨基基系數(shù)的的意義作作出解釋釋。一種商品品的價(jià)格格變化，會(huì)對(duì)消消費(fèi)者產(chǎn)產(chǎn)生兩種種影響：一是使使消費(fèi)者者的實(shí)際際收入水水平發(fā)生生變化，另一是是使商品品的相對(duì)對(duì)價(jià)格發(fā)發(fā)生變化化。這兩兩種變化化都會(huì)改改變消費(fèi)費(fèi)者對(duì)商商品的需需求量。在這里里，消費(fèi)費(fèi)者的實(shí)實(shí)際收入入水平變變化被定定義為效效用水平平的變化化。比如如，當(dāng)服服裝的價(jià)價(jià)格下降降時(shí)，雖雖然消費(fèi)費(fèi)者的貨貨幣收入入未變，但現(xiàn)有有貨幣收收入的購(gòu)購(gòu)買力增增強(qiáng)了，也就是是

30、說(shuō)消費(fèi)費(fèi)者的實(shí)實(shí)際收入入水平提提高了。而實(shí)際際收入水水平的提提高，會(huì)會(huì)使消費(fèi)費(fèi)者改變變對(duì)服裝裝以及其其他商品品的消費(fèi)費(fèi)量，從從而達(dá)到到更高的的效用水水平，這這就是收收入效應(yīng)應(yīng)。還有有另一方方面，服服裝價(jià)格格下降，使得服服裝相對(duì)對(duì)于其他他價(jià)格未未變的商商品來(lái)說(shuō)說(shuō)變得較較以前便便宜了，也就是是說(shuō)，服服裝價(jià)格格下降等等同于其其他商品品價(jià)格相相對(duì)上升升；即使使服裝價(jià)價(jià)格未變變，但其其他商品品的價(jià)格格上升，這也使使得服裝裝相對(duì)于于其他價(jià)價(jià)格上升升的商品品來(lái)說(shuō)變變得較以以前便宜宜了。商商品的這這種相對(duì)對(duì)價(jià)格變變化，會(huì)會(huì)使消費(fèi)費(fèi)者增加加對(duì)服裝裝的購(gòu)買買量而減減少對(duì)其其他商品品的購(gòu)買買量，這這就是替替代效應(yīng)應(yīng)

31、。顯然然，替代代效應(yīng)不不考慮實(shí)實(shí)際收入入水平變變動(dòng)對(duì)需需求的影影響，因因而替代代效應(yīng)不不改變消消費(fèi)者的的效用水水平。綜上所述述，一種種商品的的價(jià)格變變化所引引起的商商品需求求量變動(dòng)動(dòng)的總效效應(yīng)，可可以分解解為替代代效應(yīng)和和收入效效應(yīng)兩部部分：總總效應(yīng)替代效效應(yīng)收收入效應(yīng)應(yīng)。其中中，由商商品的價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)引起商商品相對(duì)對(duì)價(jià)格發(fā)發(fā)生變動(dòng)動(dòng)，進(jìn)而而由商品品相對(duì)價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)所引起起的商品品需求量量變動(dòng)，就是替替代效應(yīng)應(yīng)；由商商品的價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)引起消消費(fèi)者實(shí)實(shí)際收入入水平變變動(dòng)，進(jìn)進(jìn)而由實(shí)實(shí)際收入入水平變變動(dòng)所引引起的商商品需求求量變動(dòng)動(dòng)，就是是收入效效應(yīng)。替替代效應(yīng)應(yīng)不改變變消費(fèi)者者的效用用水平，而收

32、入入效應(yīng)則則使消費(fèi)費(fèi)者的效效用水平平發(fā)生變變化。為了具體體分析替替代效應(yīng)應(yīng)和收入入效應(yīng)，用列向向量表示示價(jià)格體體系的變變動(dòng)，用用表示收收入水平平的變動(dòng)動(dòng)。這些些變動(dòng)所所引起的的各種商商品需求求量的變變動(dòng)，用用列向量量表示，即代表表總效應(yīng)應(yīng)。用表表示拉格格朗日乘乘數(shù)所發(fā)發(fā)生的相相應(yīng)的變變動(dòng)。根根據(jù)修正正的需求求基本矩矩陣方程程，我們們有：即，。注注意，這這里的為為行向量量，為列列向量。因此，。我們們得到：其中，表表示當(dāng)商商品的價(jià)價(jià)格增加加(減少)一單位位而其余余商品的的價(jià)格保保持不變變時(shí)，商商品的需需求量的的增加(減少)量；表示示當(dāng)消費(fèi)費(fèi)者收入入增加(減少)一個(gè)單單位而商商品價(jià)格格保持不不變時(shí)，

