2022年二元一次方程組補(bǔ)習(xí)培優(yōu)競(jìng)賽經(jīng)典歸類(lèi)講解練習(xí)及答案

1、二元一次方程（組）補(bǔ)習(xí)、培優(yōu)、競(jìng)賽歸類(lèi)講解及練習(xí)答案知識(shí)點(diǎn)：1、二元一次方程：（1）方程的兩邊都是整式，（2）含有兩個(gè)未知數(shù)，（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是一次。2、二元一次方程的一個(gè)解：使二元一次方程左右兩邊相等的兩個(gè)未知數(shù)的值叫二元一次方程的一個(gè)解。3、二元一次方程組：含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組。4、二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解。（使二元一次方程組的兩個(gè)方程左、右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值）無(wú)論是二元一次方程還是二元一次方程組的解都應(yīng)該寫(xiě)成 的形式。5、二元一次方程組的解法：基本思路是消元。（1）代入消元法：將一個(gè)方程變形，用一個(gè)未知數(shù)的式子表示另

2、一個(gè)未知數(shù)的形式，再代入另一個(gè)方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。主要步驟：變形用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)。代入消去一個(gè)元。求解分別求出兩個(gè)未知數(shù)的值。寫(xiě)解寫(xiě)出方程組的解。（2）加減消元法：適用于相同未知數(shù)的系數(shù)有相等或互為相反數(shù)的特點(diǎn)的方程組，首先觀察出兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)各自的特點(diǎn)，判斷如何運(yùn)用加減消去一個(gè)未知數(shù)；含分母、小數(shù)、括號(hào)等的方程組都應(yīng)先化為最簡(jiǎn)形式后再用這兩種方法去解。變形同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)。加減消去一個(gè)元。求解分別求出兩個(gè)未知數(shù)的值。寫(xiě)解寫(xiě)出方程組的解。（3）列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：關(guān)鍵是找出題目中的兩個(gè)相等關(guān)系，列出方程組。列二元一次方程組解

3、應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：審：通過(guò)審題，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)。找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系。列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組。解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值。 答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出答案。6、二元一次方程組的解的情況有以下三種：當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)多解。（兩個(gè)方程等效）當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。（兩個(gè)方程是矛盾的）當(dāng)（即）時(shí)，方程組有唯一的解7、方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，一般是不定解，即有無(wú)數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行。8、求方程

4、組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當(dāng)己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。練習(xí)題：1、已知代數(shù)式是同類(lèi)項(xiàng)，那么a= ，b= 。2、已知是同類(lèi)項(xiàng)，那么=_。3、解下列方程組： 4、已知?jiǎng)t= 。5、關(guān)于x的方程組的解是，則 |m-n| 的值是 。6、已知是二元一次方程組的解，則的算術(shù)平方根為 。7、已知方程組的解x，y滿足方程5x-y=3，求k的值是 。8、選擇一組值使方程組 （1）有無(wú)數(shù)多解，（2）無(wú)解，（3）有唯一的解。9、a取什么值時(shí)，方程組 的解是正數(shù)？10、a取哪些正整數(shù)值，方程組的解x和y都是正整數(shù)？11、要使方程組的解都是整數(shù)， k應(yīng)取哪些整數(shù)值？12、已知

5、關(guān)于的方程組有整數(shù)解,即都是整數(shù),是正整數(shù)，求的值。13、m取何整數(shù)值時(shí)，方程組的解x和y都是整數(shù)？14、若求代數(shù)式的值。應(yīng)用題：一、數(shù)字問(wèn)題例1、一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)。二、利潤(rùn)問(wèn)題例2、一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問(wèn)此商品的定價(jià)是多少？三、配套問(wèn)題例3、某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套？四、行程問(wèn)題

6、例4、在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個(gè)加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米。分別在A、C兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪團(tuán)伙作案后同時(shí)以相同的速度駕車(chē)沿高速公路逃離現(xiàn)場(chǎng)，正在B站待命的兩輛巡邏車(chē)接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個(gè)加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來(lái)的團(tuán)伙在1小時(shí)后就被其中一輛迎面而上的巡邏車(chē)堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過(guò)3小時(shí)后才被另一輛巡邏車(chē)追趕上。問(wèn)巡邏車(chē)和犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度各是多少？五、貨運(yùn)問(wèn)題例5、某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘

