非線性薛定諤方程的孤子解和怪波解

1、非線性薛定諤方程的孤子解和怪波解摘要：光纖中光波的傳輸模型一直是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)理論模型之一，從非線性薛定諤方程到金格堡-朗道方程，都試圖對(duì)其進(jìn)行更好的闡釋，其次對(duì)于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，非線性薛定諤方程的解有呈現(xiàn)出非常多有趣的特征，對(duì)于其中特定解的研究能夠讓我們了解脈沖演化的本質(zhì)，所以本文主要從孤子解的傳輸入手，并且簡(jiǎn)單介紹了怪波解的解形式。薛定諤方程又稱薛定諤波動(dòng)方程，是量子力學(xué)的一個(gè)基本方程，同時(shí)又是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一，由奧地利物理學(xué)家薛定諤1926年在量子化就是本征值問題中提出的，它在量子力學(xué)中的地位非常重要，相當(dāng)于牛頓定律對(duì)于經(jīng)典力學(xué)一樣。隨著人們對(duì)世界的不斷探索，非線性現(xiàn)象逐漸走進(jìn)

2、人們的視野，這種現(xiàn)象一般大都用非線性偏微分方程的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，顯然線性方程已經(jīng)不能滿足人們的需求。1973年,Hasegawa從含有非線性項(xiàng)的色散方程中推導(dǎo)出了非線性薛定諤方程。非線性薛定諤方程(NLS)是普適性很強(qiáng)的一個(gè)基本方程，最簡(jiǎn)單的形式是：其中為常數(shù)。因?yàn)檫@個(gè)方程在幾乎所有的物理分支及其他科學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如超導(dǎo)，光孤子在光纖中傳播，光波導(dǎo)，等離子體中的Langnui波等，所以許多學(xué)者對(duì)此方程的研究投入了很大的熱情，至今還在生機(jī)勃勃的向前發(fā)展著。1分步傅里葉法計(jì)算演化過程對(duì)于處理非線性性薛定諤方程，常用的數(shù)值仿真方式為分步傅里葉方法，為了簡(jiǎn)單起見，只考慮二階色散和自相位調(diào)制，

3、不考慮高階色散、自陡以及四波混頻等高階非線性效應(yīng)。上述方程中做02為二階色散，丫表示Kerr效應(yīng)系數(shù)，g和分別代表光纖中的增益和損耗。對(duì)上述方程轉(zhuǎn)化到頻域，先不考慮增益和損耗?？梢缘玫竭@樣，只需要知道a(z二0)就可以得到最終的a(z)。dAkdz=A+iyF/la2kkX1k其中A卩=-202k2令A(yù)=Bexp(iA卩z)可以得到kkdBk=dziYh；a|2a:exp(-iA0z)以上方程可以用四階龍格庫(kù)塔直接求解，但是速度較慢，所以我們需要做差分處理。Bk(Z+；-Bk(Z)=iyFak(z)2a(z)exp(-iA卩丘z)再利用A二Bexp(iA卩z)可以得到kkA(z+Az)=kAz

4、exp(iA0Az)k-Flaz)xexpiya(z)|2Az)xexp(iA0Az)然后做傅里葉反變換就可以得到最終的結(jié)果a(z+Az)=FFa(z)xkkexpiyakAzxexp(iA0kkk在不考慮增益和損耗情況下，孤子為非線性薛定諤方程的一個(gè)穩(wěn)定解，我們可以得到光孤子的解析解的表達(dá)形式。sechtT0我們可以根據(jù)功率的不同，產(chǎn)生不同的孤子脈沖。通過MATLAB簡(jiǎn)單仿真，我們可以的到脈沖在光纖中的傳輸情況。0.Q2001515100.C1a.005輸出脈沖輸入.脈沖輸出脈沖輸入脈沖1.551.5525541.55G5561.5G頻率1.&421.5441.5461.54B0*Imlft

5、I-10-a-B-4-20246810時(shí)延t(pa)圖1光孤子在光纖中的傳輸情況2(2+1)維非線性薛定諤方程的怪波解怪波最初是描述海洋上出現(xiàn)的一種奇怪的水波，它以其出現(xiàn)的突然性和異常陡峭的高水波得名。怪波發(fā)生之前沒有任何預(yù)示，海洋中突然出現(xiàn)具有很深的溝或出現(xiàn)一些連續(xù)的高波，其破壞力極大，造成很多航海災(zāi)難。怪波是一種新的非線性現(xiàn)象，與孤立子很類似，都是一種特殊解，不同的是它同調(diào)制不穩(wěn)定性能夠很好的結(jié)合起來(lái)。近些年許多學(xué)者對(duì)怪波進(jìn)行了大量的研究：Akhmediev教授小組對(duì)(1+1)維的非線性薛定諤方程(NLS)的怪波進(jìn)行了很全面的分析，指出怪波是“Ma”解(MS)或“Akhmediev呼吸子”

