材料力學(xué)課件第五章

1、第五章 應(yīng)力狀態(tài)分析1.過(guò)受力桿件上任一點(diǎn)的橫截面上的應(yīng)力已學(xué)過(guò)，其他截面上的應(yīng)力是否存在？如何計(jì)算？與橫截面的應(yīng)力有何關(guān)系？2.工程實(shí)際中的桿件所受力均比較復(fù)雜（前面所學(xué)的是基本變形），應(yīng)力如何計(jì)算？以往所建立的強(qiáng)度條件是否適用？有待于研究 通常，受力桿件中同一橫截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力不同；同一點(diǎn)處不同方向面上的應(yīng)力也不同。1.點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（state of stress at a point）：受力桿中一點(diǎn)處各方向面上應(yīng)力情況的集合。2.單元體（element）：圍繞一點(diǎn)所取的一無(wú)限小的長(zhǎng)方體。（有時(shí)可取五面體或四面體）5-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念 單元體每個(gè)面上正應(yīng)力、切應(yīng)力均勻分布； 相對(duì)的兩

2、個(gè)面應(yīng)力大小相等，正負(fù)相同。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由該點(diǎn)的單元體上的三對(duì)面的應(yīng)力確定。 主平面（principal plane）：?jiǎn)卧w中沒(méi)有切應(yīng)力的截面。主應(yīng)力（principal stress）：主平面上的正應(yīng)力。單向應(yīng)力狀態(tài)：一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)：兩個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的統(tǒng)稱(chēng)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：應(yīng)力狀態(tài)分類(lèi)：純切應(yīng)力狀態(tài)：只有切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)彎曲時(shí)工字形截面各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)(假設(shè)彎矩、剪力均為正)z12345點(diǎn)1：點(diǎn)2：點(diǎn)3：點(diǎn)4：點(diǎn)5：?jiǎn)蜗驊?yīng)力狀態(tài)11222333445二向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)單

3、向應(yīng)力狀態(tài)純切應(yīng)力狀態(tài) 彎曲桿中有拉應(yīng)力、切應(yīng)力。低碳鋼鑄鐵45o滑移線橫截面斷開(kāi)拉伸試驗(yàn)：45o拉伸（壓縮）桿中有切應(yīng)力FF拉中有切TT低碳鋼鑄鐵45o螺旋面斷開(kāi)橫截面斷開(kāi)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)：剪中有拉 45o扭轉(zhuǎn)桿中有拉應(yīng)力三個(gè)重要概念：點(diǎn)的概念面的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念哪個(gè)橫截面上的哪個(gè)點(diǎn)？哪個(gè)點(diǎn)上的哪個(gè)方向面？平面應(yīng)力狀態(tài)單元體：5-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析yxxyxyxyyxyxxyxyxyxyyxyx符號(hào)規(guī)定：正應(yīng)力拉為正，壓為負(fù)切應(yīng)力順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎鏁r(shí)針為負(fù)方位角x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)至外法線方向n為正，反之為負(fù)45oxn一、任意方向面上的應(yīng)力考慮ebf的平衡有（設(shè)ef的面積為A）Fin=0Fit=0 x

4、yxyxxyybacdfenyxyxebfntntyyxxebfFin=0=x-y2x+y2+cos2-xsin2Fit=0 x-y2+xcos2=sin2 任意兩個(gè)互相垂直方向面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)，切應(yīng)力服從切應(yīng)力互等定理。yyxxebfntxyxyxxyybacdfen=x-y2x+y2+cos2-xsin2求極值x-y2+xcos2=sin2求極值x -y2+x22（ ）max=+( )-1x -y2+x22（ ）min= -二、應(yīng)力圓=x-y2x+y2+cos2-xsin2x-y2+xcos2=sin2-x-y2x+y2=cos2-xsin2x-y2+xcos2=sin2-x-y2x

5、+y2 ）+x =2222（ ）（ 圓心：x +y2（ ），0半徑：x -y2+x22（ ）應(yīng)力圓也稱(chēng)莫爾圓 在平面應(yīng)力狀態(tài)下，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與上面方程所表示的圓對(duì)應(yīng)，圓周上的點(diǎn)與該點(diǎn)的某個(gè)方向面一一對(duì)應(yīng)。圓的方程-x-y2x+y2 ）+x =2222（ ）（ 應(yīng)力圓作法:xyx，已知1.取O 坐標(biāo)系，按一定的比例量得點(diǎn)D1(x,x)和D2(y,y)。2.連接D1和D2點(diǎn)，與O軸交于點(diǎn)C。3.以點(diǎn)C為圓心、CD1 或CD2為半徑作圓，即為該單元體應(yīng)力圓。圓上與方向面對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)。OCD1D2E2xyxyxxyybacdfen圓心COCD1D2E2B2B1OC= (OB1+OB2)12= (x +