33、商品的的需求量量的增加加(減少)量。在在價(jià)格體體系和收收入水平平下，消消費(fèi)者選選擇了消消費(fèi)向量量?，F(xiàn)在在，商品品的價(jià)格格增加了了一個(gè)單單位而其其余商品品的價(jià)格格不變，這相當(dāng)當(dāng)于消費(fèi)費(fèi)者的實(shí)實(shí)際收入入減少了了個(gè)單位位，進(jìn)而而實(shí)際收收入的減減少引起起了商品品的購(gòu)買買量減少少個(gè)單位位，從而而消費(fèi)者者的效用用水平必必將下降降。為了了不讓消消費(fèi)者的的效用水水平發(fā)生生變化，必須保保證消費(fèi)費(fèi)者的實(shí)實(shí)際收入入水平不不變，即即必須使使所減少少的這個(gè)個(gè)單位的的商品的的消費(fèi)量量得到補(bǔ)補(bǔ)償。這這也就是是說(shuō)，當(dāng)當(dāng)商品的的價(jià)格上上升而其其余商品品的價(jià)格格未變時(shí)時(shí)，按照照變化后后的價(jià)格格體系，消費(fèi)者者將增加加對(duì)商品品的購(gòu)買

34、買量，其其增加量量為。但但是，僅僅僅按照照這個(gè)水水平來(lái)增增加商品品的消費(fèi)費(fèi)，由于于實(shí)際收收入水平平的下降降，消費(fèi)費(fèi)者的效效用水平平要下降降。如果果要保持持價(jià)格變變化后的的效用水水平同價(jià)價(jià)格變化化前的效效用水平平一致，商品的的消費(fèi)量量還必須須再增加加個(gè)單位位。于是是，當(dāng)商商品的價(jià)價(jià)格上升升(下降)一個(gè)單單位時(shí)，為了保保持消費(fèi)費(fèi)者的效效用水平平不變，商品的的消費(fèi)量量應(yīng)該增增加(減少)個(gè)單位位。這正正說(shuō)明，斯勒茨茨基系數(shù)數(shù)表達(dá)了了商品對(duì)對(duì)商品的的替代效效應(yīng)(如圖44-2所示示，圖中中的粗線線表示價(jià)價(jià)格變化化前的曲曲線，細(xì)細(xì)線表示示價(jià)格變變化后的的曲線，虛線表表示的預(yù)預(yù)算線叫叫做補(bǔ)償償預(yù)算線線，它代代

35、表當(dāng)價(jià)價(jià)格發(fā)生生變化時(shí)時(shí)，與價(jià)價(jià)格變化化前的效效用水平平相同的的實(shí)際收收入水平平)。再?gòu)目芍?，?dāng)價(jià)價(jià)格向量量發(fā)生增增加性變變化時(shí)，消費(fèi)者者的實(shí)際際收入將將減少了了?，F(xiàn)在在，貨幣幣收入也也有一個(gè)個(gè)變化，因此實(shí)實(shí)際收入入的變化化為。當(dāng)當(dāng)，即時(shí)，價(jià)格上上升引起起的實(shí)際際收入水水平的下下降正好好得到了了補(bǔ)償，需求變變動(dòng)保持持了消費(fèi)費(fèi)者的效效用水平平不變。這就進(jìn)進(jìn)一步說(shuō)說(shuō)明了斯斯勒茨基基矩陣的的替代效效應(yīng)意義義。鑒于于此，我我們就稱稱為替代效效應(yīng)，斯斯勒茨基基矩陣也也就叫做做替代矩矩陣。斯斯勒茨基基系數(shù)就就是在保保持效用用水平不不變的條條件下，商品的的價(jià)格發(fā)發(fā)生單位位變化所所引起的的商品的的需求量量的

36、變動(dòng)動(dòng)量，故故又可稱稱為商品品對(duì)商品品的替代效效應(yīng)系數(shù)數(shù)。為了了表達(dá)斯斯勒茨基基系數(shù)的的替代效效應(yīng)意義義，可把把表示成成：既然表示示實(shí)際收收入的變變動(dòng)，而而表示收收入增加加一單位位所引起起的商品品需求量量的增加加向量，因此表表示了實(shí)實(shí)際收入入變動(dòng)所所引起的的商品需需求的變變動(dòng)，即即表示了了收入效效應(yīng)。鑒鑒于此，我們就就把稱為為收入效效應(yīng)。收收入效應(yīng)應(yīng)影響消消費(fèi)者的的效用水水平。當(dāng)當(dāng)時(shí)，收收入效應(yīng)應(yīng)為，它它正表示示價(jià)格變變化引起起實(shí)際收收入水平平變化，進(jìn)而實(shí)實(shí)際收入入水平變變化所引引起的商商品需求求的變動(dòng)動(dòng)。鑒于于此，我我們把稱稱為商品品對(duì)商品品的價(jià)格格變動(dòng)的的收入效效應(yīng)系數(shù)數(shù)。價(jià)格與收收入的變

