新人教版九年級上冊初三數(shù)學(xué) 21.2.1 配方法 課件_第1頁
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文檔簡介

1、21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法21.2.1 配方法(1)預(yù)備知識 什么是平方根?一個數(shù)的平方根怎么樣表示?一個數(shù)的平方等于a,這個數(shù)就叫做a的平方根.a(a0)的平方根記作:x2=a(a0),則根據(jù)平方根的定義知,x=導(dǎo)入新知如果方程轉(zhuǎn)化為x2=p,該如何解呢?求出下列各式中x的值,并說說你的理由.1. x2=9 2. x2=5 x= =3 x=導(dǎo)入新知【思考】問題一桶油漆可刷的面積為1500dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱長嗎?直接開平方法解:設(shè)正方體的棱長為x dm,則一個正方體的表面積為6x2dm2,可列出方程:106

2、x2=1500,由此可得x2=25.開平方得x=5,即x1=5,x2=5.因棱長不能是負(fù)值,所以正方體的棱長為5dm探究新知知識點 1問題1【試一試】解下列方程,并說明你所用的方法,與同伴交流.(1) x2=4(2) x2=0(3) x2+1=0解:根據(jù)平方根的意義,得x1=2, x2=-2.解:根據(jù)平方根的意義,得x1=x2=0.解:根據(jù)平方根的意義,得x2=-1, 因為負(fù)數(shù)沒有平方根,所以原方程無解.探究新知(2)當(dāng)p=0 時,方程(I)有兩個相等的實數(shù)根 =0; (3)當(dāng)p0 時,根據(jù)平方根的意義,方程(1)有兩個不等的實數(shù)根 , ; 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫

3、直接開平方法.注意P的取值,確定有無實數(shù)根探究新知【歸納】 例1 利用直接開平方法解下列方程:(1) x2=6;(2) x2900=0.解:(1) x2=6,直接開平方,得(2)移項,得x2=900.直接開平方,得x=30,x1=30, x2=30. 利用直接開平方解形如x2=p方程素養(yǎng)考點 1探究新知鞏固練習(xí)變式題1解下列方程(分析:把方程化為 x2=p 的形式) 【分析】在解方程(1)時,由方程x2=25得x=5.把x+3看做一個整體,由此想到:(x+3)2=5 ,兩邊開平方得 對照上面方法,你認(rèn)為怎樣解方程(x+3)2=5?于是,方程(x+3)2=5的兩個根為鞏固練習(xí) 上面的解法中 ,由

4、方程得到,實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程,這樣就把方程轉(zhuǎn)化為我們會解的方程了.歸 納鞏固練習(xí)例2 解下列方程: (x1)2= 2 ; 解析 第1小題中只要將(x1)看成是一個整體,就可以運(yùn)用直接開平方法求解.即x1=-1+,x2=-1- 解:(1)x+1是2的平方根,x+1= 利用直接開平方法解形如(mx+n)2=p方程素養(yǎng)考點 2探究新知解析 第2小題先將-4移到方程的右邊,再同第1小題一樣地解.(2)(x1)24 = 0;即x1=3,x2=-1.解:(2)移項,得(x-1)2=4.x-1是4的平方根,x-1=2.探究新知 x1= , x2=(3) 12(32x)

5、23 = 0.解析 第3小題先將3移到方程的右邊,再兩邊都除以12,再同第1小題一樣地去解,然后兩邊都除以-2即可. 解:(3)移項,得12(3-2x)2=3,兩邊都除以12,得(3-2x)=0.25.3-2x是0.25的平方根,3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5探究新知解:移項x6=3,x6=3,方程的兩根為x1 =3,x1 =9.解:方程的兩根為解方程.鞏固練習(xí)變式題2 解:方程的兩根為解:方程的兩根為例3 解下列方程:解需要利用完全平方公式轉(zhuǎn)化的一元二次方程素養(yǎng)考點 3探究新知解方程 x2+6x+9=2.x1= x2=解:方程的左邊是完全平方形式,這個方程可以化為:

6、(x+3)2=2進(jìn)行降次得:鞏固練習(xí)變式題3 (2018中考)一元二次方程x29=0的解是 解析 x29=0,x2=9, 解得:x1=3,x2=3 故答案為:x1=3,x2=3連接中考鞏固練習(xí)x1=3,x2=3 C.4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)= 3, x1= ; x2=D. (2x+3)2=25,解方程,得2x+3=5, x1= 1;x2=-4 1.下列解方程的過程中,正確的是( )A. x2=-2,解方程,得x=B. (x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4 D基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測(1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)

7、2=9的根是 .x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x212. 填空:課堂檢測3. 【試一試】下面是李昆同學(xué)解答的一道一元二次方程的具體過程,你認(rèn)為他解的對嗎?如果有錯,指出具體位置并幫他改正.解:解:不對,從開始錯,應(yīng)改為課堂檢測解方程解:方程的兩根為能力提升題課堂檢測直接開平方法概念步驟基本思路利用平方根的定義求方程的根的方法關(guān)鍵要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p (p 0).一元二次方程兩個一元一次方程降次直接開平方法課堂小結(jié)21.2.1 配方法(2)化為一般式,得 x2+6x-16=0 怎樣解這個方程?能不能用直接開平方法? 要使一塊矩形場地的長比寬多6

8、米,并且面積為16平方米,求場地的長和寬應(yīng)各是多少?x(x+6)=16導(dǎo)入新知(1) 9x2=1 ;(2) (x-2)2=2.2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?1.用直接開平方法解下列方程:(1) x2+6x+9 =5;(2)x2+6x+4=0.把兩題轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p(p0)的形式,再利用開平方來解.配方法的定義探究新知知識點 1 你還記得嗎?填一填下列完全平方公式.(1) a2+2ab+b2=( )2;(2) a2-2ab+b2=( )2.a+ba-b探究新知填一填(根據(jù) )配方時, 等式兩邊同時加上的是一次項系數(shù)一半的平方.56你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?二次項系數(shù)都為1.探究新知思考 怎樣

9、解方程: x2+6x+4=0(1)(1)方程(1)怎樣變成(x+n)2=p的形式呢?解:x2+6x+4=0 x2+6x=-4移項 x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項系數(shù)為1的完全平方式:常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方.探究新知 (2)為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加上9?加其他數(shù)行嗎? 提示:不行,只有在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方,方程左邊才能變成完成平方x2+2bx+b2的形式.探究新知 像上面那樣,通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方是為了降次 ,把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程來解.配方法的定義探究新知例1 解方程:解:(1)移項,得x2

10、8x=1,配方,得x28x+42=1+42 ,( x4)2=15由此可得素養(yǎng)考點 1一元二次方程的識別探究新知變式題1 解方程x2+8x-4=0 解:移項,得 x2+8x4 配方,得 x2+8x+4=4+4, 整理,得 (x+4)2=20, 由此可得 x+4= , x1 , x2 .鞏固練習(xí)解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程配方,得由此可得二次項系數(shù)化為1,得解:移項,得2x23x=1,移項和二次項系數(shù)化為1這兩個步驟能不能交換一下呢?例2 解方程素養(yǎng)考點 2探究新知配方,得 因為實數(shù)的平方不會是負(fù)數(shù),所以x取任何實數(shù)時,上式都不成立,所以原方程無實數(shù)根解:移項,得二次項系數(shù)化為1,得為什么方程

11、兩邊都加12?即探究新知思考1:用配方法解一元二次方程時,移項時要注意些什么?思考2:用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項時需注意改變符號.移項,二次項系數(shù)化為1;左邊配成完全平方式;左邊寫成完全平方形式;降次;解一次方程.探究新知一般地,如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成 (x+n)2=p.當(dāng)p0時,則 ,方程的兩個根為當(dāng)p=0時,則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個根為 x1=x2=-n.當(dāng)p0時,則方程(x+n)2=p無實數(shù)根. 方法點撥探究新知變式題2 解下列方程:鞏固練習(xí)解: (1) 移項,得配方,得由此可得二次項系數(shù)化為1,得整理,得3x2+6x=4x2+2x=x2