7、船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少?lài)?？六、工程?wèn)題例6、某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個(gè)服裝廠原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？15、用100枚銅板買(mǎi)桃、李、杏共100粒，己知桃、李每粒分別是3，4枚銅板，而杏7粒1枚銅板。問(wèn)桃、李、杏各買(mǎi)幾粒？16、今有雞翁一，值錢(qián)五，雞母一，值錢(qián)三，雞雛三，值錢(qián)一，百錢(qián)買(mǎi)百雞，雞翁，雞母，雞雛都買(mǎi)

8、，可各買(mǎi)多少？17、某種商品價(jià)格為每件33元，某人身邊只帶有2元和5元兩種面值的人民幣各若干張，買(mǎi)了一件這種商品。若無(wú)需找零錢(qián)，則付款方式有哪幾種（指付出2元和5元錢(qián)的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？18、某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：購(gòu)買(mǎi)香蕉數(shù)（千克）不超過(guò)20千克20千克以上但不超過(guò)40千克40千克以上每千克價(jià)格6元5元4元張強(qiáng)兩次共購(gòu)買(mǎi)香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請(qǐng)問(wèn)張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買(mǎi)香蕉多少千克？19、小明和小亮做加法游戲，小明在一個(gè)加數(shù)后面多寫(xiě)了一個(gè)0，得到的和是242；而小亮在另一個(gè)加數(shù)后面多寫(xiě)了一個(gè)0，得到的和是341，正確的結(jié)果是多少？20、

9、用如圖1中的長(zhǎng)方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖2的豎式和橫式兩種無(wú)蓋紙盒?，F(xiàn)在倉(cāng)庫(kù)里有1000張正方形紙板和2000張長(zhǎng)方形紙板，問(wèn)兩種紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫(kù)存的紙板用完？ 21、同慶中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從軍躍體育用品商店一次性購(gòu)買(mǎi)若干個(gè)足球和籃球(每個(gè)足球的價(jià)格相同，每個(gè)籃球的價(jià)格相同)，若購(gòu)買(mǎi)3個(gè)足球和2個(gè)籃球共需310元購(gòu)買(mǎi)2個(gè)足球和5個(gè)籃球共需500元。 (1)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)足球、一個(gè)籃球各需多少元?(2)根據(jù)同慶中學(xué)的實(shí)際情況，需從軍躍體育用品商店一次性購(gòu)買(mǎi)足球和籃球共96個(gè)。要求購(gòu)買(mǎi)足球和籃球的總費(fèi)用不超過(guò)5720元，這所中學(xué)最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)籃球?22、為迎接2008

10、年奧運(yùn)會(huì)，某工藝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志“中國(guó)印”和奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃”。該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒該廠購(gòu)進(jìn)甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進(jìn)原料全部用完，求該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志和奧運(yùn)會(huì)吉祥物各多少套？23、古算題：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空問(wèn)多少房間多少客？”（題目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每間房里住人，就分有人沒(méi)地方??；若每間房住人，則空出一間房問(wèn)有多少房間多少客人）24、某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽前60名獲獎(jiǎng)，原定一等獎(jiǎng)5

11、人，二等獎(jiǎng)15人，三等獎(jiǎng)40人；現(xiàn)調(diào)整為一等獎(jiǎng)10人，二等獎(jiǎng)20人，三等獎(jiǎng)30人。調(diào)整后一等獎(jiǎng)的平均分?jǐn)?shù)降低了3分，二等獎(jiǎng)的平均分?jǐn)?shù)降低了2分，三等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)降低1分。如果原來(lái)二等獎(jiǎng)比三等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)多7分，求調(diào)整后一等獎(jiǎng)比三等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)多幾分？二元一次方程組競(jìng)賽題集（答案+解析）【例1】已知方程組的解x，y滿足方程5x-y=3，求k的值.【思考與分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法.（）由已知方程組消去k，得x與y的關(guān)系式，再與5x-y=3聯(lián)立組成方程組求出x，y的值，最后將x，y的值代入方程組中任一方程即可求出k的值.（）把k當(dāng)做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù)5x-y=3建立關(guān)于

12、k的方程，便可求出k的值.（）將方程組中的兩個(gè)方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整體代入即可求出k的值.把代入，得，解得k=-4.解法二：3，得17y=k-22，解法三：+，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4. 【小結(jié)】解題時(shí)我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時(shí)間，可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了，當(dāng)然，巧妙解法很容易想到的話，那就應(yīng)該用巧妙解法了.【例2】某種商品價(jià)格為每件元，某人身邊只帶有元和元兩種面值的人民幣各若干張，買(mǎi)了一件這種商品. 若無(wú)需找零錢(qián)，則付款方式有哪幾種（指付出元和元錢(qián)