37、變動(dòng)所引引起的商商品需求求向量的的變動(dòng)，就是總總效應(yīng)。它是替替代效應(yīng)應(yīng)與收入入效應(yīng)之之總和：?？傂?yīng) 替替代效應(yīng)應(yīng)替代效效應(yīng)收入效應(yīng)應(yīng)收入效效應(yīng) (aa) 商商品的價(jià)價(jià)格(相對(duì))上升 (b) 商品品的價(jià)格格(相對(duì))下降圖4-22 替替代效應(yīng)應(yīng)與收入入效應(yīng)二.替代代效應(yīng)與與收入效效應(yīng)的特特點(diǎn)注意，是是對(duì)稱矩矩陣，而而對(duì)稱矩矩陣的逆逆矩陣仍仍是對(duì)稱稱矩陣，因此是是對(duì)稱矩矩陣，這這蘊(yùn)含著著矩陣的的對(duì)稱性性，從而而斯勒茨茨基矩陣陣也是對(duì)對(duì)稱的，即。根根據(jù)斯勒勒茨基系系數(shù)的替替代效應(yīng)應(yīng)意義，我們得得到下面面的結(jié)論論：替代效應(yīng)應(yīng)的對(duì)稱稱性. 商品對(duì)商商品的替替代效應(yīng)應(yīng)系數(shù)等等于商品品對(duì)商品品的替代代效應(yīng)系

38、系數(shù)，即即。我們?cè)賮?lái)來(lái)分析一一下商品品價(jià)格變變動(dòng)對(duì)商商品自身身需求量量的影響響。從可知，其中為為階單位位矩陣。這就給給出及，從而而且（因?yàn)闉椋?，即即說(shuō)明了什什么？注注意，從從而，這這說(shuō)明，即。表示當(dāng)當(dāng)商品的的價(jià)格上上漲一個(gè)個(gè)單位而而商品的的價(jià)格未未變時(shí)，為了保保持效用用水平不不變，消消費(fèi)者在在商品上上所增加加的消費(fèi)費(fèi)支出；則表示示消費(fèi)者者在商品品上所減減少的消消費(fèi)支出出（一般般情況下下為負(fù)值值）。因因此，表表明：當(dāng)當(dāng)商品的的價(jià)格上上漲而其其余商品品的價(jià)格格未變時(shí)時(shí)，為了了保持消消費(fèi)者的的實(shí)際收收入水平平(即效用用水平)不變，消費(fèi)者者在商品品上所減減少的消消費(fèi)支出出等于在在其他各各種商品品上所總

39、總共增加加的消費(fèi)費(fèi)支出。也就是是說(shuō)，當(dāng)當(dāng)商品價(jià)價(jià)格發(fā)生生變化時(shí)時(shí)，給消消費(fèi)者以以收入補(bǔ)補(bǔ)貼使得得消費(fèi)者者的實(shí)際際收入水水平(即效用用水平)不發(fā)生生變化，則消費(fèi)費(fèi)者的總總支出既既不會(huì)增增加，也也不會(huì)減減少。又說(shuō)明了了什么？實(shí)際上上，表示示當(dāng)消費(fèi)費(fèi)者的收收入增加加一個(gè)單單位時(shí)，消費(fèi)者者在商品品上所增增加的消消費(fèi)支出出。表明明，收入入的增加加量等于于消費(fèi)支支出的增增加量，因此不不論收入入如何變變動(dòng)，消消費(fèi)者的的收支總總是相抵抵的。我們指出出：是半半負(fù)定的的(這里，我們不不能期望望負(fù)定，因?yàn)榭煽赡苁瞧嫫娈惖?。本?jié)最最后給出出的例子子，說(shuō)明明了這一一點(diǎn))。事實(shí)實(shí)上，對(duì)對(duì)任何行行向量，令，即即。則（因因?yàn)?/p>

40、），故（因因?yàn)椋?。根?jù)本本章第三三節(jié)的命命題2，我們有有。進(jìn)一一步計(jì)算算可得：因此，。這就證證明了的的半負(fù)定定性。的半負(fù)定定性蘊(yùn)含含著斯勒勒茨基矩矩陣的半半負(fù)定性性，只要要效用函函數(shù)是單單調(diào)的。這是因因?yàn)?，的的單調(diào)性性保證了了，因而而是半負(fù)負(fù)定的?；谶@這個(gè)原因因，我們們假定效效用函數(shù)數(shù)是單調(diào)調(diào)的。斯勒茨基基矩陣的的半負(fù)定定性蘊(yùn)含含著，這這說(shuō)明價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)引起的的需求變變動(dòng)具有有下述性性質(zhì)：反向變動(dòng)動(dòng)性質(zhì). 如果果一種商商品漲價(jià)價(jià)而其余余商品的的價(jià)格不不變，那那么即使使收入的的變化恰恰好彌補(bǔ)補(bǔ)了漲價(jià)價(jià)引起的的實(shí)際收收入損失失，消費(fèi)費(fèi)者也不不會(huì)增加加該商品品的消費(fèi)費(fèi)，而是是更可能能要減少少其消費(fèi)

