鋼筋混泥土梁單元雙非線性分析的共旋坐標(biāo)法

1、鋼筋混泥土梁單元雙非線性分析的共旋坐標(biāo)法ofReinforcedConcreteBeamElementDENGJihua1，2，SHAOXudong1(1.CollegeofCivilEngineering，HunanUniv，Changsha，Hunan*，China；2.SchoolofCivilEngineeringandArchitecture，ChangshaUnivofScienceandTechnology，Changsha，Hunan*，China)Abstract：Multipleassumptionsandapproximationsinnonlinearityanalys

2、ismodelsofexistingreinforcedconcretebeamelementresultinlowcalculationefficiencyandlowcalculationaccuracy.Inthispaper，basedoncorotationalprocedure，anumericalmodelforagivensectionconsideringmaterialandgeometricalnonlinearanalysisofreinforcedconcretebeamelementwasdeveloped.Firstly，bymeansofvirtualwork，

3、atangentstiffnessmatrixforthematerialnonlinearityofperfectlybondedreinforcedconcretebeamelementwasderivedincorotationalcoordinatesystem.Then，bybuildingtotalandincrementalrelationshipsderivedfromdifferentialequationsofnodaldisplacementsandforcesbetweenglobalcoordinatesystemandcorotationalcoordinatesy

4、stem，respectively，tangentstiffnessinglobalcoordinatesystemreinforcedconcretebeamelementwasdevelopedbyconsideringgeometricandmaterialnonlinearity.Acomparisonbetweentheresultsinthispaperandthosefromexistingreferenceshasdemonstratedthatthealgorithmdevelopedishighlyefficientandaccuratewithmanyadvantages

5、，suchasnoncumulativecalculationerrorsandreductionincomputation.Keywords：reinforcedconcrete；beamelement；corotationalprocedure；binonlinear；variationalmethod；tangentstiffnessmatrix在目前已有的鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)考慮幾何與材料雙重非線性的各種分析模型中，分層梁模型由于具有不受截面形狀限制、不同梁層可采用不同材質(zhì)、能模擬已開裂的梁結(jié)構(gòu)等優(yōu)點而應(yīng)用較廣、1-3.但目前的分層梁模型存在以下缺點：1）在分層梁模型中，將鋼筋劃分成截面

6、的一層，認(rèn)為截面每一層的應(yīng)變沿梁軸向均勻分布.因此，為保證計算精度，單元長度需劃分得很短，這在非線性計算中是非常不利的；2）將鋼筋沿單元軸向理想化為平行于梁軸線的直線段，而在實際鋼筋混凝土梁中，由于受力或構(gòu)造的需要，鋼筋并不總是完全平行于梁軸線；3）材料非線性分析中，一般通過假定截面形心處的應(yīng)變和曲率得到各層的應(yīng)變，由材料本構(gòu)關(guān)系得到應(yīng)力，再由截面平衡得到計算內(nèi)力，將其與實際內(nèi)力比較以確定單元剛度，這一過程往往需要多次反復(fù)迭代，甚至由于混凝土和鋼筋的應(yīng)力應(yīng)變曲線為分段曲線而不收斂、4;4）幾何非線性一般通過應(yīng)變計算中計入高階項，基于總體拉格朗日法（T.L法）或修正拉格朗日法（U.L法）來考慮，

7、這不僅導(dǎo)致單元切線剛度矩陣異常復(fù)雜，還具有T.L法和U.L法本身所固有的缺點，如T.L法在非線性程度較高時所得計算結(jié)果精度很差、5,以及U.L法為保證計算精度，需將荷載步取得較小，導(dǎo)致計算量顯著增加和誤差累積的問題.為解決上述問題，須對現(xiàn)有非線性算法進(jìn)行改進(jìn).在幾何非線性分析方法中，共旋坐標(biāo)法相對于T.L法和U.L法而言，具有列式簡單、力學(xué)概念明確以及計算精度高的特點，因而成為研究的熱點、7-8.本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，首先利用共旋坐標(biāo)系下應(yīng)變與扣除剛體位移后的變形呈線性關(guān)系的特點計算出完全粘結(jié)鋼筋混凝土梁考慮材料非線性的切線剛度矩陣，再基于靜力平衡通過微分獲得鋼筋混凝土梁在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中考慮幾