13、的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？ 【思考與分析】本題我們可以運(yùn)用方程思想將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程來(lái)求解. 我們先找出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，再找出最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式. 然后找出已知量和未知量設(shè)元，列方程組求解. 最后，比較各個(gè)解對(duì)應(yīng)的x+y的值，即可知道哪種付款方式付出的張數(shù)最少. 解：設(shè)付出元錢(qián)的張數(shù)為x，付出元錢(qián)的張數(shù)為y，則x，y的取值均為自然數(shù). 依題意可得方程：2x+5y=33. 因?yàn)?y個(gè)位上的數(shù)只可能是或，所以2x個(gè)位上數(shù)應(yīng)為或. 又因?yàn)閤是偶數(shù)，所以x個(gè)位上的數(shù)是，從而此方程的解為：由得x+y=12；由得x+y=15. 所以第一種付款方式付出的張數(shù)最少. 答：付款方式有種，分

14、別是：付出張?jiān)X(qián)和張?jiān)X(qián)；付出張?jiān)X(qián)和張?jiān)X(qián)；付出張?jiān)X(qián)和張?jiān)X(qián).其中第一種付款方式付出的張數(shù)最少.【例3】 解方程組 【思考與分析】 本例是一個(gè)含字母系數(shù)的方程組.解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時(shí)乘以或除以字母表示的系數(shù)時(shí)，也需要弄清字母的取值是否為零. 解：由，得 y=4mx， 把代入，得 2x+5（4mx）=8， 解得 （25m）x=-12，當(dāng)25m0， 即m時(shí)，方程無(wú)解，則原方程組無(wú)解. 當(dāng)25m0，即m時(shí)，方程解為將代入，得故當(dāng)m時(shí)，原方程組的解為 【小結(jié)】 含字母系數(shù)的一次方程組的解法和數(shù)字系數(shù)的方程組的解法相同，但注意求解時(shí)需要討論字母系數(shù)的取值情況對(duì)

15、于x、y的方程組中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均為已知數(shù)，且a1與b1、a2與b2都至少有一個(gè)不等于零，則時(shí)，原方程組有惟一解；時(shí)，原方程組有無(wú)窮多組解；時(shí)，原方程組無(wú)解.【例4】某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，這棟大樓共有4道門(mén)，其中兩道正門(mén)大小相同，兩道側(cè)門(mén)大小也相同.安全檢查中，對(duì)4道門(mén)進(jìn)行了訓(xùn)練：當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和兩道側(cè)門(mén)時(shí)，2分鐘內(nèi)可以通過(guò)560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)時(shí)，4分鐘可以通過(guò)800名學(xué)生.（1） 求平均每分鐘一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)各可以通過(guò)多少名學(xué)生？（2） 檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門(mén)的效率將降低20.安全檢查規(guī)定，在緊急情

16、況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過(guò)這4道門(mén)安全撤離.假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問(wèn)：建造的這4道門(mén)是否符合安全規(guī)定？請(qǐng)說(shuō)明理由.【思考與解】（1）設(shè)平均每分鐘一道正門(mén)可通過(guò)x名學(xué)生，一道側(cè)門(mén)可以通過(guò)y名學(xué)生.根據(jù)題意，得所以平均每分鐘一道正門(mén)可以通過(guò)學(xué)生120人，一道側(cè)門(mén)可以通過(guò)學(xué)生80人.（2） 這棟樓最多有學(xué)生4845=1440（人）.擁擠時(shí)5分鐘4道門(mén)能通過(guò)52（120+80）（1-20%）=1600（人）.因?yàn)?16001440，所以建造的4道門(mén)符合安全規(guī)定.答:平均每分鐘一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)各可以通過(guò)120名學(xué)生、80名學(xué)生；建造的這4道門(mén)符合安全規(guī)定.【例5】某水果批發(fā)市