41、費(fèi)。一般來(lái)說(shuō)說(shuō)，對(duì)于于正常商商品而言言，當(dāng)消消費(fèi)者的的收入增增加時(shí)，正常商商品的需需求量不不會(huì)減少少，即。加上負(fù)負(fù)的替代代效應(yīng)，即可看看到：。這就說(shuō)說(shuō)明，當(dāng)當(dāng)一種商商品漲價(jià)價(jià)后，不不論是否否給消費(fèi)費(fèi)者以收收入補(bǔ)償償，該種種商品的的需求量量都要減減少，至至少不會(huì)會(huì)增加。到此，我我們對(duì)以以上的討討論作一一總結(jié)。替代效效應(yīng)的對(duì)對(duì)稱性來(lái)來(lái)自于斯斯勒茨基基矩陣的的對(duì)稱性性，而需需求的反反向變動(dòng)動(dòng)性質(zhì)則則來(lái)自于于斯勒茨茨基矩陣陣的半負(fù)負(fù)定性。因此，可以把把這兩條條性質(zhì)概概括為一一條總的的性質(zhì)：斯勒茨基基性質(zhì).替代矩矩陣(斯勒茨茨基矩陣陣)是對(duì)稱稱的半負(fù)負(fù)定矩陣陣。我們回過(guò)過(guò)頭來(lái)再再討論一一下商品品之間的的

42、替代性性問(wèn)題。當(dāng)時(shí)，商品與與商品互互為替代代品；當(dāng)當(dāng)時(shí)，商商品與商商品互為為補(bǔ)充品品；當(dāng)時(shí)時(shí)，商品品與商品品互為獨(dú)獨(dú)立品。從,以及及可以看看出，。這意味味著商品品之間的的互相替替代性比比互相補(bǔ)補(bǔ)充性更更為普遍遍。三羅伊伊恒等式式上一章曾曾經(jīng)討論論過(guò)間接接效用函函數(shù)?；鼗貞浺幌孪?，間接接效用反反映了價(jià)價(jià)格和收收入所確確定的消消費(fèi)者生生活水平平。根據(jù)據(jù)上一節(jié)節(jié)的命題題4，只只要效用用函數(shù)強(qiáng)強(qiáng)擬凹且且在消費(fèi)費(fèi)集合內(nèi)內(nèi)部二階階可微，各個(gè)需需求函數(shù)數(shù)就都價(jià)價(jià)格收入入空間上上連續(xù)可可微性，從而間間接效用用函數(shù)也也在上連連續(xù)可微微?，F(xiàn)在在，我們們應(yīng)用上上面關(guān)于于替代效效應(yīng)的分分析結(jié)論論(比如，)，來(lái)看看一看

43、間間接效用用函數(shù)的的各個(gè)偏偏導(dǎo)數(shù)情情況。間接效用用對(duì)收入入的偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)反映映了需求求隨收入入變動(dòng)而而變動(dòng)的的變化率率。計(jì)算算可得：這說(shuō)明，確定需需求的邊邊際方程程中德拉拉格朗日日乘數(shù)就就是間接接效用對(duì)對(duì)貨幣收收入的偏偏導(dǎo)數(shù)，反映了了貨幣收收入對(duì)消消費(fèi)者生生活水平平的影響響大小。再看間接接效用對(duì)對(duì)商品價(jià)價(jià)格的偏偏導(dǎo)數(shù)。計(jì)算這這個(gè)偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)，可可得：由于，且且，因此此且。于是是，我們們有：這個(gè)等式式稱為羅羅伊恒等等式(RRoys iidenntitty)。我們來(lái)解解釋羅伊伊恒等式式的意義義。這個(gè)個(gè)等式中中，間接接效用對(duì)對(duì)價(jià)格的的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)表示商商品的價(jià)價(jià)格上漲漲一單位位所引起起效用增增加量(這個(gè)量量值實(shí)

44、際際為負(fù)，即價(jià)格格上漲將將使實(shí)際際收入水水平下降降)。當(dāng)商商品的價(jià)價(jià)格上漲漲一單位位時(shí)，消消費(fèi)者的的支出將將增加個(gè)個(gè)單位。增加一一單位支支出，將將使效用用增加個(gè)個(gè)單位。那么，增加個(gè)個(gè)單位的的消費(fèi)支支出，將將使效用用增加個(gè)個(gè)單位。這就是是羅伊恒恒等式左左邊第二二項(xiàng)的意意義。根據(jù)以上上解釋，羅伊恒恒等式表表示：當(dāng)當(dāng)商品的的價(jià)格上上漲一單單位時(shí)，當(dāng)商品品的價(jià)格格上漲而而其他商商品價(jià)格格不變時(shí)時(shí)，給消消費(fèi)者在在收入上上以補(bǔ)貼貼使消費(fèi)費(fèi)者的實(shí)實(shí)際收入入水平保保持不變變，那么么價(jià)格上上漲所造造成的效效用損失失正好從從收入補(bǔ)補(bǔ)償所增增加的效效用得到到補(bǔ)償，因而這這樣的收收入補(bǔ)貼貼保持了了消費(fèi)者者的效用用水平