12、+2x+12= +12(x+1)2=即 x+1=x1= , x2=鞏固練習(xí)解: (2)移項,得配方,得由此可得二次項系數(shù)化為1,得整理,得x1= , x2 4x2-6x=3x2- x=x- x+ 2= + 2鞏固練習(xí)解:(3) 移項,得 x取任何實數(shù),上式都不成立,即原方程無實數(shù)根 對任何實數(shù)x都有 ( x+1 )2 0配方,得 x2+2x+1=-2+1整理,得x2+2x=-2(x+1)2=-1鞏固練習(xí)解:去括號,得 x2+4x=8x+12 移項,得 配方,得 由此可得 x-2=4整理,得x2-4x=12(x-2)2=16x1=6 , x2=-2x2-4x+2=12+2因此例3 試用配方法說明

13、:不論k取何實數(shù),多項式 k24k5 的值必定大于零.解:k24k5=k24k41=(k2)21因為(k2)20,所以(k2)211.所以k24k5的值必定大于零.利用配方法確定多項式或字母的值(或取值范圍)素養(yǎng)考點 3探究新知例例4 若a,b,c為ABC的三邊長,且 試判斷ABC的形狀.解:對原式配方,得 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得 根據(jù)勾股定理的逆定理可知,ABC為直角三角形. 探究新知鞏固練習(xí)1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一個根為x = 0,則m的值為( ) A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-22. 應(yīng)用配方法求最大值或最小值.(1)求 2x2 - 4x+5的最小值

14、 (2) -3x2 + 6x +1的最大值.C解:原式 = 2(x - 1)2 +3 因為 2(x - 1)2 0,所以 2(x - 1)2 +3 3因此當(dāng)x =1時,原式有最小值3.解:原式= -3(x - 2)2 - 4 因為 (x - 2)2 0,即-3(x - 2)2 0,所以 -3(x - 2)2 -4-4因此當(dāng)x =2時,原式有最大值-4 類 別解 題 策 略1.求最值或證明代數(shù)式的值恒為正(或負(fù))對于一個關(guān)于x的二次多項式通過配方成a(x+m)2n的形式后,由于x無論取任何實數(shù)都有(x+m)20,n為常數(shù),當(dāng)a0時,可知其有最小值;當(dāng)a0時,可知其有最大值.2.完全平方式中的配方

15、如:已知x22mx16是一個完全平方式,所以一次項系數(shù)一半的平方等于16,即m2=16,m=4.3.利用配方構(gòu)成非負(fù)數(shù)和的形式對于含有多個未知數(shù)的二次式的等式,求未知數(shù)的值,解題突破口往往是通過配方成多個完全平方式得其和為0,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0,各項均為0,從而求解.如:a2b24b4=0,則a2(b2)2=0,即a=0,b=2.配方法的應(yīng)用探究新知鞏固練習(xí)1. (2018中考)一元二次方程y2y =0配方后可化為() A. (y+ )2=1 B. (y- )2=1 C. (y+ )2= D. (y- )2=解析 y2-y- =0 ,y2- y= , y2-y+( ) = (y- )2=1.

16、連接中考B課堂檢測1. 解下列方程:(1)x2+4x-9=2x-11; (2)x(x+4)=8x+12;(3)4x2-6x-3=0; (4) 3x2+6x-9=0.解:x2+2x+2=0,(x+1)2=-1.此方程無解;解:x2-4x-12=0,(x-2)2=16.x1=6, x2=-2;解:x2+2x-3=0,(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測2.利用配方法證明:不論x取何值,代數(shù)式x2x1的值總是負(fù)數(shù),并求出它的最大值.基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測3.若 ,求(xy)z 的值.解:對原式配方,得 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知 基礎(chǔ)鞏固題4.如圖,在一塊長35m、寬26m的矩形地面上,修建同樣寬的兩條互相垂直的道路,剩余部分栽種花草,要使剩余部分的面積為850m2,道路的寬應(yīng)為多少?解:設(shè)道路的寬為xm, 根據(jù)題意得(35-x)(26-x)

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