17、場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表： 張強(qiáng)兩次共購(gòu)買(mǎi)香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請(qǐng)問(wèn)張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買(mǎi)香蕉多少千克？ 【思考與分析】要想知道張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買(mǎi)香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價(jià)格和張強(qiáng)買(mǎi)的香蕉的千克數(shù)以及付的錢(qián)數(shù)來(lái)入手.通過(guò)觀察圖表我們可知香蕉的價(jià)格分三段，分別是6元、5元、4元.相對(duì)應(yīng)的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設(shè)張強(qiáng)兩次買(mǎi)的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi)，利用分類(lèi)討論的方法求得張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買(mǎi)香蕉的千克數(shù).解：設(shè)張強(qiáng)第一次購(gòu)買(mǎi)香蕉x千克，第二次購(gòu)買(mǎi)香蕉y千克由題意，得0 x25當(dāng)0 x20，y40時(shí)，由題意，得當(dāng)040時(shí)，由題意，得（與0

18、 x20，y40相矛盾，不合題意，舍去）當(dāng)20 x25時(shí)，25y30此時(shí)張強(qiáng)用去的款項(xiàng)為5x+5y=5（x+y）=550=250264（不合題意，舍去）.綜合可知，張強(qiáng)第一次購(gòu)買(mǎi)香蕉14千克，第二次購(gòu)買(mǎi)香蕉36千克.答： 張強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)買(mǎi)香蕉14千克、36千克.【反思】我們?cè)谧鲞@道題的時(shí)候，一定要考慮周全，不能說(shuō)想出了一種情況就認(rèn)為萬(wàn)事大吉了，要進(jìn)行分類(lèi)討論，考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意.【例6】 用如圖中的長(zhǎng)方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖的豎式和橫式兩種無(wú)蓋紙盒. 現(xiàn)在倉(cāng)庫(kù)里有張正方形紙板和000張長(zhǎng)方形紙板，問(wèn)兩種紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫(kù)存的紙板用完？ 【思考與

19、分析】我們已經(jīng)知道已知量有正方形紙板的總數(shù)1000，長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)2，未知量是豎式紙盒的個(gè)數(shù)和橫式紙盒的個(gè)數(shù). 而且每個(gè)豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數(shù)量的正方形紙板和長(zhǎng)方形紙板做成，如果我們知道這兩種紙盒分別要用多少?gòu)堈叫渭埌搴烷L(zhǎng)方形紙板，就能建立起如下的等量關(guān)系：每個(gè)豎式紙盒要用的正方形紙板數(shù) 豎式紙盒個(gè)數(shù) + 每個(gè)橫式紙盒要用的正方形紙板數(shù) 橫式紙盒個(gè)數(shù) = 正方形紙板的總數(shù)每個(gè)豎式紙盒要用的長(zhǎng)方形紙板數(shù) 豎式紙盒個(gè)數(shù) + 每個(gè)橫式紙盒要用的長(zhǎng)方形紙板數(shù) 橫式紙盒個(gè)數(shù) = 長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)通過(guò)觀察圖形，可知每個(gè)豎式紙盒分別要用張正方形紙板和張長(zhǎng)方形紙板，每個(gè)橫式紙盒分別要用張正方形紙板

20、和張長(zhǎng)方形紙板.解：由題中的等量關(guān)系我們可以得到下面圖表所示的關(guān)系. 設(shè)豎式紙盒做x個(gè)，橫式紙盒做y個(gè). 根據(jù)題意，得4-，得 y=2000，解得 y=400.把y=400代入，得 x+800=1000，解得 x=200.所以方程組的解為因?yàn)?00和400均為自然數(shù)，所以這個(gè)解符合題意.答： 豎式紙盒做個(gè)，橫式紙盒做個(gè)，恰好將庫(kù)存的紙板用完.二元一次方程組培優(yōu)應(yīng)用題一數(shù)字問(wèn)題1小明和小亮做加法游戲，小明在一個(gè)加數(shù)后面多寫(xiě)了一個(gè)0，得到的和是242；而小亮在另一個(gè)加數(shù)后面多寫(xiě)了一個(gè)0，得到的和是341，正確的結(jié)果是多少？2小宏與小英是同班同學(xué)，小英家的住宅小區(qū)有1號(hào)樓至22號(hào)樓共22棟樓房，小宏