6、y)12半徑CD1 或CD2CD1= CB1 +B1D122x-y2+x 22（ ）=圓上與方向面對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)。OF= EF= OF=OC- CFOCD1D2E2B2B120F=OC+CEcos(20+2)=x-y2x+y2+cos2-xsin2=OC+CB1cos2-B1D1sin2=OC+CD1cos20cos2-CD1sin20sin2=OC+CD1cos(20+2)OCD1D2E2B2B120FEF=CEsin(20+2)=x-y2sin2+xcos2= =B1D1cos2+CB1sin2=CD1sin20cos2+CD1cos20sin2=CD1sin(20+2)OCD1D2E2B2B

7、120F應(yīng)力圓重點(diǎn)：點(diǎn)面對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)2倍角對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓作法：找確定直徑的兩點(diǎn) ，xxD1 （ ）y ，yD2 （ ）30o4MPa10MPa 例 如圖所示單元體，試用應(yīng)力圓確定=-30o截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。 =6.5MPa-30O =-6MPa-30Ox=60MPay=-30MPax =40MPa30o60o 60ot 60ot -30oy-30oxx 例 如圖所示單元體，求60o和-30o截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。解：1.解析法求解x=60MPay=-30MPax =40MPa30o60o 60ot 60ot -30oy-30oxxO2.應(yīng)力圓求解E1120oD1x=60MPay=-30MP

8、ax =40MPaD2E2D1D2C60o30o60o 60ot 60ot -30oy-30oxxxyxy三、主平面和主應(yīng)力切應(yīng)力為零的截面稱(chēng)為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。OCD1D2B2B120A1A2由應(yīng)力圓推求主應(yīng)力OCD1D2B2B120A1A2D1代表x面， A1點(diǎn)切應(yīng)力為零，代表一個(gè)主平面(第一主平面)。A1點(diǎn)橫坐標(biāo)為一個(gè)主應(yīng)力D2代表y面， A2點(diǎn)切應(yīng)力為零，也代表一個(gè)主平面(第二主平面)。A2點(diǎn)橫坐標(biāo)為一個(gè)主應(yīng)力另一個(gè)主應(yīng)力1）主應(yīng)力大小x-y2tan(-2 0)=x=x-y2xtan(2 0)=x-y-2x根據(jù)2倍角關(guān)系，x面順時(shí)針轉(zhuǎn)0角到第一主平面位置。D1代表x面

9、， D2代表y面， 或OCD1D2B2B120A1A22）主平面方向例 求圖示單元體主應(yīng)力的大小和主平面的位置。6MPa3MPa1.公式法解：6MPa3MPa分子為正，分母為負(fù)，在第二象限。主應(yīng)力單元體為O2.應(yīng)力圓求解6MPa3MPa20D1D2CA1A2思考題： 一個(gè)單元體中最大正應(yīng)力所在面上的切應(yīng)力是否一定為零？最大切應(yīng)力所在面上的正應(yīng)力是否也一定為零？O20D1D2CA1A2FF5-3 基本變形桿件的應(yīng)力狀態(tài)分析分析單向受拉桿件中任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)OCD1D2E45o一、拉壓桿件應(yīng)力狀態(tài)分析FFOCD1D2E45o則主應(yīng)力1.當(dāng)=0o時(shí)，表明拉壓桿件的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上，該截面上不

10、存在切應(yīng)力。 2.當(dāng)=45o時(shí)，表明拉壓桿件的最大切應(yīng)力發(fā)生在45o斜截面上，該斜截面上同時(shí)存在正應(yīng)力。FFOCD1D2E45o3.當(dāng)=90o時(shí)，表明拉壓桿件縱截面上不存在任何應(yīng)力。TTOCD2D1分析受扭圓軸表面任一點(diǎn)的一應(yīng)力狀態(tài)45o二、扭轉(zhuǎn)桿件應(yīng)力狀態(tài)分析TTOCD2D145o則主應(yīng)力表明扭轉(zhuǎn)圓桿的最大切應(yīng)力發(fā)生在橫截面上，該截面上不存在正應(yīng)力。當(dāng)=0o時(shí)，當(dāng)=45o時(shí)，三、梁的應(yīng)力狀態(tài)分析ABqFmmabcde單向應(yīng)力狀態(tài)aa點(diǎn)a二向應(yīng)力狀態(tài)bbb點(diǎn)b二向應(yīng)力狀態(tài)ddd點(diǎn)d單向應(yīng)力狀態(tài)ee點(diǎn)e純切應(yīng)力狀態(tài)c點(diǎn)c1133011330=45o11330(3)(3)(1)(1)ABqFmma

11、bcde33 a11330 b11330=45o c11330 d11 e四、主應(yīng)力跡線的概念 主應(yīng)力跡線是兩組正交的曲線：其中一組曲線是主拉應(yīng)力跡線，在這些曲線上，每點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的主拉應(yīng)力方向；另一組曲線是主壓應(yīng)力跡線，在這些曲線上，每點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的主壓應(yīng)力方向。33 a11330 b11330=45o c11330 d11 e特點(diǎn)：1.主拉、主壓應(yīng)力跡線正交2.中性層處（純切應(yīng)力狀態(tài)）主應(yīng)力跡線與軸線成45o。3.剪力為零的截面上（單向應(yīng)力狀態(tài)），主應(yīng)力跡線與軸線平行或正交4.梁頂或梁底（單向應(yīng)力狀態(tài)），主應(yīng)力跡線與軸線平行或正交5-4 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力一、三向應(yīng)力