8、何與材料雙非線性的切線剛度矩陣，多個算例表明本文算法是正確的湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）20XX年第8期鄧?yán)^華等：鋼筋混凝土梁單元雙非線性分析的共旋坐標(biāo)法1鋼筋混凝土梁元切線剛度矩陣圖1所示為鋼筋混凝土平面梁元，基于實際情況，可設(shè)鋼筋在梁單元內(nèi)為直線.圖2示意了在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XY中初始時刻和計算時刻t鋼筋混凝土梁元的幾何參數(shù)及位移的即時變量；設(shè)鋼筋混凝土梁元的共旋坐標(biāo)系為xy，該坐標(biāo)系是隨單元變形而轉(zhuǎn)動的，它始終以節(jié)點i為原點，以節(jié)點i到j(luò)的連線方向為x軸，由x軸逆時針轉(zhuǎn)90為y軸.圖1鋼筋混凝土梁元Reinforcedconcretebeamelement圖2變形前后梁單元Beamelement

9、beforeandafterdeformation1.1共旋坐標(biāo)系下混凝土梁元切線剛度矩陣設(shè)初始時刻單元節(jié)點在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系里的坐標(biāo)為（xi，yi）和（xj，yj）,在計算時刻t結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的位移向量為d=uivi6iujvjejT在共旋坐標(biāo)系中的位移向量為dl=ui（1）混凝土梁單元在共旋坐標(biāo)系中的節(jié)點位移為：式中：0l和tl分別為變形前、后梁單元長度.設(shè)單元任一截面形心軸處的應(yīng)變及截面曲率為Q小，在共旋坐標(biāo)系下單元的應(yīng)變位移關(guān)系只需考慮線性項，有：3） TOC o 1-5 h z 式中：B0為線性應(yīng)變矩陣.采用沿梁高分層的方法，對計算截面任意梁層k,基于平截面假定，由轎口小可求出該梁層的應(yīng)變值

10、時：4）式中：yk為梁層k到形心軸的距離.對式（4）微分，有：5）通過混凝土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由問求得梁層k的應(yīng)力ok和切線模量ETk,截面力P=（ncmc）由截面平衡條件求得為：6）式中：Ak為梁層k的面積；n為截面分層總數(shù).對式（6）微分，有：7）將式（5）代入式（7）并寫成矩陣形式有：8）9）由虛功原理可建立單元的平衡方程組有：式中：fc=fxicfyicmicfxjcfyjcmjcT為共旋坐標(biāo)系下混凝土單元等效節(jié)點力列陣.將式（9）代入式（10）可得：對式（11）微分，并考慮式（8）有：式中：kTc為共旋坐標(biāo)系下考慮材料非線性的混凝土元切線1.2共旋坐標(biāo)系下鋼筋單元切線剛度矩陣參考圖1所示

11、，設(shè)鋼筋上距離左節(jié)點所在截面為x的任意一點A在豎向距離中性軸為d（x）,且x與d（x）的值在變形過程中始終不變.對于鋼筋只需考慮軸向拉壓應(yīng)變，與前面混凝土應(yīng)變計算類似，在共旋坐標(biāo)系下鋼筋的應(yīng)變計算也只考慮線性項，由應(yīng)變旋轉(zhuǎn)公式、9知鋼筋的應(yīng)變?yōu)椋菏街校篈為混凝土在A點的應(yīng)變.對式（13）微分，并聯(lián)立式（3）有：式中：B0，s為鋼筋的應(yīng)變矩陣值，只需將鋼筋具體位置的值代入B0就很容易求得.通過鋼筋的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由s可求得該點的應(yīng)力廠及切線模量ETs,鋼筋Ps為：式中：As為鋼筋的面積.對式（15）微分，并聯(lián)立式（14）有：16)由虛功原理可建立共旋坐標(biāo)系下鋼筋單元的平衡方程有：式中：fs=fxi

12、sfyismisfxjsfyjsmjsT為共旋坐標(biāo)系下鋼筋元等效 TOC o 1-5 h z 節(jié)點力列陣.將式（14）代入式（17）可得：對式（18）微分，并聯(lián)立式（16）有：式中：kTs=cos360010BT0sAsETsBQsdx即為共旋坐標(biāo)系下考慮材料非線性的鋼筋元切線剛度矩陣.1.3結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下鋼筋混凝土梁切線剛度矩陣從式（2）知，由于u,iv,iv恒為0,對式（2）的后3項微分，不難得到共旋坐標(biāo)系下位移微分5dl用結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下位移微分8d表達(dá)的形式：設(shè)鋼筋混凝土梁單元在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的節(jié)點力向量F=FxiFyiMiFxjFyjMjT,由靜力平衡可知：21）式中：t為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣將式（