21、問(wèn)了小英下面兩句話，就猜出了小英住幾號(hào)樓幾號(hào)房間小宏問(wèn)：“你家的樓號(hào)加房間號(hào)是多少？”小英答：“220”小宏問(wèn)：“樓號(hào)的10倍加房間號(hào)是多少？”小英答：“364 ”你知道為什么嗎？3炎熱的夏天，游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽如果每個(gè)男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每個(gè)女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？4已知一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大，若顛倒個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，得到的新數(shù)比原數(shù)小，求這個(gè)兩位數(shù)所列的方程組正確的是（）二配套問(wèn)題1.（08山東省日照市）為迎接2008年奧運(yùn)會(huì)，某工藝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志“中國(guó)印”和

22、奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃”該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒該廠購(gòu)進(jìn)甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進(jìn)原料全部用完，求該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志和奧運(yùn)會(huì)吉祥物各多少套？2.（2008年山東省威海市）汶川大地震發(fā)生后，各地人民紛紛捐款捐物支援災(zāi)區(qū)我市某企業(yè)向?yàn)?zāi)區(qū)捐助價(jià)值94萬(wàn)元的A，B兩種帳篷共600頂已知A種帳篷每頂1700元，B種帳篷每頂1300元，問(wèn)A，B兩種帳篷各多少頂？3長(zhǎng)沙市某公園的門(mén)票價(jià)格如下表所示：購(gòu)票人數(shù)150人51100人100人以上票價(jià)10元人8元人5元人某校

23、七年級(jí)甲、乙兩班共多人去該公園舉行聯(lián)歡活動(dòng)，其中甲班多人，乙班不足人如果以班為單位分別買(mǎi)票，兩個(gè)班一共應(yīng)付元；如果兩個(gè)班聯(lián)合起來(lái)作為一團(tuán)體購(gòu)票，一共只要付元問(wèn)：甲、乙兩班分別有多少人？三行程問(wèn)題1.甲、乙兩人練習(xí)跑步，如果讓乙先跑10米，甲5秒追上乙；如果讓乙先跑2秒，那么甲4秒追上乙.甲、乙每秒分別跑 x、y米，由題意得方程組_.2.小明和小亮分別從相距20千米的甲、乙兩地相向而行，經(jīng)過(guò)2小時(shí)兩人相遇，相遇后小明即返回原地，小亮繼續(xù)向甲地前進(jìn)，小明返回到甲地時(shí)，小亮離甲地還有2千米.請(qǐng)求出兩人的速度.3.一船順?biāo)叫?3.5公里需要3小時(shí)，逆水行47.5公里需5小時(shí)，求此船在靜水中的速度和水

24、流的速度. 四工程問(wèn)題1某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成按這個(gè)服裝廠原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣，不僅比規(guī)定的期限少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套那么客戶訂做的工作服是多少套，要求完成的期限是多少天？2（2006年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程擬在30天內(nèi)（含30天）完成現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，從這兩個(gè)工程隊(duì)資質(zhì)材料可知：若兩隊(duì)合做24天恰好完成；若兩隊(duì)合做18天后，甲工程隊(duì)再單獨(dú)做10天，也恰好完成請(qǐng)問(wèn)：（1）甲、乙兩

25、個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程各需多少天？（2）已知甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為06萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為035萬(wàn)元，要使該工程的施工費(fèi)用最低，甲、乙兩隊(duì)各做多少天（同時(shí)施工即為合做）？最低施工費(fèi)用五含量濃度問(wèn)題1 (2008山東煙臺(tái))據(jù)研究，當(dāng)洗衣機(jī)中洗衣粉的含量在0.2%0.5%之間時(shí)，衣服的洗滌效果較好，因?yàn)檫@時(shí)表面活性較大.現(xiàn)將4.94的衣服放入最大容量為15的洗衣機(jī)中，欲使洗衣機(jī)中洗衣粉的含量達(dá)到0.4%，那么洗衣機(jī)中需要加入多少千克水，多少匙洗衣粉？（1匙洗衣粉約0.02，假設(shè)洗衣機(jī)以最大容量洗滌）2.要配制濃度為15%的硫酸500公斤，已有60%的硫酸100公斤，問(wèn)還需要加水和加濃度

26、為80 %的硫酸各多少公斤? 六圖形問(wèn)題1如圖4，周長(zhǎng)為68的長(zhǎng)方形ABCD被分成7個(gè)大小完全一樣的長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是多少？2用一些長(zhǎng)短相同的小木棍按圖5所示，連續(xù)擺正方形和六邊形要求每?jī)蓚€(gè)相鄰的圖形只有一條公共邊已知擺放的正方形比正六邊形多4個(gè)，并且一共用了110根小木棍，問(wèn)連續(xù)擺放的正方形和正六邊形各有多少個(gè)？3（2006年煙臺(tái)市）2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為b，則a3b4的值為() A35 B43C89D9