45、不不發(fā)生變變化。我我們把羅羅伊恒等等式所說(shuō)說(shuō)明的這這種意義義，稱為為實(shí)際收收入水平平(效用水水平)變動(dòng)的的羅伊恒恒等性質(zhì)質(zhì)，即下下面所述述：羅伊恒等等性質(zhì). 商品品漲價(jià)以以后，對(duì)對(duì)消費(fèi)者者進(jìn)行收收入補(bǔ)貼貼，使得得補(bǔ)貼增增加的收收入正好好彌補(bǔ)漲漲價(jià)引起起的收入入損失，那么，消費(fèi)者者的生活活水平保保持不變變，即漲漲價(jià)前后后的生活活水平相相等。四. 替替代效應(yīng)應(yīng)、收入入效應(yīng)與與需求彈彈性盡管替代代效應(yīng)與與收入效效應(yīng)反映映了商品品價(jià)格與與消費(fèi)者者收入變變化對(duì)需需求變動(dòng)動(dòng)的影響響，但是是這種需需求變動(dòng)動(dòng)既與商商品的計(jì)計(jì)量單位位有關(guān)，又與價(jià)價(jià)格和收收入的計(jì)計(jì)量單位位有關(guān)，并且受受量綱的的影響較較大。為為了

46、消除除量綱的的影響，人們采采用需求求彈性概概念來(lái)反反映需求求變動(dòng)與與價(jià)格和和收入變變動(dòng)之間間的關(guān)系系。中級(jí)級(jí)微觀經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)對(duì)需求彈彈性有過(guò)過(guò)介紹和和討論?，F(xiàn)在，我們進(jìn)進(jìn)一步研研究需求求彈性同同替代效效應(yīng)和收收入效應(yīng)應(yīng)之間的的關(guān)系。首先，簡(jiǎn)簡(jiǎn)要回顧顧一下需需求彈性性的有關(guān)關(guān)概念。需求彈彈性有三三種：需需求價(jià)格格彈性、需求交交叉彈性性、需求求收入彈彈性。需需求價(jià)格格彈性反反映的是是一種商商品的需需求量變變動(dòng)對(duì)該該商品的的價(jià)格變變動(dòng)的敏敏感性程程度；需需求交叉叉彈性說(shuō)說(shuō)的則是是一種商商品的需需求變動(dòng)動(dòng)對(duì)另一一種商品品的價(jià)格格變動(dòng)的的敏感性性程度；需求收收入彈性性揭示了了商品的的需求量量變動(dòng)對(duì)對(duì)消費(fèi)者

47、者收入變變動(dòng)的敏敏感性程程度。對(duì)對(duì)于需求求的這三三種彈性性，用我我們這里里的需求求函數(shù)來(lái)來(lái)表達(dá)，可有如如下的表表達(dá)式。商品的價(jià)價(jià)格彈性性，記作作，是商商品的需需求量變變動(dòng)幅度度與商品品的價(jià)格格的變動(dòng)動(dòng)幅度之之比，即即商品對(duì)商商品的價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)的交叉叉彈性，記作，是商品品的需求求量變動(dòng)動(dòng)幅度與與商品的的價(jià)格的的變動(dòng)幅幅度之比比(這里)，即可見(jiàn)，商商品的價(jià)價(jià)格彈性性和交叉叉彈性可可統(tǒng)一表表示為：。當(dāng)時(shí)，為為價(jià)格彈彈性；當(dāng)當(dāng)時(shí)，為交交叉彈性性。商品的需需求收入入彈性，記作，是商品品的需求求量變動(dòng)動(dòng)幅度與與消費(fèi)者者收入的的變動(dòng)幅幅度之比比，即下面來(lái)分分析各種種需求彈彈性同替替代效應(yīng)應(yīng)和收入入效應(yīng)之之間