6、(Abs)的極限情形，實(shí)際上是一種非奇異的有理解；Xu、He以及Wang、Porsezian與He利用Darboux變換得到許多(1+1)維高階薛定諤型方程的怪波解。但現(xiàn)有的文獻(xiàn)對(duì)高維薛定諤方程的怪波解研究甚少。直到最近，YasuhiroOhta教授和楊建科教授利用Hirota雙線性方法得到(2+1)維DSI和DSII方程的Grammian解，再利用sato算子理論將其轉(zhuǎn)化為非奇異的有理解，從而得到高維的薛定諤型方程也具有有理分式的怪波解?？紤](2+1)維非線性薛定諤方程：。當(dāng).=/.時(shí)，上述方程退化為(1+1)維NLS方程：“.=4小1當(dāng)=H，方程則進(jìn)一步可以簡(jiǎn)化為Sine-Gordon方程

7、。通過參考文獻(xiàn)得，其具有Painleve性質(zhì)并且給出了奇異結(jié)構(gòu)分析。通過相關(guān)文獻(xiàn)給出的分析可以最終將(2+1)維非線性薛定諤方程整理為：禽邛+2咻丄甌$)在此基礎(chǔ)上可以對(duì)周期解和怪波解進(jìn)行探討。2.1周期解為了簡(jiǎn)單起見，我們直接引用參考文獻(xiàn)中給出的Akhmediev呼吸子的解，并在此基礎(chǔ)上可以對(duì)周期解和怪波解進(jìn)行探討。got2iflc:osh(jjjt+2tfl+1)coo(fl)cos(fcr+yky)=廠？Fcoshb)cos(f)cos(臉+27a(coB()cos(Aa：+7%)fiin2(Aa：+7)0062(S)S=2(ln/)珂一(cosh(曲+b)cos(砂)cos(fczr十

8、pky)2其中，k=yf2asin9;w=asin2Beh=1通過式子我們可以看出該解是含有空間維周期結(jié)束的，當(dāng)參數(shù)取特定值的時(shí)候，我們可以看出解的周期性特征。7T圖2參數(shù)取,Akhmediev呼吸解的形式考慮另一種呼吸子解一一Ma解，亦即具有空間周期性且含時(shí)間的周期解，作變換令門沖,這意味著4、川亠：-;上，因此可以得到片=*Ti#=w，=由此可以得到變化臟的解的形式：叩.a涮cos*-!2詛4b)cash(円)亡osh(耘+十越)M&cos3+5)cosh(fl)cosh(for斗yky).2yk2(cxjhIi(B)cosh(fcc+7)wiiih3(ks+竽ky)cosh3(B)(co

9、s(wi+cosh(0)cash(/ex+7)2.2怪波解為了得到怪波解，我們讓。弋，則有:殲=舸西一邁(丄+1+2十仗十為廠+4丁匕叱87Q2(1-22(a;+/)2+47aadt2)71(l+2a2+)2+47Wi?)?fy顯然，當(dāng)十-土-，-在Hi平面上任何一點(diǎn)都趨向于常數(shù)，但當(dāng):r+*/=H=1J時(shí)，能夠取得最大的振幅W；h.、=#，是平常振幅的3倍，因此該解為xy平面的怪波解。圖3參數(shù)取門=I廣，二丫=11,一階怪波解應(yīng)用Hirota雙線性方法，給出(2+1)維非線性薛定諤方程的呼吸子即周期解和其極限情形的解一階怪波解，推廣了(1+1)維非線性薛定諤方程N(yùn)LS的空間變量。研究結(jié)果說明了高維的非線性薛定諤方程具有有理分式的怪波解，這些方法同樣適用于其他的高維薛定諤型方程，如Melnikov方程、Fokas系統(tǒng)等。非線性薛定諤方程還有更多有趣的現(xiàn)象，例如耗散孤子，孤子分子以及孤子等現(xiàn)象，都對(duì)于光信息處理和光通信的研究具有重要的理論與應(yīng)用價(jià)值。參考文獻(xiàn)程麗，張翼.(2+1)維非線性薛定諤方程的怪波解J.長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版：理工(上旬),2016,13(3):35-39.AkhmedievN,AnkiewiczA,TakiM.