27、7七整數(shù)解問(wèn)題1把面值為元的紙幣換為角或角的硬幣，則換法共有_種練習(xí)：1古算題：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空問(wèn)多少房間多少客？”（題目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每間房里住人，就分有人沒(méi)地方??；若每間房住人，則空出一間房問(wèn)有多少房間多少客人）答：_2.某公司去年的總收入比總支出多50萬(wàn)元，今年比去年的總收入增加10，總支出節(jié)約20，今年的總收入比總支出多100萬(wàn)元.如果設(shè)去年的總收入是x萬(wàn)元，總支出是y元，那么可列方程組是_.七年級(jí)數(shù)學(xué) 導(dǎo)學(xué)案教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步熟練二元一次方程組的解法和解二元一次方程組，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，找出等量關(guān)系，然后設(shè)未知數(shù)列方

28、程進(jìn)行解答。教學(xué)重點(diǎn)：找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系知識(shí)點(diǎn):二元一次方程組在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用歸納：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：（1）審：通過(guò)審題，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；（2）找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；（3）列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（4）解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（5）答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出答案.題型分類(lèi)講解：一、數(shù)字問(wèn)題例1 一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上

29、的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)分析：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個(gè)位上的數(shù)為y，則這個(gè)兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：十位上的數(shù)個(gè)位上的數(shù)對(duì)應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)xy10 x+y10 x+y=x+y+9新兩位數(shù)y10y+x10y+x=10 x+y+27解方程組，得，因此，所求的兩位數(shù)是14點(diǎn)評(píng)：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對(duì)有些問(wèn)題是無(wú)能為力的，象本題，如果直接設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為x，或只設(shè)十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關(guān)于x的方程一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求

30、數(shù)問(wèn)題，一般應(yīng)設(shè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)為“元”，然后列多元方程組解之二、利潤(rùn)問(wèn)題例2一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問(wèn)此商品的定價(jià)是多少？分析：商品的利潤(rùn)涉及到進(jìn)價(jià)、定價(jià)和賣(mài)出價(jià)，因此，設(shè)此商品的定價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為y元，則打九折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程組，解得，因此，此商品定價(jià)為200元點(diǎn)評(píng)：商品銷(xiāo)售盈利百分?jǐn)?shù)是相對(duì)于進(jìn)價(jià)而言的，不要誤為是相對(duì)于定價(jià)或賣(mài)出價(jià)利潤(rùn)的計(jì)算一般有兩種方法，一是：利潤(rùn)=賣(mài)出價(jià)-進(jìn)價(jià)；二是：利

31、潤(rùn)=進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率（盈利百分?jǐn)?shù)）特別注意“利潤(rùn)”和“利潤(rùn)率”是不同的兩個(gè)概念三、配套問(wèn)題例3某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來(lái)的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)1因此，設(shè)安排人生產(chǎn)螺栓，人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)，螺母20個(gè)，依題意，得，解之，得故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母點(diǎn)評(píng)：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一，

32、如何分配生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見(jiàn)的問(wèn)題，解決配套問(wèn)題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見(jiàn)的配套問(wèn)題的等量關(guān)系是：（1）“二合一”問(wèn)題：如果件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的倍，即；（2）“三合一”問(wèn)題：如果甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，丙產(chǎn)品件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿足的相等關(guān)系式是：四、行程問(wèn)題例4在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個(gè)加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米分別在A、C兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪團(tuán)伙作案后同時(shí)以相同的速度駕車(chē)沿高速公路逃離現(xiàn)場(chǎng)，正在B站待命的兩輛巡邏車(chē)接到指揮中心的命令后立

33、即以相同的速度分別往A、C兩個(gè)加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來(lái)的團(tuán)伙在1小時(shí)后就被其中一輛迎面而上的巡邏車(chē)堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過(guò)3小時(shí)后才被另一輛巡邏車(chē)追趕上問(wèn)巡邏車(chē)和犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度各是多少？【研析】設(shè)巡邏車(chē)、犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度分別為x、y千米/時(shí)，則，整理，得，解得，因此，巡邏車(chē)的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度是40千米/時(shí)點(diǎn)評(píng)：“相向而遇”和“同向追及”是行程問(wèn)題中最常見(jiàn)的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個(gè)相等關(guān)系，這個(gè)關(guān)系涉及到兩者的速度、原來(lái)的距離以及行走的時(shí)間，具體表現(xiàn)在：“相向而遇”時(shí)，兩者所走的路程之和等于它們?cè)瓉?lái)的距離；“同向追及”時(shí)，快者所走的路程減去慢者所走的路程等