13、21）兩邊微分可得：對矩陣t微分，為表述方便，將StT（fc+fs）改寫成：為得到tT（Sfc+Sfs用8d表達(dá)的形式，聯(lián)立（12）（19）（20）有：24）聯(lián)立式（22）（23）和（24），可得到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下鋼筋混凝土梁單元考慮幾何與材料雙重非線性的單元切線剛度矩陣為：非線性分析流程1）根據(jù)上一計算時刻單元i，j節(jié)點在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的總位移向量d，由式（2）求出共旋坐標(biāo)系中的位移向量dl，由式（11）和（12）求出混凝土梁元在共旋坐標(biāo)系下的切線剛度矩陣kTc及等效桿端力fc；再基于式（18）和（19）求出鋼筋梁元在共旋坐標(biāo)系下的切線剛度矩陣kTs及等效桿端力fs.2）通過式（25）得到鋼筋混凝

14、土單元在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的切線剛度矩陣KT，基于式（21）得到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的等效桿端力F.3）重復(fù)1）至2）的步驟，生成結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣Z2KT和等效桿端力合力EF.4）計算不平衡力AR=LEF,其中L為到計算時刻t施加的總外荷載的等效節(jié)點力.5）求解結(jié)構(gòu)方程TK-Ad=A豚導(dǎo)到節(jié)點位移增量Ad,將其疊加到總位移向量d中.6）收斂條件判斷，如收斂，轉(zhuǎn)到t+At時刻計算，如不收斂，返回1）進(jìn)行下一次迭代.材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系受壓區(qū)混凝土采用的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：（26）式中：fc為混凝土軸心抗壓強度；。為與fc對應(yīng)的應(yīng)變,且有0=0.002U為極限壓應(yīng)變，且有u=0.0038.受拉區(qū)混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

15、普通鋼筋受拉和受壓時都采用理想彈塑性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.4算例分析例1如圖3所示的肘式框架，兩端嵌固，由William完成其試驗分析工作，由于該結(jié)構(gòu)的幾何非線性十分突出，同時又具有相應(yīng)的試驗結(jié)果，因而成為眾多研究者，如Wood，Papadrakakis，Yang，Chan，Meek等人，檢驗各自所建立理論的有效性與準(zhǔn)確性的標(biāo)準(zhǔn)算例.桿件為一十分細(xì)長矩形等截面直桿，截面寬19.1mm,高6.71mm,彈性模量為71000MPa.分析時將每根桿件劃分成10個單元，采用位移增量法求解，跨中截面位移與荷載的關(guān)系如圖4所示，可看出與William的試驗結(jié)果是比較吻合的.圖3William肘式框架（單位：mm

16、）Williamstogglefra（meUnit：mm）撓度A/mm圖4荷載撓度曲線Loaddeflectioncurves例2如圖5所示均布荷載作用下的懸鏈線無較拱模型、3,拱的跨度為L=4m,矢跨比為f/L=0.2,拱軸系數(shù)m=2.24.橫截面為5.5cm（寬）X20cm（高）的等截面矩形，截面頂和底各配有5根小4的鋼筋，鋼筋形心到截面上下緣的距離取為5mm,材料性質(zhì)見文獻(xiàn)、10.圖5模型拱的節(jié)點劃分Nodepartitionofarchmodel表1列出了試驗結(jié)果、本文及文獻(xiàn)、1的計算結(jié)果，圖6示出了本文計算的4，5，6號關(guān)鍵節(jié)點在線性、幾何非線性、材料非線性及幾何與材料雙非線性下的荷載撓度曲線.從表1可看出，本文計算結(jié)果是正確的，由圖6可看出，本模型幾何及材料非線性效應(yīng)均比較明顯，必須考慮兩者的耦合作用.表1試驗與計算極限荷載值Tab.1LoadcarryingcapacityoftestandcalculationkN/m試驗值、3材料非線性雙非線性本文文獻(xiàn)1本文文獻(xiàn)163.4290.8690.6367.6760.84撓度/mm（a）4號節(jié)點撓度/mm（b）5號節(jié)點撓度/mm（c）6號節(jié)點圖6荷載撓度曲線Fig.6Loaddeflectioncurves5結(jié)論本文基于共旋坐標(biāo)系下應(yīng)變與位移的線性關(guān)系，利用虛功原理直接