48、的關(guān)關(guān)系，同同時(shí)分析析各種需需求彈性性之間的的關(guān)系?；貞浺灰幌虑懊婷嫠v的的替代效效應(yīng)系數(shù)數(shù)和收入入效應(yīng)系系數(shù)：結(jié)合需求求彈性的的表達(dá)公公式，我我們可以以得到：進(jìn)一步，各種需需求彈性性之間有有如下關(guān)關(guān)系:即任何商商品的各各種需求求彈性之之總和都都為零。這是一一個(gè)重要要的事實(shí)實(shí)，因?yàn)闉樗f(shuō)明明，一種種商品的的需求價(jià)價(jià)格彈性性從其絕絕對(duì)值上上看，等等于該商商品的收收入彈性性及其與與其他各各種商品品之間的的交叉彈彈性之和和。尤其其是當(dāng)我我們?cè)趦蓛煞N正常常商品之之間進(jìn)行行選擇時(shí)時(shí)，我們們就可對(duì)對(duì)商品的的需求價(jià)價(jià)格彈性性做出更更明確的的理解。比如消消費(fèi)者面面臨的商商品為服服裝和皮皮鞋。如如果皮鞋鞋價(jià)格下

49、下降100導(dǎo)致致對(duì)皮鞋鞋的需求求量上升升20，那么么根據(jù)各各種彈性性之和為為零這一一事實(shí)可可知，皮皮鞋需求求量的220上上升幅度度可看成成是在皮皮鞋價(jià)格格不變，而服裝裝價(jià)格上上漲100，同同時(shí)消費(fèi)費(fèi)者收入入提高110的的情況下下皮鞋需需求量的的增加幅幅度。反反過(guò)來(lái)，如果服服裝價(jià)格格上漲110，同時(shí)消消費(fèi)者收收入提高高10，導(dǎo)致致皮鞋需需求量上上升200，那那么皮鞋鞋需求量量的這一一上升幅幅度也可可看成是是在服裝裝價(jià)格和和貨幣收收入都不不變的情情況下，皮鞋價(jià)價(jià)格下降降10所引起起的皮鞋鞋需求量量上升幅幅度。上述事實(shí)實(shí)的證明明并不困困難。其其實(shí)，根根據(jù)可知知，故。作為本節(jié)節(jié)的一個(gè)個(gè)應(yīng)用，也作為為對(duì)

50、所講講內(nèi)容的的一個(gè)熟熟悉過(guò)程程，下面面給出一一個(gè)例子子。例. 奇奇異的斯斯勒茨基基矩陣設(shè)消費(fèi)集集合，效效用函數(shù)數(shù)，其中中。這個(gè)個(gè)需求系系統(tǒng)屬于于線性支支出系統(tǒng)統(tǒng)，其需需求函數(shù)數(shù)為：,。計(jì)算算偏導(dǎo)數(shù)數(shù)可得：計(jì)算替代代效應(yīng)系系數(shù)，可可得：計(jì)算替代代矩陣的的行列式式，可得得。這說(shuō)說(shuō)明是奇奇異矩陣陣，因而而不是負(fù)負(fù)定的，而只能能是半負(fù)負(fù)定的?；谶x擇擇的需求求到目前為為止，我我們的需需求理論論建立在在理性消消費(fèi)者的的偏好之之上。這這種以偏偏好為基基礎(chǔ)的需需求，稱稱為基于于偏好的的需求。通過(guò)嚴(yán)嚴(yán)格論證證分析，我們發(fā)發(fā)現(xiàn)基于于偏好的的需求映映射滿足足零階齊齊次性、瓦爾拉拉法則、二階可可微，并并且具有有一個(gè)

51、半半負(fù)定、對(duì)稱的的替代矩矩陣。我我們不禁禁要問(wèn)，這些性性質(zhì)是否否是需求求函數(shù)所所特有的的性質(zhì)？或者說(shuō)說(shuō)，如果果一個(gè)關(guān)關(guān)于價(jià)格格和收入入的映射射滿足這這些性質(zhì)質(zhì)，那么么該映射射能否看看成是某某個(gè)理性性消費(fèi)者者的需求求映射？也即能能否看成成是基于于某個(gè)理理性偏好好的需求求映射？本節(jié)討討論這個(gè)個(gè)問(wèn)題，進(jìn)一步步研究需需求與偏偏好之間間的關(guān)系系，建立立基于選選擇的需需求理論論，并從從原理上上論述基基于選擇擇的需求求與基于于偏好的的需求二二者的一一致性。需求顯示示的偏好好從消費(fèi)者者偏好出出發(fā)導(dǎo)出出的消費(fèi)費(fèi)者需求求，存在在著這樣樣的一個(gè)個(gè)實(shí)際問(wèn)問(wèn)題：實(shí)實(shí)實(shí)在在在的需求求建立在在了難以以捉摸的的主觀偏偏好概念