34、于它們?cè)瓉?lái)的距離五、貨運(yùn)問(wèn)題典例5 某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少?lài)?？分析：“充分利用這艘船的載重和容積”的意思是“貨物的總重量等于船的載重量”且“貨物的體積等于船的容積”設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則，整理，得，解得，因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸點(diǎn)評(píng)：由實(shí)際問(wèn)題列出的方程組一般都可以再化簡(jiǎn)，因此，解實(shí)際問(wèn)題的方程組時(shí)要注意先化簡(jiǎn)，再考慮消元和解法，這樣可以減少計(jì)算量，增加準(zhǔn)確度化簡(jiǎn)時(shí)一般是去分母或兩邊同時(shí)除以各項(xiàng)系數(shù)的最大公約

35、數(shù)或移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等六、工程問(wèn)題例6 某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個(gè)服裝廠原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？分析：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得，解得.點(diǎn)評(píng)：工程問(wèn)題與行程問(wèn)題相類(lèi)似，關(guān)鍵要抓好三個(gè)基本量的關(guān)系，即“工作量=工作時(shí)間工作效率”以及它們的變式“工作時(shí)間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時(shí)間”其次注意

36、當(dāng)題目與工作量大小、多少無(wú)關(guān)時(shí)，通常用“1”表示總工作量【典題精析】例1（2006年南京市）某停車(chē)場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：中型汽車(chē)的停車(chē)費(fèi)為6元/輛，小型汽車(chē)的停車(chē)費(fèi)為4元/輛.現(xiàn)在停車(chē)場(chǎng)有50輛中、小型汽車(chē)，這些車(chē)共繳納停車(chē)費(fèi)230元，問(wèn)中、小型汽車(chē)各有多少輛？解析：設(shè)中型汽車(chē)有x輛，小型汽車(chē)有y輛.由題意，得解得，故中型汽車(chē)有15輛，小型汽車(chē)有35輛.例2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收購(gòu)蔬菜進(jìn)行銷(xiāo)售的獲利情況如下表所示：銷(xiāo)售方式直接銷(xiāo)售粗加工后銷(xiāo)售精加工后銷(xiāo)售每噸獲利（元）100250450現(xiàn)在該公司收購(gòu)了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸（兩種加工不能同時(shí)進(jìn)

37、行）（1）如果要求在18天內(nèi)全部銷(xiāo)售完這140噸蔬菜，請(qǐng)完成下列表格：銷(xiāo)售方式全部直接銷(xiāo)售全部粗加工后銷(xiāo)售盡量精加工，剩余部分直接銷(xiāo)售獲利（元）（2）如果先進(jìn)行精加工，然后進(jìn)行粗加工，要求在15天內(nèi)剛好加工完140噸蔬菜，則應(yīng)如何分配加工時(shí)間？解：（1）全部直接銷(xiāo)售獲利為：100140=14000（元）；全部粗加工后銷(xiāo)售獲利為：250140=35000（元）；盡量精加工，剩余部分直接銷(xiāo)售獲利為：450（618）100（140618）=51800（元）.（2）設(shè)應(yīng)安排x天進(jìn)行精加工， y天進(jìn)行粗加工.由題意，得解得，故應(yīng)安排10天進(jìn)行精加工，5天進(jìn)行粗加工.練習(xí)：為滿足市民對(duì)優(yōu)質(zhì)教育的需求，某中學(xué)決定改變辦學(xué)條件，計(jì)劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元. 計(jì)劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方米，在實(shí)施中為擴(kuò)大綠地面積，新建校舍只完成了計(jì)劃的80%，而拆除舊校舍則超過(guò)了計(jì)劃的10%，結(jié)果恰好完成了原計(jì)劃的拆、建總面積.（1）求：原計(jì)劃拆、建面積各是多少平方米？（2）若綠化1平方米需200元，那么在實(shí)際完成的拆、建工程中節(jié)余的資金用來(lái)綠化大約是多少平方米？課堂練習(xí)(中考題為主)1、某廠買(mǎi)進(jìn)