12、狀態(tài)下的最大應(yīng)力 1. 平行于3的截面上的應(yīng)力,只由1和2決定。O1AE2故這些截面與由1和2所作的應(yīng)力圓上的各點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。 2. 平行于2的截面上的應(yīng)力只由1和3決定。 1. 平行于3的截面上的應(yīng)力,只由1和2決定。3. 平行于1的截面上的應(yīng)力只由2和3決定。故這些截面與由1和3所作的應(yīng)力圓上的各點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。故這些截面與由2和3所作的應(yīng)力圓上的各點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。F3max=1min=3max=1-32max的發(fā)生位置：4. 任意一個(gè)斜截面上的應(yīng)力，與上述三個(gè)應(yīng)力圓所決定的陰影區(qū)域中的一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。故，一點(diǎn)處最大正應(yīng)力、最小正應(yīng)力、最大切應(yīng)力分別為為平行于2的斜截面，與1、3主平面成45o夾角。O1AE

13、2F3max(max)40MPa60MPa45o40MPa60MPa45omax= 1= 40MPamin= 3= -60MPa2= 0max=1-32= 50MPamax發(fā)生位置max= 1= 60MPamin= 3= 02= 40MPamax=1-32= 30MPamax發(fā)生位置分析最大正應(yīng)力、最小正應(yīng)力、最大切應(yīng)力例 作圖示單元體三向應(yīng)力圓。300MPa200MPa100MPa350MPa300MPa200MPa100MPa100MPa350MPa解：OD1D2C該單元體三向應(yīng)力圓為1=350MPa2= 3 =0300MPa200MPa100MPax=300MPay=200MPax =1

14、00MPaOD1D2C該單元體三向應(yīng)力圓為x=300MPay=200MPax =100MPa該單元體三向應(yīng)力圓為300MPa200MPa100MPa100MPaOD1D2C如何求圖示點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面?aaaa60oaabb60oxyD2D1OC240oA1A25-5 廣義胡克定律 體積應(yīng)變一、廣義胡克定律單向應(yīng)力狀態(tài)下：=E 或 =E三向應(yīng)力狀態(tài)下：三個(gè)主應(yīng)力1，2，3方向都存在正應(yīng)變（線應(yīng)變）主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱(chēng)為主應(yīng)變。1，2，3都會(huì)產(chǎn)生1方向線應(yīng)變1方向主應(yīng)變：1， 2，3都會(huì)產(chǎn)生1方向線應(yīng)變1產(chǎn)生的1方向線應(yīng)變1 =1E2產(chǎn)生的1方向線應(yīng)變1 = -2E3產(chǎn)生的1方向線應(yīng)變1 =-3

15、E3= 3-v(1+2)E11= 1 + 1 + 1= 1-v(2+3)E1同理可求2= 2-v(1+3)E1 一般應(yīng)力狀態(tài)下，單元體各面上有正應(yīng)力也有切應(yīng)力，在小變形條件下，切應(yīng)力引起的線應(yīng)變比起正應(yīng)力引起的線應(yīng)變是高階微量，可以忽略，因此x= x -v(y +z)E1y= y -v(x +z)E1z= z -v(x +y)E1廣義胡克定律yxxyyxzxzzxyzzy切應(yīng)力與切應(yīng)變的關(guān)系：xy =xyGyz =yzGzx =zxGyxxyyxzxzzxyzzy 例 已知1方向1=240，3方向3=-160，E=2.1105MPa, v=0.3。求1， 2，3和2。131= （1-v3）E1

16、3= （3-v1）E12= - （1+3）Ev 1= （1+v3）E1-2或 3= （3+v1）E1-22 =0解：13 1= （1+v3）E1-2 3= （3+v1）E1-22 =01=2403=-160E=2.1105MPav=0.32= - （1+3）Ev 例 如圖所示,在一槽型鋼塊內(nèi)，放置一邊長(zhǎng)為10mm的立方鋁塊，鋁塊與槽壁間無(wú)空隙。當(dāng)鋁塊上受到合力為F = 6kN的均布?jí)毫r(shí)，試求鋁塊內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力，鋁塊的泊松比為v= 0.33。xyz思考題？ 例 直徑d=80mm的圓軸，表面一點(diǎn)與母線成45o方向測(cè)得正應(yīng)變-45 =260，已知E=2.0105MPa, v=0.3，求T。oTT45o解：由于二、體積應(yīng)變受到壓強(qiáng)p的靜水壓力作用 或 K體積模量或壓縮模量 體積應(yīng)變 5-6 應(yīng)變能和應(yīng)變能密度一、軸向拉壓桿件的應(yīng)變能和應(yīng)變能密度Fll 1F1dFFFoABld(l)l1Fll 1F1dFFFoABld(l)l1應(yīng)變能應(yīng)變能密度二、三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能和應(yīng)變能密度