52、念之上，那么這這種需求求理論是是否可信信？實(shí)用用價(jià)值到到底有多多大？其其實(shí)，對(duì)對(duì)于偏好好早就存存在著兩兩種觀點(diǎn)點(diǎn)的爭(zhēng)論論，即基基數(shù)效用用論與序序數(shù)效用用論。爭(zhēng)爭(zhēng)論的焦焦點(diǎn)是“應(yīng)該說(shuō)說(shuō)效用只只是可把把握的，而不是是可絕對(duì)對(duì)地計(jì)量量多少的的”。序數(shù)數(shù)效用者者認(rèn)為，可把握握的效用用是序數(shù)數(shù)效用，序數(shù)效效用可通通過(guò)觀察察消費(fèi)者者的行為為來(lái)確定定，而基基數(shù)效用用實(shí)際上上是不可可把握的的，是無(wú)無(wú)法確定定的。為為了找出出消費(fèi)者者的偏好好系統(tǒng)，只需給給他充分分多的選選擇方案案，然后后觀察他他的偏好好情況。從觀察察可確定定消費(fèi)者者的偏好好關(guān)系，然而從從觀察卻卻不能確確定兩種種消費(fèi)方方案之間間效用量量的差值值?？?/p>

53、學(xué)學(xué)家們不不應(yīng)該把把不可把把握的概概念引入入到他們們的理論論之中。這一爭(zhēng)論論引起了了薩繆爾爾森(PP.A. Saamueelsoon)對(duì)對(duì)偏好關(guān)關(guān)系發(fā)生生了疑問(wèn)問(wèn)。薩繆繆爾森認(rèn)認(rèn)為，偏偏好關(guān)系系是一個(gè)個(gè)抽象概概念，不不受到任任何經(jīng)濟(jì)濟(jì)上的約約束，因因而實(shí)際際上并不不可能對(duì)對(duì)消費(fèi)者者的偏好好進(jìn)行有有效的觀觀測(cè)和試試驗(yàn)。對(duì)對(duì)抽象概概念進(jìn)行行實(shí)際觀觀測(cè)是困困難的，也是罕罕見(jiàn)的，應(yīng)該避避免這種種做法，避免使使用偏好好這個(gè)抽抽象概念念。另一一方面，當(dāng)價(jià)格格和收入入既定時(shí)時(shí)，消費(fèi)費(fèi)者必然然會(huì)選擇擇出所需需要的商商品，而而且觀察察消費(fèi)者者的選擇擇并沒(méi)有有多大困困難，可可以做到到。所以以，需求求實(shí)際上上由價(jià)格

54、格和收入入直接決決定，無(wú)無(wú)須通過(guò)過(guò)偏好這這個(gè)中間間環(huán)節(jié)，不必為為了觀測(cè)測(cè)難以觀觀察的偏偏好而設(shè)設(shè)計(jì)人為為的試驗(yàn)驗(yàn)，我們們可把消消費(fèi)理論論建立在在價(jià)格與與收入直直接決定定的需求求之上。消費(fèi)者用用實(shí)際行行動(dòng)顯示示了個(gè)人人偏好。在客觀觀環(huán)境條條件和經(jīng)經(jīng)濟(jì)支付付能力都都許可的的范圍內(nèi)內(nèi)，消費(fèi)費(fèi)者選擇擇了這種種方案而而沒(méi)有選選擇那種種方案，說(shuō)明與與那種方方案相比比消費(fèi)者者更偏好好于這種種方案?？梢?jiàn)價(jià)價(jià)格和收收入直接接決定的的需求顯顯示著消消費(fèi)者對(duì)對(duì)消費(fèi)方方案作出出的“好壞”評(píng)價(jià)，即個(gè)人人需求顯顯示著個(gè)個(gè)人偏好好。那么么這種由由需求顯顯示的偏偏好符合合消費(fèi)者者的理性性嗎？如如果不符符合，那那么在什什么條件

55、件下才能能符合？這些問(wèn)問(wèn)題正是是本節(jié)所所要深入入研究的的。(一) 需求與與選擇法法則觀察消費(fèi)費(fèi)者需求求或者觀觀察消費(fèi)費(fèi)者的購(gòu)購(gòu)買，就就是通過(guò)過(guò)觀察來(lái)來(lái)確定每每種價(jià)格格和每種種收入下下的需求求集合?，F(xiàn)在，假定是是觀察確確定的需需求集映映（這里里，從需需求集合合改稱為為需求集集映，意意味著其其中的是是任意變變動(dòng)的），既由由價(jià)格和和收入直直接決定定的需求求。消費(fèi)費(fèi)者能夠夠購(gòu)買集集合中的的任何商商品向量量，說(shuō)明明通過(guò)觀觀察所得得到的確確實(shí)是預(yù)預(yù)算集合合的子集集。所以以，對(duì)于于這種由由價(jià)格和和收入直直接決定定的需求求來(lái)說(shuō)，毋容懷懷疑需求求集合是是否是預(yù)預(yù)算集合合的子集集。知道了消消費(fèi)者的的需求集集映或需

56、需求映射射，這又又意味著著什么？事實(shí)上上，需求求集映告告訴了我我們消費(fèi)費(fèi)者的選選擇法則則。這個(gè)個(gè)法則就就是：對(duì)對(duì)于任意意的價(jià)格格體系和和收入水水平，消消費(fèi)者首首先面臨臨著一個(gè)個(gè)由（即即經(jīng)濟(jì)環(huán)環(huán)境與支支付能力力）決定定的許可可選擇范范圍（即即預(yù)算集集合），然后這這個(gè)范圍圍中又有有某個(gè)確確定的子子集（即即需求集集合），消費(fèi)者者在這個(gè)個(gè)子集中中任意選選擇一種種消費(fèi)方方案。既既然需求求集映代代表著消消費(fèi)選擇擇法則，我們可可對(duì)需求求映射作作出這樣樣的定義義：集值值映射叫叫做需求求集映，是指對(duì)對(duì)一切成成立。其其中，為為消費(fèi)集集合，為為價(jià)格收收入空間間(定義于于上一章章中)，代表不不含任何何元素的的空集合合

57、。為了了與前面面章節(jié)討討論的需需求映射射相區(qū)別別，稱這這里定義義的需求求映射為為基于選選擇的需需求映射射(chhoicce-bbaseed ddemaand)，而稱稱以前討討論的需需求映射射為基于于偏好的的需求映映射(ppreffereencee-baasedd deemannd)。(二) 顯示性性偏好不同消費(fèi)費(fèi)者的選選擇法則則一般是是不同的的，需求求集映也也就不同同。這是是因?yàn)椴徊煌擞杏兄煌钠肺段逗褪群煤?，因而而在商品品選擇上上有著不不同的愛(ài)愛(ài)好和需需要，個(gè)個(gè)人愛(ài)好好、個(gè)人人興趣和和個(gè)人需需要決定定著消費(fèi)費(fèi)者選擇擇法則的的形式與與內(nèi)容。反過(guò)來(lái)來(lái)，不同同的選擇擇法則也也反映了了不同的的

58、個(gè)人愛(ài)愛(ài)好和興興趣。這這樣看來(lái)來(lái)，選擇擇法則顯顯示了一一個(gè)人的的偏好。既然需需求集映映代表著著選擇法法則，需需求集映映也就能能夠顯示示消費(fèi)者者的偏好好。需求顯示示偏好，首先是是顯示著著消費(fèi)者者對(duì)需求求集合中中的任何何兩種消消費(fèi)方案案都有相相同的偏偏好，這這主要是是因?yàn)橄M(fèi)者把把中的任任何一種種方案都都不加選選擇地作作為自己己的最終終消費(fèi)選選擇。假假如消費(fèi)費(fèi)者認(rèn)為為中的消消費(fèi)方案案之間存存有差異異，那么么他就不不會(huì)不在在中挑挑挑揀揀。其次是是顯示著著需求集集合中的的方案比比預(yù)算集集合中那那些不在在中的方方案要好好，因?yàn)闉檫@些方方案被消消費(fèi)者挑挑選過(guò)了了而沒(méi)有有被選中中，意味味著這些些方案較較差

59、。按按照需求求顯示偏偏好的這這種意義義，我們們給出如如下的嚴(yán)嚴(yán)格敘述述：定義(顯顯示性偏偏好).設(shè)為消費(fèi)費(fèi)集合，為需求求集映。對(duì)于任任何兩種種消費(fèi)方方案，如如果存在在使得且，則記記作或記記作，并并稱不比比好，或或者稱不不比差。如果且同同時(shí)，則則記作，并稱與與無(wú)差異異。如果但不成立立，則記記作或記記作，并并稱比差，或或稱優(yōu)于于。如此定定義的集集合上的的這個(gè)二二元關(guān)系系，就稱稱為需求求顯示的的偏好關(guān)關(guān)系，或或者稱為為顯示性性偏好關(guān)關(guān)系，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱為顯顯示性偏偏好。從定義立立即可以以看出：(1) 如果對(duì)對(duì)某個(gè)，有，那那么。即需求求集合中中的任何何兩種方方案都是是無(wú)差異異的。(2) 對(duì)于任任何，如如果，則

60、則存在使使得且。反過(guò)來(lái)，假如且且，即既既存在使使得且，又存存在使得得且。那么么從邏輯輯上講，既然是是中“最好”的方案案的全體體，而且且，就應(yīng)應(yīng)該有；同樣，也應(yīng)該該有。但但是，就就目前而而言，我我們并不不能保證證和。這就就說(shuō)明，如果不不對(duì)需求求集映附附加要求求條件，如上給給出的顯顯示性偏偏好就不不能符合合消費(fèi)選選擇上通通常的邏邏輯，也也就是說(shuō)說(shuō)需求集集映不符符合消費(fèi)費(fèi)選擇的的邏輯。為此，我們對(duì)對(duì)需求集集映提出出如下的的公理：需求弱公公理.需求集集映滿足足條件：對(duì)于任任何，如如果存在在使得且，那么么對(duì)于任任何，若若且，則。有了需求求弱公理理，上面面所述的的選擇邏邏輯問(wèn)題題就迎刃刃而解了了，即(3)